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2015-2016学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试卷 word版


2015-2016 学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)

( 本场考试不准使用计算器 ) 一、选择题:本大题 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( ▲ ) . A. y ?

/>x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

log a x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? log a a x

2.下列表示图形中的阴影部分的是( ▲ ) . A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B ) ? ( A ? C ) C. ( A ? B ) ? ( B ? C ) D. ( A ? B ) ? C 3.函数 f ? x ? ? ln 2 x ? 4 x 2 ? 1 A.奇函数 偶函数 B. 偶函数

A

B

C

?

?

的奇偶性是( ▲

) . D. 既是奇函数也是

C.既不是奇函数也不是偶函数

4.三个数 0.7 6, 60.7, log 0.7 6 的大小关系为( ▲ ). A. 0.7 6 ? log 0.7 6 ? 60.7 C. log 0.7 6 ? 60.7 ? 0.7 6 B. 0.7 6 ? 60.7 ? log 0.7 6 D. log 0.7 6 ? 0.7 6 ? 60.7

1 ? x 1 ? x2 5.已知 f ( ,则 f ( x) 的解析式为( ▲ ) . )? 1 ? x 1 ? x2
A.

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D. ?

x 1? x2

6 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 满 足 : 对 任 意 实 数 x1 , x 2 , 当 x1 ? x2 时 , 总 有 ?log a x, x ? 1

. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是( ▲ ) A. (0, )

1 3

B. [ , )

1 1 7 3

C. ( , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

7 . 定 义 在 ?? 1,1? 上 的 函 数

? x? y ? f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ; 当 x ? ? ?1, 0 ? 时f ? x ? ? 0. 若 ? ?

?1? ?1? ?1? . P ? f ? ? ? f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ;则 P, Q, R 的大小关系为( ▲ ) ?5? ? 11 ? ?2?
A. R ? Q ? P B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q D. Q ? P ? R

2 8 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [?4, 4] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? x ? 4 x , 则 不 等 式

f [ f ( x)] ? f ( x) 的
解集为( ▲ ) . A. (?3, 0) U ? 3, 4? C. (?1, 0) U (1, 2) U (2,3) B. (?4, ? 3) U (1, 2) U (2,3) D. (?4, ? 3) U (?1, 0) U (1, 3)

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每小题 6 分,第 13-15 题每小题 4 分,共 36 分,请将 答案填 在相对应空格. 9.已知集合 M ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, N ? {x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N ? ▲ ,

M ?N ? ▲ ,
CR M ?
▲ . ▲ ,值域为 ▲ .

10.函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调增区间为
2

11. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3) , 值域是 [?1, 2) , 则 f ( x ? 2) 的值域是 ▲ ,

f (log 2 x) 的定义域是





?2? x , x ? 0 ? 12.已知 f ( x) ? ?| log x |, x ? 0 ,则 f ( f ( ?1)) ? 1 ? ? 2

▲ ,方程 f ( x) ? 4 的解是 ▲



13 .已知幂函数 f ( x) 过点 (2, 2) ,则满足 f (2 ? a ) ? f (a ? 1) 的实数 a 的取值范围是 ▲ .

1 ? ?x ? , x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? , 若关于 x 的方程 f ( x 2 ? 2 x) ? a 有 6 个不同的实根,则 x 3 ? ? x ? 9, x ? 0
实数 a 的取值范围是 ▲ .

? 1 ( x ? 1), ( x ? a) ? 1 3 ? a ?1 15.设函数 f ( x) ? ? 若存在 t1 , t2 使得 f (t1 ) ? , f (t 2 ) ? ,则 t1 ? t2 2 2 ? 1 ( x ? 2), ( x ? a) ? ?a ? 2
的取值范围 是


.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 14 分)

计算: (1) ( 2 ? 1) ? (
0

4 ? 16 ? 1 ) 2 ? ( 8) 3 ; 9

(2) 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1) lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . 100

17. (本小题满分 15 分) 设 全 集

U ? R, A ? {x | x 2 ? x ? 20 ? 0}, B ? {x || 2 x ? 5 |? 7}



C ? {x | x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? 0} .
(1)若 C ? ( A ? B ) ,求 m 的取值范围; (2)若 (CU A) ? (CU B ) ? C ,求 m 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明 f ( x) 的单调性,写出 f ( x) 的值域.

19.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g ( a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ? (2
x 2 ?x

? a) 2 , x ? [?1,1] .

(1)求 f ( x) 的最小值(用 a 表示) ; (2)关于 x 的方程 f ( x) ? 2a 2 有解,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题:本大题 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D

7.【解析】令 x ? y ? 0 ,则可得 f (0) ? 0 ,令 x ? 0 ,则 ? f ( y ) ? f (? y ) ,即 f ( x) 为奇 函 数 , 令 1? x ? y ? 0 , 则

? x? y ? x? y ? 0 , 所 以 f ? x? ? f ? y? ? f ? ??0 , 即 1 ? xy ? 1 ? xy ?

x ? ? 0,1? 时f ? x ? 递减,
?1? 又 P ? f ? ?? ?5? ?1? ?1? f ? ? ? f ? ?? ? 11 ? ?5? ? 1 1 ? ? 5 ? 11 ? 2 2 1 ? 1? f ?? ? ? f ? ? f( ) ,因 ? ,所以 ? 7 7 2 ? 11 ? ? 1? 1 ? 1 ? ? 5 11 ?

2 1 f ( ) ? f ( ) ,即 0 ? P ? Q ,故选 B。 7 2 f ( x) ? 0时,即x ? 0, f ( f ( x)) ? ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x)
8. 【解析】

? f ( x) ? 3 ? f ( x) ? ?3

? x ? (1,3) ? x ? (?4, ?3) ? (?1, 0)

f ( x) ? 0时,即x ? 0, f ( f ( x)) ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x)

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每小题 6 分,第 13-15 题每小题 4 分,共 36 分, 9. (0,3), (1, 2), ( ??,1] ? [3, ??) 10. (?1,1),[ ?2, ??) 11. [?1, 2),[ , 4) 13. [1, )

1 8

12. 14. (8,9]

3 2

1 16 1 1 15. (??, ? ) ? ( , ??) 2 2 ?2,16,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 14 分)
4 ? 16 ? 1 2 计算: (1) ( 2 ? 1) ? ( ) ? ( 8) 3 ; 9 0

(2) 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1) lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . 100

解:1)原式=2 2)原式=-2

17. (本小题满分 15 分)







U ? R, A ? {x | x 2 ? x ? 20 ? 0}, B ? {x || 2 x ? 5 |? 7}



C ? {x | x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? 0} .
(1)若 C ? ( A ? B ) ,求 m 的取值范围; (2)若 (CU A) ? (CU B ) ? C ,求 m 的取值范围. 解:? A ? {x | ?5 ? x ? 4}, B ? {x | x ? ?6, 或x ? 1} 2分

? x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? ( x ? m)( x ? 2m) ? 0
1) A ? B ? {x |1 ? x ? 4} 4分

? C ? ( A ? B)
当 m ? 0时,C=? ,满足题意 当 m ? 0 时,不合题意 5分

m ? 0时,C ? {x | m ? x ? 2m}


? m ?1 ?? ? 2m ? 4

?1 ? m ? 2
9分 11分

综上, m ? 0或1 ? m ? 2 2) (CU A) ? (CU B ) ? [ ?6, ?5]

? (CU A) ? (CU B) ? C
当 m ? 0 时,不合题意

?C ? ?

当 m ? 0 时, C ? {x | 2m ? x ? m}

?2m ? ?6 ?? ? m ? ?5

??5 ? m ? ?3
18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

15分

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明 f ( x) 的单调性,写出 f ( x) 的值域.

解: (Ⅰ) f ( x) ?

3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1 ? ? 3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1 6? x ? 1 1 ? 6 x 所以 f (? x) ? ? x (7 分) ? ? ? f ( x), x ? R ,则 f ( x) 是奇函数. 6 ? 1 1 ? 6x 6 x ? 1 (6 x ? 1) ? 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? x 在 R 上是增函数,(8 分) ? ? 1? x x 6 ?1 6 ?1 6 ?1 证明如下:任意取 x1 , x2 ,使得: x1 ? x2 ? 6 x1 ? 6 x2 ? 0
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 2(6 x1 ? 6 x2 ) ? ? ?0 6 x2 ? 1 6 x1 ? 1 (6 x1 ? 1)(6 x2 ? 1) 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在 R 上是增函数. (12 分) 2 2 ?0 ? x ? 2 ? f ( x) ? 1 ? x ? (?1,1) ,则 f ( x) 的值域为 (?1,1) (15 分) 6 ?1 6 ?1
19.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g ( a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x
2

? x 2 ? x ? 1, x ? 0 解:1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 ? ? 2 ? x ? x ? 1, x ? 0
1 1 f ( x) 的单调增区间为 (? , 0), ( , ??) 2 2 1 1 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ), (0, ) 2 2
2)当 a ? 0 , x ? [1, 2] 时

2分

4分

f ( x) ? ax 2 ? x ? 2a ? 1 ? a ( x ?
当0 ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1 1 ? 1, 即a ? 时, g (a ) ? f (1) ? 3a ? 2 2a 2 1 1 1 1 1 当1 ? ? 2, 即 ? a ? 时, g (a ) ? f ( ) ? 2a ? ?1 2a 4 2 2a 4a 1 1 当 ? 2, 即0 ? a ? 时, g (a ) ? f (2) ? 6a ? 3 2a 4

1 ? ? 6a ? 3, 0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? ? g ( a ) ? ? 2a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? 3a ? 2, a ? ? 2 ?
分 3) h( x) ? ax ?

10

2a ? 1 ? 1 在区间 [1, 2] 任取 x1 , x2 , x1 ? x2 x

h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1)(a ?


2a ? 1 ) x1 x2

11

? 函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数

h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 恒成立
12分

? ax1 x2 ? 2a ? 1 恒成立
当 a ? 0 时.显然成立 当 a ? 0 时, x1 x2 ?

?

当 a ? 0 时, x1 x2 ?

2a ? 1 恒成立 a 2a ? 1 1 ? ?4 ?? ? a ? 0 a 2 1 综上所述, a ? [? ,1] 2

2a ? 1 ?1 a

2a ? 1 恒成立 a ?0 ? a ? 1

?1 ? x1 x2 ? 4

?1 ? x1 x2 ? 4

15

分 20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ? (2
x 2 ?x

? a) 2 , x ? [?1,1] .

(1)求 f ( x) 的最小值(用 a 表示) ; (2)关于 x 的方程 f ( x) ? 2a 2 有解,求实数 a 的取值范围.


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