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艺考生专用数学复习课程3-4 1


第三讲:不等式及简单的线性规划
从近几年高考来看,本讲高考命题具有以下特点: 1.考查知识点有不等式的性质、一元二次不等式、基本不等式以 及线性规划问题. 2.不等式的性质、一元二次不等式(或其变形)的解法以及均值不 等式的应用常出现在客观题中,经常以比较大小,求函数的定义域,最 值等形式出现. 3.不等式在解答题中可能与分类讨论相关联,无论函数题、导数 题、解析几何题

、数列题中都可能用到不等式的知识,其中基本不等式 问题主要涉及最值,一元二次不等式的难点是参数问题. 4.线性规划问题主要出现在选择题或填空题中. 快速、 正确解答一元二次不等式是解决诸多代数问题的基础, 而恰 恰学生在这个地方比较薄弱, 复习时多些关注; 同时注意均值定理的应 用,试图通过本讲让学生掌握求简单的最大(小)值的基本方法。 本讲主要起到工具作用,对艺考生而言主要是会解一元二次不等 式、了解均值定理,会求简单的最大(小)值;理解线性规划的意义, 能够解决一些简单的问题,不需再增加例、习题。

考情分析

编写思路

教学建议

本讲用 2 课时上完 课时安排建议 课堂精讲例题 选材程度及数量 A类 B类 知识梳理: 知识梳理: 1.不等式的基本性质 . (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)加法法则:a>b?a+c>b+c; (4)乘法法则:a>b,c>0?ac>bc; a>b,c<0?ac<bc; (5)同向不等式可加性:a>b,c>d?a+c>b+d; (6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd; (7)乘方法则:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2). 2.简单分式、指数、对数不等式的解法 简单分式 简单分式、指数、 (1)简单分式不等式的解法 f(x) ①变形? >0(<0)? f(x)g(x)>0(<0); g(x) f(x) ②变形? ≥0(≤0)? f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g(x) (2)简单指数不等式的解法
0

搭配课堂训练题 ( 3 )道 ( 2 )道

课后作业 ( 5 )道 ( 5 )道

( 4)道 ( 6)道

①当 a>1 时,af(x)>ag(x)? f(x)>g(x); f(x) g(x) ②当 0<a<1 时,a >a ? f(x)<g(x). (3)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)? f(x)>g(x)且 f(x)>0, g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)? f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 3.几个重要不等式 .

(1)|a|≥0,a2≥0(a∈R).

(2)a2+b2≥2ab(a∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). (5) 2 2 a+b 4.一元二次不等式及其解集 . 解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方程、一元二次不等式和二 次函数间的关系.一元二次不等式的解集如下表所示:

1

5.二元一次不等式表示平面区域 二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)分成三类: (1)在直线 Ax+By+C=0 上的点; (2)在直线 Ax+By+C=0 一侧区域内的点; (3)在直线 Ax+By+C=0 另一侧区域内的点. 如果在直线 Ax+By+C=0 一侧区域内的点的坐标满足 Ax+By+C>0, 那么在直线 Ax+By+C=0 另一侧区 域内的点的坐标一定满足 Ax+By+C<0. 典型例题分析 题型一 比较大小与不等式正误的判断 例 1(A). 若 a > 0, b > 0, a + b = 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 确命题的编号). ① ab ≤ 1 ; ④ a 3 + b3 ≥ 3 ; 答案:①③⑤ 解析:令 a = b = 1 ,排除②②;由 2 = a + b ≥ 2 ab ? ab ≤ 1 ,命题①正确; ② a+ b≤ ⑤ (写出所有正

2;

③ a 2 + b2 ≥ 2 ;

1 1 + ≥2 a b

1 1 a+b 2 a 2 + b 2 = ( a + b) 2 ? 2ab = 4 ? 2ab ≥ 2 ,命题③正确; + = = ≥ 2 ,命题⑤正确。 a b ab ab
例 2 (A). 设 a、b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是 ( ) A.a2<b2 B.ab2<ba2 1 1 b a C. 2< 2 D. < ab ba a b 2 2 解析:方法一 ∵a b >0 且 a<b, a b 1 1 ∴ 2 2< 2 2,即 2< 2 ,故选 C. ab ab ab a b b a 方法二 令 a=-2,b=1,符合 a<b,但 a2>b2,故 A 不正确;令 a=1,b=2,符合 a<b,但 ab2>ba2, > , a b 故 B、D 不正确,故选 C. 方法点拨:

2

(1)判断不等式的正误,常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等.

(2)比较大小常利用:①函数的单调性法;②图象法;③不等式的性质或基本不等式法;④作差法;⑤特殊

值法.

变式训练 1 (1)(A)(2009·浙江)已知 a,b 是实数,则“a>0

且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的

(

)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(A)设 a+b<0,且 a>0,则

(

)

A.a2<-ab<b2 B.b2<-ab<a2

C.a2<b2<-ab D.ab<b2<a2

解析: (1)当 a>0 且 b>0 时,一定有 a+b>0 且 ab>0.反之,当 a+b>0 且 ab>0 时,一定有 a>0,b>0.故“a>0

且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充要条件.

(2)取 a=1,b=-2 检验,A 正确;B、C、D 均不正确,故选 A.

题型二 解不等式 例 3(A).不等式 .

x?2 > 0 的解集是 x + 3x + 2
2

.

答案: 答案: x ?2 < x < ?1, 或 x > 2

{

}
3

选题意图: 选题意图:本小题主要考查不等式及其解法 解析:由

x?2 >0 x + 3x + 2
2

?

x?2 > 0 ? ( x ? 2 )( x + 2 )( x + 1) > 0 , 由 数 轴 标 根 得 : ( x + 2 )( x + 1)

{ x ?2 < x < ?1,

或 x > 2}
2

例 4(A)不等式 2 x + 1 ? x ≤ 1 的解集是 ( ) 答案: 答案

.

{ x?0 ≤ x ≤ 2}
2

分析:本题考查无理不等式的解法 分析:本题考查无理不等式的解法. 解析: 解析:由 2 x + 1 ? x ≤ 1,∴1 ≤

2 x 2 + 1 ≤ 1 + x, 两边平方解得: 0 ≤ x ≤ 2, 两边平方解得:

故不等式的解集是 ?0 故不等式的解集是: x ≤ x ≤ 2 .

{

}

例 5*(B) 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. : 分析:先求出相应方程的根,再就两根的大小 进行讨论. 解 原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0. (1)当 a=0 时,原不等式化为-x+1<0,∴x>1, 所以原不等式的解集为{x|x>1}; 1 (2)当 a<0 时,原不等式化为(x-1)(x- )>0, a 1 1 又 <0,∴x< ,或 x>1, a a 1 所以原不等式的解集为{x|x< 或 x>1}; a 1 (3)当 a>0 时,原不等式化为(x-1)(x- )<0, a 1 1 对应方程(x-1)(x- )=0 的两根为 1 和 . a a 1 1 ①当 0<a<1 时, >1,∴1<x< ; a a ②当 a=1 时,原不等式可化为(x-1)2<0,无解; 1 1 ③当 a>1 时, <1,∴ <x<1. a a 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< 或 x>1}; a 当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 1 当 0<a<1 时,解集为{x|1<x< }; a 当 a=1 时,解集为?; 1 当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a 题型三 利用基本不等式求最值 x4+3x2+3 的最小值. 例 6(B)求函数 y= x2+1

4

分析:利用基本不等式求最值,设 t=x2+1,化简原不等式为基本不等式的结构形式,这是解本题的关键.

解析: 设 t=x2+1,则 t≥1,且 x2=t-1, x4+3x2+3 (t-1)2+3(t-1)+3 ∴y= = t x2+1 t2+t+1 1 = =t+ +1. t t 1 1 ∵t≥1,∴t+ ≥2 t· =2, t t 1 当且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立. t ∴当 x=0 时,函数取得最小值 3. 例 7(B).(天津卷理 6)设 a > 0, b > 0. 若 3是3a 与3b 的等比中项,则 A 8 B 4 C1 D

1 1 + 的最小值为 a b

1 4

选题意图:本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。 解析:因为 3 a ? 3 b = 3 ,所以 a + b = 1 ,

1 1 1 1 b a b a + = ( a + b )( + ) = 2 + + ≥ 2 + 2 ? = 4, a b a b a b a b b a 1 当且仅当 = 即 a = b = 时“=”成立,故选择 C a b 2
方法点拨:(1)利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个条件(正、定、等),在利用基本不 等式求某些函数最值时,需注意函数的解析式或变形式能够符合基本不等式使用的前提条件和实际问题的 要求. x4+3x2+3 1 (2)本例中,若 y= ,则 t=x2+2∈[2,+∞),y=t+ -1 的最小值不能用基本不等式求得,只能 t x2+2 借助函数的单调性求解. 题型四.不等式应用 题型四 不等式应用 例 8(B). 若不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的所有实数都成立,求 x 的取值范围. 解析: 不等式变为 m(x2-1)-(2x-1)<0,
?f(2)<0, ? 7-1 1+ 3 即 f(m)=m(x2-1)-(2x-1)<0 在{m|-2≤m≤2}上恒成立,故? 解得 <x< , 2 2 ?f(-2)<0. ?

? 7-1 1+ 3?. ? ? 2 , 2 ? 2? x 练习 1(A)不等式 。 {x | ?4 < x < 2} > 0 的解集是 x+4 2? x 解析:考查分式不等式的解法 > 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 x+4
即 x 的取值范围是?
2 练习 2(B) 。若关于 x 的不等式 x ? 4 x ≥ m 对任意 x ∈ [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是



5

答案: ( ?∞, ?3] 题型五.线性规划 题型五 线性规划 例 9(B).已知 ?1 < x + y < 4 且 2 < x ? y < 3 ,则 z = 2 x ? 3 y 的取值范围是_______(答案用区间表示) 答案: (3,8) 选题意图:本题考查了线性规划的最值问题,考查了同学们数形结合解决问题的能力。 解析:画出不等式组 ?

? ?1 < x + y < 4 表示的可行域,在可行域内平移直线 z=2x-3y,当直线经过 x-y=2 与 ?2 < x ? y < 3

x+y=4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3; 当直线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的交点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8.

?x ≥ 0 ? 例 10(B).不等式组 ? x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域的面积等于 ?3x + y ≤ 4 ?
A.

3 2

B.

2 3

C.

4 3


D.

3 4
4 ,选 C。 3

答案:C 解析:由 ?
? x + 3y - 4 = 0 可得 C (1,1) ,故 S ? 3x + y - 4 = 0

= × AB × xc =

1 2

巩固练习题 A 组: 1.不等式

x+5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2
1? 2?
B. ? ? , 3?



A. ? ?3, ? 答案: 答案:D

? ?

? 1 ? ? 2 ?

C. ? , U (1, 1? 3]

?1 ? ?2 ?

D. ? ? , U (1, 1? 3]

? 1 ? ? 2 ?

2.不等式 x 2 ? x < 2 的解集为( (A) ( ?1, 2 ) 答案: 答案:A 3. 已知函数 f ( x ) = ?

) (C) ( ?2,1) (D) ( ?2, 2 )

(B) ( ?1,1)

? x + 2,x ≤ 0, 则不等式 f ( x ) ≥ x 2 的解集为( ) ?? x + 2,x > 0,

, A. [ ?11]
答案: 答案:A

2 B. [ ?2,]

1] C. [ ?2,

, D. [ ?1 2]

4. a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a + b = 2 ,则 (

)

6

(A) ab ≤ 答案: 答案:C

1 2

(B) ab ≥

1 2

(C) a + b ≥ 2
2 2

(D) a + b ≤ 3
2 2

? x + y ? 2 ≥ 0, ? 则 s = x + y 的最大值为 5.若实数 x, y 满足 ? x ≤ 4, ? x ≤ 5, ?
答案: 答案:9 解析: 解析:本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、 基本运算的考查。 如图,当 x = 4, y = 5 时,

.

s = x + y = 4 + 5 = 9 为最大值.故应填 9.

B 组:
6.不等式 2
x2 + 2 x ? 4



1 的解集为 2



答案: 答案: [ ?3,1] 7.不等式 x ? 1 < 的解集是 1 答案: (0,2) 答案: .

8. 若 x > 0 ,则 x +
答案: 答案: 2 2

2 的最小值为 x

.

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

解析: Q x > 0 ? x + 解析

2 2 ≥ 2 2 ,当且仅当 x = ? x = 2 时取等号. x x


9. 不等式 log 2 ( x + 1) ≤ 3 的解集为
答案: 答案: ( ?1,7 ] 10*.已知集合 P= ? x

? 1 ? ≤ x ≤ 2?,函数y = log 2 (ax ? 2 x + 2 ) 的定义域为 Q. ? 2 ?

(1)若 P∩Q≠ φ , 求实数a的取值 范围; (2)若方程 log 2 (ax ? 2 x + 2 ) = 2在? ,?内有解, 求实数 a的取值 的取值范围. 2 解: (1)由已知 Q = x ax ? 2 x + 2 > 0 ,

?1 ? ?2 ?

{

}

7

若 P∩Q≠ φ , 则说明在? ,? 内至少有一个 x 值,使不等式 ax ? 2 x + 2 > 0 ,即, 2
2

?1 ? ?2 ?

在 ? ,?内至少有一个 x值,使a > ? 2?

1 ?2 ?

2 2 2 2 ? 2 成立,令 u = ? 2 ,则只需 a > u min . x x x x

1 1? ?1 ? 1 ?1 ? ? ?1 1? 又u = ?2? ? ? + ,当x ∈ ? ,?时, ∈ ? ,?,从而u ∈ ?? 4, ?, 2 2 2 x ?2 ? 2? ?2 ? ? ? x 2? ∴ a的取值范围是a > ?4.
(2)∵方程 log 2 (ax ? 2 x + 2 ) = 2在? ,?内有解, 2

2

?1 ? ?2 ?

?1 ? ∴ ax 2 ? 2 x + 2 = 4即ax 2 ? 2 x ? 2 = 0在? ,?内有解,分离a与x,得 2 ?2 ? 2 2 1 ?1 1? ?1 ? a = + 2 = 2? + ? ? ,在? ,?上有x的值,使上式恒成立, 2 x x 2 ? x 2? ?2 ? 3 1 ?1 1? ≤ 2? + ? ? ≤ 12, 2 2 ? x 2? 3 ?3 ? ∴ ≤ a ≤ 12,即a的取值范围是 ? , ?. 12 2 ?2 ? Q
第四讲:导数及其应用
从近几年高考来看,本讲高考命题有以下特点: 1.从内容上看,考查导数有三个层次: (1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义; (2)导数的简单应用,包括求函数极值、求函数的单调区间、证明 考情分析 函数的单调性等; (3)导数的综合考查,包括导数的应用题以及导数与函数、不等式 等的综合题. 2.从特点上看,高考对导数的考查有时单独考查,有时在知识交 汇处考查,常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合
2 2

8

在一起考查. 3.从形式上看,考查导数的试题有选择题、填空题、解答题,有 时三种题型会同时出现. 依据课标和高考数学课考试说明, 以典型的例题为载体, 复习概念, 编写思路 介绍解题思想和方法,通过练习巩固、达到掌握的目的. 本知识点在高考说明中属于 B 级要求,以选择、填空或解答题的 教学建议 形式考查,主要是考查概念和应用,是必考知识点,教学中要要给以足 够的重视,在强调导数几何意义的应用的同时,规范解题书写格式。 课时安排建议 本讲用 2 课时上完

课堂精讲例题 选材程度及数量 A类 B类 (11)道 (4)道

搭配课堂训练题 ( )道

课后作业 ( 5 )道 ( 5 )道

( 3 )道

知识梳理: 1.几何意义 曲线 y=f(x)在 P(x0,f(x0))处的切线的斜率为 k=f ′(x0)(其中 f ′(x0)为 y=f(x)在 x0 处的导数). 2.求导数的方法 (1)基本导数公式:C′=0(C 为常数);(xm)′=mxm-1(m∈Q);(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′ =ex;(ax)′=axlna; (2)导数的四则运算:(u±v)′=u′±v′; u′v-uv′ u (uv)′=u′v+uv′;(v)′= v2 (v≠0). (3)复合函数的导数:y′x=y′u·u′x,如 y=sin2x 有 y′=2cos2x.
9

3.函数的性质与导数 (1)在区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增. 在区间(a,b)内,如果 f′(x)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减. (2)求极值的步骤 ①求 f′(x);②求 f′(x)=0 的根;③判定根两侧导数的符号;④下结论. (3)求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f′(x);②求 f′(x)=0 的根(注意取舍); ③求出各极值及区间端点处的函数值; ④比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值). 典型例题分析
典型例题分析 题型一: 导数概念和导数运算 例 1(A) (1)设 f ( x) = 3 x 3 ? 4 x 2 + 10 x ? 5 ,则 f ' (1) 等于( A. 6 B. 8 C. 11 D. 13 )

解析: f ' ( x) = 9 x 2 ? 8 x + 10 ,∴ f ' (1) = 9 × 12 ? 8 ×1 + 10 = 71 。故选 C 。 (2)曲线 y =

1 2 5? ? x + 2 在点 ? ?1, ? 处的切线的倾斜角为( 2 2? ?
B.



A.

3π 4

π
4
'

C. π
x=?1

5 4

D. ?

π
4
3π 。故选 A 。 4

解析: y ' = x ,∴ y

= ?1 , k = tan α = ?1,由 0 ≤ α ≤ π ,得 α =


(3)函数 y = x 3 ? 3 x 在 [ ?2,3] 上( A.有最大值 18 ,最小值 ?2 C.没有最大值和最小值

B.有最大值 2 ,最小值 ?2 D.有最大值 18 ,但是没有最小值

由 又 ∴ 解析:y ' = 3 x 2 ? 3 , y ' = 0 得 x = 1 或 x = ?1 , x ∈ [ ?2,3] , x = ?1 与 x = 1 为两极值点, f ( ?1) = 2 ,

10

f (1) = ?2 ,又 f ( ?2) = ?8 + 6 = ?2 , f (3) = 18 ,故最大值为 18 ,最小值为 ?2 ,故选 A 。
(4) 如果说某物体作直线运动的时间与距离满足 s (t ) = 2 (1 ? t ) ,则其在 t = 1.2 时的瞬时速度为(
2



A. 4

B. ?4

C. 4.8
2

D. 0.8
' '

解析:Q S ( t ) = 2t ? 4t + 2 ,∴ S ( t ) = 4t ? 4 ,∴ S (1.2 ) = 0.8 ,故选 D 。 (5)对于任意 x ,有 f ' ( x) = 4 x3 ,且 f (1) = ?1 ,则此函数 f(x)的解析式为( A. f ( x ) = x 4 B. f ( x ) = x 4 ? 2 C. f ( x ) = x 4 + 1 D. f ( x ) = x 4 + 2
4



解析:选项 A, C , D 均不符合 f (1) = ?1 ,故选 B 。另解:据条件可设 f(x)= x + b ,由 f(1)= -1 可得 b= -2. (6) 抛物线 y =

x 在横坐标为 x = 4 的点处的切线方程为(
B. x + 4 y + 4 = 0 C. x ? 4 y + 4 = 0

) D. 4 x + y ? 18 = 0

A. 4 x ? y ? 18 = 0

1 ?1 1 解析: y = x 2 ,则切线的斜率为 k = y ' = ,∴切线的方程为: x ? 4 y + 4 = 0 。故选 C 。 x=4 2 4
'

(7). 函数 f ( x ) = 1 + x ? sin x x ∈ ( 0, 2π ) ,则函数( A.在 ( 0, 2π ) 内是增函数



B.在 ( 0, 2π ) 内是减函数

C.在 ( 0, π ) 内是增函数,在 (π , 2π ) 内是减函数 D.在 ( 0, π ) 内是减函数,在 (π , 2π ) 内是增函数 解析: f ' ( x ) = 1 ? cos x ,由 x ∈ ( 0, 2π ) ,得 f ' ( x ) > 0 。故选 A 。 (8). 设函数 f ( x) = kx + 3 ( k ? 1) x ? k + 1 在 ( 0, 4 ) 上是减函数,则 k 的取值范围是(
3 2 2



A. k <

1 3
'

B. 0 < k ≤
2

1 3

C. 0 ≤ k <

1 3

D. k ≤

1 3 ?6 ( k ? 1) ≥ 4 ,得 3k

解 析 : f ( x) = 3kx + 6 ( k ? 1) = x ?3kx + 6 ( k ? 1) ? , 令 f ' ( x ) < 0 , 根 据 题 意 有 ? ?

0<k ≤

1 。故选 B 。 3
3

(9). 点 P 在曲线 y = x ? x + A. [ 0, π ] B. ? 0,

2 上移动时,过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是( 3



? π ? ? 3π ? ? π ? ? π 3π ? U ? , π ? C. ?0, ? U ? , ? 2? ? 4 ? ? 2? ? 2 4

? ? π ? ? 3π ? ? D. ?0, ? U ? , π ? ? ? 2? ? 4 ?

' 2 解析: k = y = 3 x ? 1 ,∴ k ∈ [ ?1, +∞ ) ,∴ α ∈ ? 0,

? π ? ? 3π ? U , π ? 。故选 D 。 ? 2? ? 4 ? ? ?
11

(10)曲线 y = x ? x 与直线 y = 2 x + b 相切,则实数 b =
3



' 2 由 2 x ∴两切点为 (1,0 ) 和 ( ?1,0 ) , 解析:y = 3 x ? 1 , 3 x ? 1 = 2 得 x = ±1 ,x = 1 时 y = 0 , = ?1 时,y = 0 ,

代入 y=2x+b 得 b= ± 2。 题型二: 导数几何意义的应用 例 2(A).若曲线 f(x)=ax5+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析: ∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞), x 1 ∴由题知 5ax4+ =0 在(0,+∞)上有解. x 即 a=-

1 在(0,+∞)上有解. 5x 5

∵x∈(0,+∞), ∴-

1 ∈(-∞,0). 5x 5

即 a∈(-∞,0). 例 3(B) .已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3ax 2 + 2bx 在点 x = 1 处有极小值 ?1 ,试确定 a, b 的值,并求出 f ( x ) 的单 调区间。

1 ? ?a = 3 ? f ' (1) = 0 3 ? 6a + 2b = 0 ? ? 解析: f ' ( x ) = 3 x 2 ? 6ax + 2b ,由已知得: ? ,即 ? ,∴ ? ,∴函数解析 ?1 ? 3a + 2b = ?1 ? f (1) = ?1 ?b = ? 1 ? ? 2
∴ 令 得 则 式为:f ( x) = x 3 ? x 2 ? x , f ' ( x ) = 3 x 2 ? 2 x ? 1 , f ' ( x ) > 0 , x < ? 或 x > 1 , f ( x ) 在 ? ?∞, ? ?

1 3

? ?

1? 3?

和 (1, +∞ ) 上为增函数,令 f ' ( x ) < 0 ,得 ? 方法点拨: 运用函数极值概念。 1 例 4(B).已知曲线 y= . x (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程;

1 ? 1 ? < x < 1 ,则 f ( x ) 在 ? ? ,1? 上为减函数。 3 ? 3 ?

12

1 (3)求满足斜率为- 的曲线的切线方程. 3 解 (1)∵y′= ?

1 . x2

又 P(1,1)是曲线上的点, ∴P 是切点,所求切线的斜率为 k=f′(1)=-1. 所以曲线在 P 点处的切线方程为 y-1=-(x-1). 即 y=-x+2.

1 1 1 (2)显然 Q(1,0)不在曲线 y= 上,则可设过该点的切线的切点为 A(a, ),则该切线斜率为 k1=f′(a)= ? 2 . x a a 1 1 则切线方程为 y- = ? 2 (x-a).① a a 1 1 将 Q(1,0)代入方程①得 0- = ? 2 (1-a), a a
1 解得 a= ,故所求切线方程为 y=-4x+4. 2 1 (3)设切点坐标为 A(a, ),则切线的斜率为 a k 2= ?

1 1 =- . 2 3 a
3 3 )或 A′(- 3,- ). 3 3

解得 a=± 3,∴A( 3, 代入点斜式方程得 y- y+ 3 1 =- (x+ 3). 3 3

3 1 =- (x- 3)或 3 3

即切线方程为 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0. 方法点拨: (1)利用导数的几何意义确定曲线在某点处的切线斜率,进而使问题获解. (2)在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线,P 一定在曲线上. (3)过点 Q 的切线即切线过点 Q,Q 不一定是切点,所以本题的易错点是把点 Q 作为切点.求过点 P 的 切线方程时,首先应检验点 P 是否在已知曲线上. 变式训练 1(B). 在平面直角坐标系 xoy 中,设 A 是曲线 C1: y = ax3 + 1(a > 0) 与曲线 C2: x + y =
2 2

5 2

13

的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是________. C 解析 设 A( x0 , y0 ) ,所以 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′( x0 )= 3ax0 , 2 在 A 处的切线的斜率为 ?

x 1 =? 0 , kOA y0

又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,所以 ( ? 以 y0 =

x0 ) ? 3ax0 = ?1, 即 y0 = 3ax0 , 又 ax0 = y0 ? 1, 所 y0

3 5 1 1 3 , 代入C2:x 2 + y 2 = , 得 x0 = ± , 将x0 = ± , y0 = ? 代入y = ax3 + 1(a > 0), 得 a = 4. 2 2 2 2 2

题型三: 利用导数研究函数的单调性 例 5(B). (2010 年高考课标全国卷)设函数 f(x)=ex-1-x-ax2. (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 【解】 (1)a=0 时,f(x)=ex-1-x, f′(x)=ex-1. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故 f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调 递增. (2) f′(x)=ex-1-2ax. 由(1)知 ex≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立. 故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x, 1 从而当 1-2a≥0,即 a≤ 时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0)=0,于是当 x≥0 时,f′(x)≥0. 2 由 ex>1+x(x≠0)可得 e-x>1-x(x≠0). 1 从而当 a> 时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a), 2 故当 x∈(0,ln(2a))时,f′(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x∈(0,ln(2a))时,f(x)<0,不符合要求. 1 综合得 a 的取值范围为(-∞, ] 2 方法点拨:利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.
14

②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解. 变式训练 2(B).已知函数 f(x)=x2+aln x. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调减区间; 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上单调,求实数 a 的取值范围. x 解析:(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),

2 2 x 2 ? 2 2( x + 1)( x ? 1) 当 a=-2 时,f′(x)= 2 x ? = = , x x x
故 f(x)的单调递减区间是(0,1). a 2 (2)由题意得 g′(x)=2x+ - 2,函数 g(x)在[1,+∞)上是单调函数. x x ①若 g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 2 2 即 a≥ -2x2 在[1,+∞)上恒成立,设 φ(x)= -2x2, x x ∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴φ(x)max=φ(1)=0, ∴a≥0. ②若 g(x)为[1,+∞)上的单调减函数, 则 g′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,不可能. ∴实数 a 的取值范围为 a≥0. 题型四: 利用导数研究函数的极值、最值

例 6(B). 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点?若存在,请 求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 解析:(1) f′(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x)在[1,+∞)是增函数,

15

∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,即 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立, a 则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0.∴a≤0. 3 1 (2)依题意,f′(- )=0, 3 1 2 即 + a-3=0. 3 3 ∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x. 令 f′(x)=3x2-8x-3=0, 1 得 x1=- ,x2=3. 3 则当 x 变化时,f′(x)与 f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) - 6 1 (1,3) - ? 减 3 0 -18 (3,4) + ? 增 -12 4

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有 3 个不等实根. ∴x3-4x2-3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, ∴方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零不等实根. ∴?

??=16+4?3+b?>0 ? ? ?-3-b≠0

∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 b≠-3. ∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有 3 个不等实根.

16

∴x3-4x2-3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, ∴方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零不等实根. ∴?

? ??=16+4?3+b?>0 ?-3-b≠0 ?

∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 b≠-3. 方法点拨: 利用导数求函数的极值或最值,关键是首先要正确求导,准确记忆常用函数的求导公式及求导法则,其次 令导函数等于零,列出升降表,根据升降表确定极值,进而确定最值,注意不能忽视边界. a 变式训练 3(B) .已知函数 f(x)=lnx- . x (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值; 2 (3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 解析:(1)由题知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知:f′(x)= x+a . x2

①若 a≥-1,则 x+a≥0, 即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 e a=- (舍去). ∴f(x)min=f(e)=1- = ? e 2 2
17

③若-e<a<-1,令 f′(x)=0,得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ? a=- e. 2 综上可知,a=- e. a (3)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2. x 又 x>0,∴a>xlnx-x3. 1-6x2 1 令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,h′(x)= -6x= , x x ∵h(x)在[1,+∞)上是减函数, ∴h(x)≤h(1)=-2,即 g′(x)<0, ∴g(x)在[1,+∞)上也是减函数, ∴g(x)≤g(1)=-1. 令 a≥-1 得 a>g(x), ∴当 f(x)<x2 在(1,+∞)恒成立时,a≥-1. 巩固练习题 A 组: 1.已知 y =

1 3 x + bx 2 + (b + 2) x + 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 3 A. b < ?1,或b > 2 B. b ≤ ?1,或b ≥ 2 C. ? 1 < b < 2 D. ? 1 ≤ b ≤ 2





答案: 答案:D 2.下列说法正确的是 A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于 f ( x) = x 3 + px 2 + 2 x + 1 ,若 | p |< D.函数 f (x ) 在区间 (a, b) 上一定存在最值. 答案: 答案:C
18





6 ,则 f (x) 无极值;

3.函数 f ( x) = x ? ax ? bx + a 在 x = 1 处有极值 10, 则点 (a, b) 为
3 2 2





A. (3,?3) 答案: 答案:B

B. (?4,11)

C. (3,?3) 或 (?4,11)

D.不存在

4.定义在闭区间 [ a, b] 上的连续函数 y = f (x ) 有唯一的极值点 x = x 0 ,且 y极小值 = f ( x 0 ) ,则下列说法正确的 是 A.函数 f (x ) 有最小值 f ( x 0 ) C.函数 f (x ) 的最大值也可能是 f ( x 0 ) 答案: 答案:A 5.函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x + 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A. 5,15 答案: 答案:C B 组: B. 5, ? 4 C. 5, ? 15 D. 5, ? 16 ( ) ( ) B. 函数 f (x ) 有最小值,但不一定是 f ( x 0 ) D. 函数 f (x ) 不一定有最小值

6.已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是 (

)

A.-37

B.-29

C.-5

D.以上都不对

答案: 答案:A

解析: ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),

f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,

∴当 x=0 时,f(x)=m 最大.∴m=3,从而 f(-2)=

-37,f(2)=-5.∴最小值为-37.

7.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,

且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是

(

)

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)
19

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

答案: 答案:D

解析: 设 F(x)=f(x)·g(x),由题意知 F(x)是奇函数,所以 F(x)的图象关于原点对称,由

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 知,F′(x)>0,即当 x<0 时,F(x)是增函数.又∵g(-3)=0,F(x)

的图象大体如图所示,

∴f(x)g(x)<0 的范围为(-∞,-3)∪(0,3). 8.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值 点,则 A.a<-1 答案: 答案:A 解析: ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.当 a≥0 时,y 不可能有极值点,故 a<0. B.a>-1 1 C.a<- e 1 D.a>- e ( )

由 ex+a=0 得 ex=-a,∴x=ln(-a),∴x=ln(-a)即为函数的极值点,

∴ln(-a)>0,即 ln(-a)>ln 1,∴a<-1. 1 9.已知函数 f(x)= mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为_________. 2 答案: 答案: [1, +∞ ) 1 1 2 1 2 1 解析: f′(x)=mx+ -2≥0 对一切 x>0 恒成立,m≥-( )2+ ,令 g(x)=-( )2+ ,则当 =1 时, x x x x x x 函数 g(x)取得最大值 1,故 m≥1. 1 10.设 a>0,函数 f(x)= x2-(a+1)x+aln x. 2 (1)若曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求 a 的值;

(2)求函数 f(x)的极值点. a 解析: (1)由已知得 x>0,f′(x)=x-(a+1)+ . x 因为曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1, 所以 f′(2)=-1, a 即 2-(a+1)+ =-1,所以 a=4. 2
20

a (2)f′(x)=x-(a+1)+ x x2-(a+1)x+a (x-1)(x-a) = = . x x ①当 0<a<1 时, 当 x∈(0,a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点. ②当 a=1 时, 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0, 当 x=1 时,f′(x)=0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在定义域内单调递增,此时 f(x)没有极值点. ③当 a>1 时,

当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;

当 x∈(1,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;

当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增,

此时 x=1 是 f(x)的极大值点,

x=a 是 f(x)的极小值点.

综上,当 0<a<1 时,x=a 是 f(x)的极大值点,

x=1 是 f(x)的极小值点;

当 a=1 时,f(x)没有极值点;

当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点.

21

学大艺考高三数学专题( 学大艺考高三数学专题(一)验收检测试卷
校区 选择题( 一、 选择题(每题 5 分,计 40 分) 1. (2011 年高考广东卷)函数 f ( x ) = A. (?∞, ?1) B. (1, +∞) 姓名 成绩

1 + lg( x + 1) 的定义域是 1? x
C. ( ?1,1) U (1, +∞ )





D. ( ?∞, +∞ )

2. (2011 年高考湖北卷)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 C U ( A U B ) = A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}

3. (2011 年高考天津卷)设集合 A = { x ∈ R | x ? 2 > 0} , B = { x ∈ R | x < 0} , C = { x ∈ R | x( x ? 2) > 0} , 则 “ x ∈ A ∪ B ”是 “ x ∈ C ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (2011 年高考辽宁卷)已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? p 为( ) (A) ? n∈N,2n≤1000 (B) ? n∈N,2n>1000
22

(C) ? n∈N,2n≤1000 5. (2011 年高考江西卷)若 f ( x) =

(D) ? n∈N,2n<1000

1 ,则 f ( x ) 的定义域为( log 1 (2 x + 1)
2

)

A. (?

1 , 0) 2

B. (?

1 , +∞) 2

C. (?

1 , 0) ∪ (0, +∞) 2

D. (?

1 , 2) 2

? x + 2y ?5 ≤ 0 ? 6. (2011 年高考山东卷)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 ,则目 ? x≥0 ?
标函数 z = 2 x + 3 y + 1 的最大值为 (A)11 7. A.1 (B)10 (C)9 (D)8.5 )

(2011 年高考江西卷)曲线 y = e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( B.2 C. e D.

1 e 1 4 + 的最小值是 a b 9 C. 2

8. (重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= A.

7 2

B.4

D.5

9. (上海理 2)若全集 U=R,集合 A = { x | x ≥ 1} U { x | x ≤ 0} ,则 ? A U
1 ? 1 10. 计算 (lg ? lg 25) ÷ 100 2 = _______. 4

填空题( 二、 填空题(每题 5 分,计 30 分)



11.(全国新课标理 13)若变量 x,y 满足约束条件 ? 12.(上海理 4)不等式

?3 ≤ 2 x + y ≤ 9 ,则 z=x+2y 的最小值是_________. ?6 ≤ x ? y ≤ 9


x +1 < 3 的解为 x

13.设 f ( x) = ?

?lg x, x > 0
x ?10 , x ≤ 0

则f ( f (?2)) = ______.

14.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)= 三、解答题(每题 20 分,计 80 分) 解答题( x 15. (2010·山东高考)(B) 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,求 a 的取值范围。 x +3x+1

23

1 9 16.(B)(1)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值; x y 1 5 (2)已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5

17.(B)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,且对于任意 x, y ∈ R ,有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且当 x > 0 时, 有 f ( x ) < 0 , f (1) = ?2 。 (1)证明: f ( x ) 是奇函数。 (2)证明 f ( x ) 在 R 上是减函数。 (3)求 f ( x ) 在区间 [ ?3, 3] 上的最大值和最小值。

3 2 18.(B) 已知 f ( x) = ax + bx ? 2 x + c 在 x = ?2 时有极大值 6,在 x = 1 时有极小值,

24

(1)求 a,b,c 的值; (2)并求 f ( x ) 区间 [ ?3,3] 上的最大值和最小值.

学大艺考高三数学专题( 学大艺考高三数学专题(一)验收检测试卷
校区 选择题( 三、 选择题(每题 5 分,计 40 分) 1. (2011 年高考广东卷)函数 f ( x ) = A. (?∞, ?1) 【答案】C 【解析】由题得 ? B. (1, +∞) 姓名 成绩

1 + lg( x + 1) 的定义域是 1? x
C. ( ?1,1) U (1, +∞ )





D. ( ?∞, +∞ )

?1 ? x ≠ 0 ∴ x > ?1且x ≠ 1 ∴函数的定义域为( - 1,1 U 1, ∞), )( + 所以选 C. ?x + 1 > 0

2. (2011 年高考湖北卷)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 C U ( A U B ) = A.{6,8} 答案:A 解析:因为 A U B = {1, 2,3, 4,5, 7} ,故 Cu ( A U B ) = {6,8} ,所以选 A.
3. (2011 年高考天津卷)设集合 A = { x ∈ R | x ? 2 > 0} , B = { x ∈ R | x < 0} , C = { x ∈ R | x( x ? 2) > 0} , 则 “ x ∈ A ∪ B ”是 “ x ∈ C ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

B. {5,7}

C. {4,6,7}

D. {1,3,5,6,8}

25

C.充分必要条件 【答案】C

D.既不充分也不必要条件

【解析】由两个集合并集的含义知,选项 C 正确. 4. (2011 年高考辽宁卷)已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? p 为( ) (A) ? n∈N,2n≤1000 (C) ? n∈N,2n≤1000 答案: A 解析:特称命题的否定是全称命题,“>”的否定是“≤”,故正确答案是 A. (B) ? n∈N,2n>1000 (D) ? n∈N,2n<1000

5. (2011 年高考江西卷)若 f ( x) =

1 ,则 f ( x ) 的定义域为( log 1 (2 x + 1)
2

)

B. (?

1 , 0) 2

B. (?

1 , +∞) 2

C. (?

1 , 0) ∪ (0, +∞) 2

D. (?

1 , 2) 2

【答案】C 【解析】 . ? 1 ? log 1 ( 2 x + 1) ≠ 0,∴ 2 x + 1 > 0, 2 x + 1 ≠ 1∴ x ∈ ? ? , 0 ? ∪ ( 0, +∞ ) ? 2 ? 2

? x + 2y ? 5 ≤ 0 ? 6. (2011 年高考山东卷)设变量 x, 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 , y ? x≥0 ?
则目标函数 z = 2 x + 3 y + 1 的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5

【答案】B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 z = 2 x + 3 y + 1 平移至点 A(3,1)时, 目标函数

z = 2 x + 3 y + 1 取得最大值为 10,故选 B.
7. A.1 (2011 年高考江西卷)曲线 y = e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( B.2 C. e D. )

1 e

【答案】A 【解析】 y ' = e x , x = 0, e 0 = 1 . 8. (重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=

1 4 + 的最小值是 a b
26

A.

7 2

B.4

C.

9 2

D.5

【答案】C 四、 填空题(每题 5 分,计 30 分) 填空题(

9. (上海)若全集 U=R,集合 A = { x | x ≥ 1} U { x | x ≤ 0} ,则 ? A U 【答案】 { x | 0 < x < 1} 10. 计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ÷ 100 2 =_______. 4



【答案】-20
1 ? 1 lg 2 + lg 5 1 = ?2 × lg10 ÷ = ?20 . 【解析】 (lg ? lg 25) ÷ 100 2 = ?2 × 1 ? 4 10 100 2

11.(全国新课标)若变量 x,y 满足约束条件 ? 【答案】-6 12.(上海)不等式

?3 ≤ 2 x + y ≤ 9 ,则 z=x+2y 的最小值是_________. ?6 ≤ x ? y ≤ 9


x +1 < 3 的解为 x

【答案】 x < 0或x ≥ 13.设 f ( x) = ? 【答案】 ?2

1 2

?lg x, x > 0
x ?10 , x ≤ 0

则f ( f (?2)) = ______.

【分析】由 x=-2 算起,先判断 x 的范围,是大于 0,还是不大于 0,;再判断 f(-2)作为自变量的值时的范围, 最后即可计算出结果. 14.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)= 【答案】6 解答题( 五、 解答题(每题 20 分,计 80 分) x 15. (2010·山东高考)(B) 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,求 a 的取值范围。 x +3x+1 x 解析:若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, x +3x+1 x 只需求得 y= 2 的最大值即可. x +3x+1 因为 x>0,所以 x y= 2 = x +3x+1 1 ≤ 1 x+ +3 2 x 1 1 = , 5 1 x· +3 x
27

当且仅当 x=1 时取等号, 1 所以 a 的取值范围是[ ,+∞). 5 1 9 16.(B)(1)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值; x y 1 5 (2)已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 1 9 解析:(1)∵x>0,y>0, + =1, x y 1 9 y 9x ∴x+y=(x+y)( + )= + +10≥6+10=16. x y x y y 9x 当且仅当 = 时,上式等号成立, x y 1 9 又 + =1, x y 5 (2)∵x< ,∴5-4x>0. 4 1 1 y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤ 4x-5 5-4x -2 ?5-4x?· 1 +3=1, 5-4x

1 , 当且仅当 5-4x= 5-4x 即 x=1 时,上式等号成立,故当 x=1 时,ymax=1. ∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16. 17.(B)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,且对于任意 x, y ∈ R ,有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且当 x > 0 时, 有 f ( x ) < 0 , f (1) = ?2 。 (1) 证明: f ( x ) 是奇函数。 (2) 证明 f ( x ) 在 R 上是减函数。 (3) 求 f ( x ) 在区间 [ ?3, 3] 上的最大值和最小值。 证明: (1)由已知 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 得: f ? x + ( ? x ) ? = f ( x ) + f ( ? x ), ? ?

∴ f ( x) + f (? x) = f (0)

又 f (0 + 0) = f (0) + f (0) ,∴ f (0) = 0

从而有:∴ f ( x ) + f ( ? x ) = 0,∴ f ( ? x ) = ? f ( x ). 从而有 f ( x ) 为奇函数。 (2)任取 x1 , x2 ∈ R, 且x1 < x2 , 则有

28

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 ) ? f ? x1 + ( x2 ? x1 ) ? = f ( x1 ) ? ? f ( x1 ) + f ( x2 ? x1 ) ? = ? f ( x2 ? x1 ) ,又 ? ? ? ?
Q x1 , x2 ∈ R, 且x1 < x2 , ∴ x2 ? x1 > 0 ,∴ f ( x2 ? x1 ) < 0
∴? f ( x2 ? x1 ) > 0, 即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,综上所述: f ( x) 在 R 上是减函数。
(3)由(2)知: f ( x ) 在 R 上是减函数,故有 f ( x ) 在 [ ?3, 3] 上的最大值为 f ( ?3) ,最小值为 f (3) , 由已知: f (1) = ?2, 得

f (3) = f (1 + 2) = f (1) + f (2) = f (1) + f (1 + 1) = f (1) + f (1) + f (1) = 3 f (1) = 3 × ( ?2) = ?6, f (?3) = ? f (3) = 6

18.(B) 已知 f ( x) = ax + bx ? 2 x + c 在 x = ?2 时有极大值 6,在 x = 1 时有极小值,
3 2

(1)求 a,b,c 的值; (2)求 f ( x ) 区间 [ ?3,3] 上的最大值和最小值. .解: (1) f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx ? 2 由条件知

? f ′(?2) = 12a ? 4b ? 2 = 0, 1 1 8 ? 解得a = , b = , c = . ? f ′(1) = 3a + 2b ? 2 = 0, 3 2 3 ? f (?2) = ?8a + 4b + 4 + c = 6. ?
(2) f ( x ) = x -3

1 3 1 2 8 x + x ? 2 x + , f ′( x) = x 2 + x ? 2 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ′(x) f (x) 4 1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时, f max = 10

1 3 ,当 x=1 时, f min = . 6 2

29


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