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26关于整数问题的训练


关于整数问题的几个训练
1.(教程 P573 5)3960 的正约数的个数(包括 1 和自身) 有___个. 2.(教程 P581 1)当 2100 被 13 除时,余数是( )

48

B

(A)1 (B)3 (C)7 (D)11 3.(教程 P581 4) 22225555 ? 55552222 ? ____(mod 7)

0

4.(教程 P592 1)求方程 x 的正数数解.2000

2000

? 2000

1999

?x

1999

? 2000

2000

5.(美国第 4 届数学邀请赛题)使 n +100 能被 n+10 整除的正整数 n 的最大值是多少? 890
1

3

1答案

2答案

3答案

4答案

5答案 课外思考

1.(教程 P573 5)3960 的正约数的个数(包括 1 和自身) 有___个.

∵ 3960 ? 2 ? 3 ? 5 ? 11 ∴3960 的正约数共有 (3 ? 1)(2 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) ? 48 个.
3 2

2

2.(教程 P581 1)当 2100 被 13 除时,余数是( ) (A)1 (B)3 (C)7 (D)11

∵13 是质数 12 ∴ 2 ? 1(mod13) . ∴ 2100 ? 212?8? 4 ? 24 ? 3(mod13)

3

P581 4) 22225555 ? 55552222 ? ____(mod 7) 3.(教程

22225555 ? 55552222 ? 2222925?6? 5 ? 5555370?6? 2

? 2222 ? 5555 ? 3 ? 4 ? 0(mod 7)
5 2 5 2

4

4.(教程 P592 1)求方程 x 2000 ? 20001999 ? x1999 ? 20002000 的正数数解.

解:若 x ≥ 0 , 1999 1999 则应有 x ( x ? 1) ? 2000 (2000 ? 1) ∴ x ?1 ? 0, 利用 f ( x ) ? x1999 ( x ? 1) ( x ? 1) 的性质,可知只能 是 x ? 2000 若 x ? 0 ,令 x ? ? y , y ? 0 , 则 y1999 ( y ? 1) ? 200019991999 注意到 y 为正整数,…………
∴方程只有一个正整数解 x ? 2000
5

5.(美国第 4 届数学邀请赛题)使 n +100 能被 n+10 整 除的正整数 n 的最大值是多少?

3

解:n +100=(n+10)(n -10n+100)-900. 若 n+100 能被 n+10 整除, 则 900 也能被 n+10 整除. 而且,当 n+10 的值为最大时, 相应地 n 的值为最大. 因为 900 的最大因子是 900. 所以 n+10=900,n=890.
6

3

2

课外思考:

答案

7

1答案

2答案

思考 2 解:

8

思考 2 解:2

9


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