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2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)


全国高中数学联赛模拟题 一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 , a 2 ? ? 1 ,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n , n ? 1, 2, ? .则
a 2011 =



2.设 a,b,c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一

个完全平方数,
lo g 6 a ? lo g 6 b ? lo g 6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ?



3.一列数 a1 , a 2 , a 3 , ? 满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 3 ,则
1 a2 ? 1 ? 1 a3 ? 1 ?? ? 1 a1 0 0 ? 1 ?


1 2

4 . 设 a ? ? 1 , 变 量 x 满 足 x 2 ? a x ? ? x, 且 x 2 ? a x 的 最 小 值 为 ?
a ? _______.

,则

5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1, 2, ? , 5 0 0 ? 中任取一个元素 m, 则 m 整除 n 的概率是
1 100

,则 n 的最大值是

. .

6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为

7.一个直径 A B ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一 点 S , AS ?AB ,C 为半圆上一个动点,N , M 分别为 A 在 S C , S B 上的射影.当 使 三棱锥 S ? A M N 的体积最大时, ? B A C ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8 x 于 A , B 两点,若 A B 中点的横坐标为 2 , 则 AB ? .

二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分) 9.(本小题满分 16 分)设 x , y , z ? ?1 ,? ? ? ,证明不等式

( x ? 2 x ? 2)( y ? 2 y ? 2)( z ? 2 z ? 2) ? ( xyz ) ? 2 xyz ? 2
2 2 2 2



10.(本小题满分 20 分)已知双曲线 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0

, b ? 0 )的离

m 心率为 2,过点 P (0 , ) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点,

且 AP ? 3PB ,OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ? Q F M ? 2 ? Q M F ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

11. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 x1 , x 2 , ? , x n , ? 是 不 同 的 正 实 数 . 证 明 :
x1 , x 2 , ? , x n , ?

是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n ( ? 2 ) ,都有
x1 x2

?

n ?1

xn

2

?

x n ? x1
2

2 2

k ?1

x k x k ?1

x 2 ? x1
2

.

参考答案 一 试 1. 0. 因为 a 1 ? 2 ,a 2 ? ? 1 ,a 3 ? 3 ,a 4 ? 4 ,a 5 ? 1 ,a 6 ? 3 ,a 7 ? 2 ,a 8 ? 1 ,a 9 ? 1 ,
a10 ? 0

, a1 1 ? 1 , a1 2 ? 1 , a13 ? 0 ,….所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周

期地取值 1,1,0,故 a 2 0 1 1 =0. 2. 111. 由题意, b 2 ? ac , lo g 6 a b c ? 6 ,所以, abc ? 6 6 ,故 b ? 6 2 ? 3 6 , ac ? 36 2 . 于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 3 6 2 的约数,故 a ? 27 .进而, c ? 4 8 .所以, a ? b ? c ? 111 . 3.
33 100



当 n ? 2 时,有
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n
3


3

a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ( n ? 1)



两式相减,得 所以
1 an ? 1 1 a2 ? 1 ? ?

an ? 3 n ? 3 n ? 1 ,
2

1 1 1 ? ( ? ) ,n 3 n ( n? 1 ) 3 n? 1 n 1 a3 ? 1 1 a1
0 0

1

? 2 ,? , 3


?

?? ?

?1

1 1 1 1 1 1 ( ? )?? ? ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 ? (1 ? )? . 3 100 100 (1 ? )?

1

1

4. ?

3 2


2

由 a ? ? 1 及 x ? ax ? ? x 得:0 ? x ? ? ( a ? 1) ,设 若 ? ( a ? 1) ? ?
a 2
f ( ? a ? 1 ) ? a ?,因此 a ? 1 ? ? 1

f ( x) ? x ? ax ? ( x ?
2

a 2

) ?
2

a

2



4

, 即 ? 2 ? a ? ? 1 , 则 f ( x ) 在 x ? ? ( a ? 1) 处 取 最 小 值
1 2

,a ? ?

3 2


a 2

若 ? ( a ? 1) ? ?
2

a 2

, 即 a ? ?2 , 则 f ( x ) 在 x ? ?

处取最小值 ?

a

2

,因此

4

?

a

? ?

1 2

, a ? ? 2 (舍去) .

4

5. 81.

? 由题设知,n 恰有 5 个约数.设 n 的质因数分解是 n ? p1? ? p k ,则 n 的约数
1 k

个数为 (? 1 ? 1)? (? k ? 1) ,所以 (? 1 ? 1)? (? k ? 1) =5,故 n 具有 p 4 的形式,而
3 ? 8 1, 5 ? 6 2 5 ? 5 0 0 ,故
4 4

n 的最大值为 81.

6. 22010. 令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为 f(x)的展开式中,x 的奇次项的系数和.故所求的答案为
3 3

1 2

(f(1)-f(-1))=22010.

7. a rc c o s



易知 B C ? 面 SA C ,所以 B C ? A N ,从而 A N ? 面 SB C ,所以 A N ? SM ,因 此 S M ? 面 A M N . V S ? AM N ?
1 3 ? S M ? S ?ANM

,由 S A ? A B ? 2 得: A M ? S M ?

2



而 A N ? N M ,? A M N 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 A N ? M N ? 1 时 取到,此时, ? B A C ? arcco s 8. 2 1 5 . 设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , 由 y ?
y1 ? y 2? 8 k , y y1 ?2 ? 1 6 k
? ? 3 3



ky 8

2

?2

2 0 , 即 k y ? 8 y? 1 6 ? , 所 以 ,

, 因此

8 k

? y 1 ? y 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? 4 k ? 4 , k ? k ? 2 ? 0 , 即
2

因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ? 2 ? 和 ? 2 ,
y ? 8x
2

y1 ? y 2 ? ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 ,再由 y ? 2 x ? 2 2 ?



,解得 A ? 2 ? 3 , 2 ? 2 3 ? , B ? 2 ? 3 , 2 ? 2 3 ? ,所以 A B ? 2 1 5 .

9.注意到 x ? 1, y ? 1 ,所以
( x ? 2 x ? 2 )( y ? 2 y ? 2 ) ? (( xy ) ? 2 xy ? 2 )
2 2 2

? ( ? 2 y ? 2) x ? (6 y ? 2 y ? 4) x ? (2 y ? 4 y ? 2)
2 2 2

? ?2 (y ? 1 )x(
2

? y( ? 2 ) ? x

1y ?

)

? ? 2( y ? 1)( x ? 1)( x ? y ? 1) ? 0



所以

(x ? 2x ? 2 ) y ? (
2 2

2 ? y

2? x ( ) y
2

? )

x2 . y?

2

同理,因为 xy ? 1, z ? 1 ,所以
(( xy ) ? 2 xy ? 2)( z ? 2 z ? 2) ? ( xyz ) ? 2 xyz ? 2
2 2 2



10.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2 a , b ? 3 a ,双曲线方程化为
x a
2 2

?

y

2 2

? 1.

3a

又直线 l 方程为

2 ? x2 y ?1 ? 2 ? 2 ,得 y ? x ? m .由 ? a 3a ? y ? x?m ?

2 x ? 2 m x ? m ? 3a ? 0 .
2 2 2


? m ? 3a
2 2

y 设 A ( x1 , 1 ) , B ( x 2 ,y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? m , x1 x 2 ?



2

m 因为 A P ? 3 P B ,所以 ( ? x1 , ? y1 ) ? 3( x 2 ,y 2 ? m ) , x1 ? ? 3 x 2 .
3 2 1 2

??? ?

??? ?

结 合 x1 ? x 2 ? m , 解 得 x1 ?
3 4 ? m ? 3a
2 2

m

, x2 ? ?

m

. 代 入 x1 x 2 ?

? m ? 3a
2

2

,得

2

?

m ?
2

,化简得 m 2 ? 6 a 2 .又
??? ??? ? ? O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? 2 x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m ? m ? 3 a ? 3 a ,
2 2 2 2

2

且OA ?OB ? 3 . 所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2 x 2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求. 故双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y
2

??? ??? ? ?

?1.

3
0) 0 (2)假设点 M 存在,设 M ( t , .由(1)知,双曲线右焦点为 F ( 2 , ) .设

Q ( x 0 , 0 ) ( x 0 ? 1 )为双曲线 C y

右支上一点.

当 x 0 ? 2 时, tan ? Q F M ? ? k Q F ? ?

y0 x0 ? 2

, tan ? Q M F ? k Q M ?

y0 x0 ? t

,因为

2?
? Q FM ? 2? Q M F

y0 x0 ? t y0 x0 ? t )
2

,所以 ?

y0 x0 ? 2

? 1? (



将 y 02 ? 3 x 02 ? 3 代入,并整理得, ? 2 x 02 ? (4 ? 2 t ) x 0 ? 4 t ? ? 2 x 02 ? 2 tx 0 ? t 2 ? 3 . 于是 ?
? 4 ? 2t ? ? 2t ? ? 4t ? t ? 3
2

,解得 t ? ? 1 .

当 x 0 ? 2 时 , ? Q F M ? 90 0 , 而 t ? ? 1 时 , ? Q M F ? 45 0 , 符 合
? Q F M ?2 ? Q . F M

0 所以 t ? ? 1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 ( ? 1 , ) .

11.必要性:若 x1 , x 2 , ? , x n , ? 是一个等比数列,设 x k ? a r k ?1 ,则
x1 x2

?

n ?1

xn

2

?

r

2 ( n ? 1) n ? 1

k ?1

x k x k ?1

r

?

1 r
2 k ?1

k ?1

? 1? r ?? ? r
2

2(n?2)

?

r

2 ( n ? 1) 2

?1

r ?1



x n ? x1
2 2

2 2

x 2 ? x1

.

充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有
2 2 2 2 x ? x ? x1 x1 ? x 3 ? 3 ? ? 32 ? 2 x 2 ? x1 x 2 x 2 x 3 ? x 2 ? x1



化简得 x1 x 3 ? x 22 ,所以, x1 , x 2 , x 3 成等比数列. 假 设 x1 , x 2 ,? , xn ? 1成 等 比 数 列 ( n ? 4 ) 记 x k ? a r k ?1 , k ? 1, 2, ? , n ? 1 , ,
x n ? a u n ,则
2 ? u2 ?1 un ? 1 1 1 1 ? 3 ? ? ? 2 n?5 ? n?2 ? ? n , ? 2 r ?r r r r un ? r ? 1

2 2 ? u n (1 ? r 2 ? r 4 ? ? ? r 2 n ? 6 ) ? r n ? 3 u n ? ( r 2 ? 1) ? ( u n ? 1) r 2 n ? 4 , ? ?

un ? (r
2

n ?1

?r
n ?1

n?3

)u n ? r
?r
n?3

2n?4

?0



?u

n

?r

? ?u

n

??0,

因为 u n ? 0 ,所以 u n ? r n ?1 ,即 x n ? a r n ?1 ,从而 x1 , x 2 , ? , x n 成等比数列.由数学归 纳法知, x1 , x 2 , ? , x n , ? 是一个等比数列.


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