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2014届高考数学一轮复习方案 第38讲 空间几何体的表面积与体积课时作业 新人教B版


课时作业(三十八)
基础热身

[第 38 讲

空间几何体的表面积与体积]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

1.[2012·东北三校联考] 设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个 球面上,则该球的表面积为( A.3π a
2

)


2

B.6π a

2

C.12π a

D.24π a

2

图 K38-1 2.[2011·西安三检] 如图 K38-1 是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3,则图 中主视图所标 a=( A.1 C. 3 D.2 3 B. ) 3 2

3.一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为π ,则该球的表面积为( A.8π B.4π 32π C. 3 4 2 D. π 3

)

4.已知正五棱台的上、下底面边长分别为 4 cm 和 6 cm,侧棱长为 5 cm,则它的侧面 积为________ cm .
2

能力提升 5.[2012·长春二联] 如图 K38-2 所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

1

图 K38-2 A. 1 3 3 B.1 C. D. 2 4 2

6.[2012·湖北荆州中学三模] 一个几何体的三视图如图 K38-3 所示,则这个几何体 的体积为( )

图 K38-3 A. C. 3 2 1 B. 2

3 3 D. +1 2 2

7.[2012·唐山期末] 一个几何体的三视图如图 K38-4 所示,其中主视图是一个正三 角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )

图 K38-4 A. 16π 3 8π B. 3 C.4 3 D.2 3π

8.如图 K38-5,半径为 2 的半球内有一内接正三棱锥 P-ABC,则此正三棱锥的侧面积 是( )

2

图 K38-5 A.3 5 C.3 15 B.5 13 D.4 15

9.[2012·武汉适应性训练] 一个多面体的三视图如图 K38-6 所示,其中主视图是正 方形,左视图是等腰三角形.则该几何体的表面积为( A.88 B.98 C.108 D.158 )

图 K38-6

图 K38-7

10. [2012·长春调研] 某几何体的三视图如图 K38-7 所示, 这个几何体的内切球的体 积为________.

11. [2012·哈尔滨质检] 一个底面是直角梯形的四棱锥的三视图如图 K38-8 所示, 则 此四棱锥的四个侧面的面积的和是________.

图 K38-8 12.已知圆锥的底面半径为 3,轴截面为正三角形,则其内切球的表面积为________. 13.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V,P 是 DD1 的中点,Q 是 AB 上的动点,则四面体 P

3

-CDQ 的体积是________. 14.(10 分)已知某几何体的俯视图是如图 K38-9 所示的矩形,主视图是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,左视图是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

图 K38-9

15.(13 分)一直三棱柱高为 6 cm,底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,将该 棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.

难点突破 16.(12 分)如图 K38-10 所示,从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA,PB,PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3,且 P2P1=P2P3. (1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:PA⊥BC; (2)若 P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥 P-ABC 的体积.

4

图 K38-10

5

课时作业(三十八) 【基础热身】 1.B
2

[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,则长方体的体对角线长为
2 2

(2a) +a +a = 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线,∴2R= 6a.∴

S 球=4π R2=6π a2.故选 B.
2.C [解析] 由三视图可知,该几何体为一个平卧的三棱柱,结合图中的尺寸可得 V

1 = ×2×a×3=3 3,∴a= 3. 2 3.A [解析] 如图,设截面的半径为 r,则π r =π ,r=1,又已知球心与截面的距离
2

d=1,则球的半径 R= r2+d2= 2,球的表面积 S=4π R2=8π .

4. 6 50 (cm ).
2

(4+6)×2 6 2 [解析] 侧面高为 5 -1=2 6, 所以侧面积为 S=5× =50 6 2

【能力提升】 3 5.A [解析] 由题意可知,该几何体为一个四棱锥,底面面积为 ,高为 1,体积为 V 2 1 3 1 = × ×1= .故选 A. 3 2 2 6.B [解析] 如图由三视图可知,该几何体是一个横放的四棱锥,底面是直角梯形(上 1(1+2)×1 1 底为 1,下底为 2,高为 1),高为 1,故这个几何体的体积为 V= ×1= . 3 2 2 2 3 2 2 7.A [解析] 设外接球的半径为 R,则 R =1+( 3-R) ? R= ,这个几何体的外 3 接球的表面积为 4π R =4π ?
2

?2 3?2 16π ? = 3 . ? 3 ?

8.C [解析] 设球心为 O,连接 PO,AO,BO. 因为 P-ABC 是正三棱锥,所以 PO⊥底面 ABC,且 PO=AO=2,所以 PA=2 2.作 PD⊥AB 于 D,则 D 为 AB 的中点.连接 OD.

6

△AOB 中,∠AOB=120°,AO=BO=2, 所以 AB=2 3,DO=1. 在 Rt△POD 中,得 PD= 5, 1 3 所以棱锥的侧面积为 3× ·AB·PD= ×2 3× 5=3 15.故选 C. 2 2 9.A [解析] 由三视图可知,该几何体是一个横放的三棱柱,底面三角形是等腰三角
2 2

形(底为 6,高为 4),三棱柱的高为 4,故底面三角形的腰长为 3 +4 =5.故该几何体的表 1 面积为 S= ×6×4×2+5×4×2+6×4=88.故选 A. 2 4 3 10. π 27 [解析] 此几何体是底面边长为 2,高为 3的正四棱锥,可算出其体积为

4 3 1 4 3 3 ,表面积为 12.令内切球的半径为 r,则 ×12r= ? r= ,从而内切球的体积为 V 3 3 3 3 4 ? 3?3 4 3π = π? ? = . 3 ?3? 27

5 2 3 11. + 2 2

[解析]如图所示几何体为一直四棱锥,其中 PA⊥平面 ABCD,底面为直

角梯形,且 PA= 2,AD=2,AB=BC=1,易知四棱锥侧面△PAB,△PAD 均为直角三角形, 又由 AB⊥BC,PA⊥BC 可推得 BC⊥平面 PAB,故△PBC 为直角三角形,所以 PC= PB +BC = 1 2.CD= 2, = 6, PD 由勾股定理知△PCD 也为直角三角形, 故四个侧面面积之和为 ×1× 2 2 1 1 1 5 2 3 + ×2× 2+ ×2× 2+ ×1× 3= + . 2 2 2 2 2 12.4π [解析] 如图,球心为 O,圆锥底面圆心为 O1,OO1 为球半径,AO1 为圆锥底面 3 AO1=1,所以球的表面积为 4π . 3
2 2

圆半径,∠O1AO=30°,OO1=

1 13. V [解析]设长方体的长、宽、高分别为 12

7

AB=a, BC=b,AA1=c,则有 V=abc.
1 1 1 由题意知 PD= c,S△CDQ= ·CD·AD= ab, 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴VP-CDQ= S△CDQ·PD= × ab× c= abc= V. 3 3 2 2 12 12 14.解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中 心的四棱锥. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)该四棱锥有两个侧面 PAD , PBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为 h1 = 2 ?8? 2 4 +? ? =4 2,另两个侧面 PAB,PCD 也是全等的等腰三角形, AB 边上的高为 h2= ?2? 2 1 1 ?6? 2 4 +? ? =5,因此侧面积 S=2 ×6×4 2+ ×8×5=40+24 2. 2 2 ?2?

15.解:如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的 体积最大, 削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为 R, 圆柱的高即为直三棱柱的高. ∵在△ABC 中,AB=3,BC=4,AC=5, ∴△ABC 为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得 7-2R=5, ∴R=1.∴V 圆柱=π R ·h=6π . 1 而三棱柱的体积为 V 三棱柱= ×3×4×6=36, 2 ∴削去部分的体积为 36-6π =6(6-π )(cm ), 即削去部分的体积的最小值为 6(6-π ) cm . 【难点突破】 16.解:(1)证明:由题设知 A,B,C 分别是 P1P3,P1P2,P2P3 的中点,且 P2P1=P2P3, 从而 PB=PC,AB=AC. 取 BC 的中点 D,连接 AD,PD, 则 AD⊥BC,PD⊥BC,
3 3 2

8

∴BC⊥面 PAD,故 PA⊥BC. 1 (2)由题设有 AB=AC= P1P2=13,PA=P1A=BC=10, 2

PB=PC=P1B=13,
∴AD=PD= AB -BD =12. 在等腰三角形 DPA 中, 底边 PA 上的高 h=
2 2

? ? AD2-? PA? = 119,

1 2 ?2 ?

1 ∴S△DPA= PA·h=5 119. 2 又 BC⊥面 PAD, ∴VP-ABC=VB-PDA+VC-PDA 1 1 = BD·S△DPA+ DC·S△PDA 3 3 1 1 50 = BC·S△PDA= ×10×5 119= 119. 3 3 3

9


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