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高中数学2.2.1等差数列教案 新人教B版必修5


2.2.1

等差数列
整体设计

教学分析 本节课将探究一类特殊的数列——等差数列. 本节课安排 2 课时, 第 1 课时是在生活中 具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式, 最后根据这个公式去进行有关计算. 第 2 课时主要是让学生明确等差中项的概念, 进一步熟 练掌握等差数列的通项公式

及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性 质. 让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次型函数, 使学生学会用图象与通 项公式的关系解决某些问题.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑, 学会探究. 在问题探索过程中, 先从观察入手, 发现问题的特点, 形成解决问题的初步思路, 然后用归纳方法进行试探, 提出猜想, 最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想. 其 中例 1 是巩固定义,例 2 到例 5 是等差数列通项公式的灵活运用. 在教学过程中,应遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知 识的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣, 发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主 体地位.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数 学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化. 数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位, 很多知识都与数列有着密切联 系,过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用, 而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫. 教材采取将代数、 几何打通的 混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系, 而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重 要作用.因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材. 三维目标 1.通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例抽象出等差数列模型,让学生认 识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型. 同时经历由发现几个具体数列的等差关 系,归纳出等差数列的定义的过程. 2.探索并掌握等差数列的通项公式,由等差数列的概念,通过归纳或迭加或迭代的方 式探索等差数列的通项公式. 通过与一次函数的图象类比, 探索等差数列的通项公式的图象 特征与一次函数之间的联系. 3.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与

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一般的辩证唯物主义观点,加强理论联系实际,激发学生的学习兴趣. 重点难点 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式,等差中项及性质,会用公式解决一 些简单的问题. 教学难点:概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看 通项公式,并会解决一些相关的问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式,可有 意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列,如:数列 1,2,3,?,数列 0,0,0,?,数列 0,2,4,6,?等,然后直接引导学生阅读教材中的实例,不知不觉中就已经进入了新课. 思路 2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式,使学 生明了我们现在要研究的就是一列数.由此我们联想:在初中我们学习了实数,研究了它的 一些运算与性质,那么我们能不能也像研究实数一样,来研究它的项与项之间的关系、运算 和性质呢?由此导入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?回忆数列的概念,数列都有哪几种表示方法? ?2?阅读教科书本节内容中的①②③3 个背景实例,熟悉生活中常见现象,写出由 3 个实例所得到的数列. ?3?观察数列①②③,它们有什么共同特点? ?4?根据数列①②③的特征,每人能再举出 2 个与其特征相同的数列吗? ?5?什么是等差数列?怎样理解等差数列?其中的关键字词是什么? ?6?数列①②③存在通项公式吗?如果存在,分别是什么? ?7?等差数列的通项公式是什么?怎样推导? 活动:教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递
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推公式、图象法,这些方法从不同角度反映了数列的特点.然后引导学生阅读教材中的实例 模型,指导学生写出这 3 个模型的数列: ①22,22.5,23,23.5,24,24.5,?; ②2,9,16,23,30; ③89,83,77,71,65,59,53,47. 这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列. 观察这 3 个数列发现, 每个数列 中相邻的后项减前项都等于同一个常数. 当然这里我们是拿后项减前项, 其实前项减后项也 是一个常数,为了后面内容的学习方便,这个顺序不能颠倒. 至此学生会认识到, 具备这个特征的数列模型在生活中有很多, 如上节提到的堆放钢管 的数列为 100,99,98,97,?,某体育场一角的看台的座位排列:第一排 15 个座位,向后依 次为 17,19,21,23,?,等等. 以上这些数列的共同特征是: 从第 2 项起, 每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即 等差). 这就是我们这节课要研究的主要内容. 教师先让学生试着用自己的语言描述其特征, 然后给出等差数列的定义. 等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差等于同一 个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母 d 表示. 教师引导学生理解这个定义: 这里公差 d 一定是由后项减前项所得, 若前项减后项则为 -d,这就是为什么前面 3 个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因.显 然 3 个模型数列都是等差数列,公差依次为 0.5,7,-6. 教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一 些概念,能否抓住定义中的关键字,是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件,这是 学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念, 以培养学 生分析问题、认识问题的能力) 这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分. 用递推公式可以 这样描述等差数列的定义: 对于数列{an}, 若 an-an-1=d(d 是与 n 无关的常数或字母), n≥2, n∈N ,则此数列是等差数列.这是证明一个数列是等差数列的常用方法.点拨学生注意这 里的“n≥2”,若 n 包括 1,则数列是从第 1 项向前减,显然无从减起.若 n 从 3 开始,则 会漏掉 a2-a1 的差,这也不符合定义,如数列 1,3,4,5,6,显然不是等差数列,因此要从意 义上深刻理解等差数列的定义. 教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式, 学生根据已经学过的数列通项公式的
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定义,观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出:①an=21.5+0.5n,②an=7n-5, ③an=-6n+95. 以上这几个通项公式有共同的特点, 无论是在求解方法上, 还是在所求的结果方面都存 在许多共性.教师点拨学生探求,对任意等差数列 a1,a2,a3,?,an,?,根据等差数列 的定义都有: a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, ?? 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d. 学生很容易猜想出等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 后,教师适时点明:我们归纳 出的公式只是一个猜想,严格的证明需要用到后面的其他知识. 教师可就此进一步点拨学生: 数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法, 后面还要专 门探究它.数学中有很多著名的猜想,如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠,对于它 的证明中国已处于世界领先地位.很多著名的数学结论都是从猜想开始的.但要注意,数学 猜想仅是一种数学想象, 在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用. 这里我们归纳猜 想的等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 是经过严格证明了的,只是现在我们知识受限, 无法证明,所以说我们先承认它.鼓励学生只要创新探究,独立思考,也会有自己的新奇发 现. 教师根据教学实际情况,也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法.例如: 方法一(叠加法):∵{an}是等差数列, ∴an-an-1=d, an-1-an-2=d, an-2-an-3=d, ?? a2-a1=d. 两边分别相加得 an-a1=(n-1)d, 所以 an=a1+(n-1)d,
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方法二(迭代法):{an}是等差数列,则有 an=an-1+d, =an-2+d+d =an-2+2d =an-3+d+2d =an-3+3d ?? =a1+(n-1)d. 所以 an=a1+(n-1)d. 讨论结果: (1)~(4)略. (5)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列.其中关键词为“从第 2 项起”、“等于同一个常数”. (6)三个数列都有通项公式,它们分别是:an=21.5+0.5n,an=7n-5,an=-6n+95. (7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d. 应用示例 例 1(教材本节例 2) 活动:本例的目的是让学生熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.教学时 要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于 an、a1、d、n(独立的量有 3 个)的方 程,以便于学生能把方程思想和通项公式相结合,解决等差数列问题.本例中的(2)是判断 一个数是否是某等差数列的项.这个问题可以看作(1)的逆问题.需要向学生说明的是,求 出的项数为正整数,所给数就是已知数列中的项,否则,就不是已知数列中的项.本例可由 学生自己独立解决,也可做板演之用,教师只是对有困难的学生给予恰当点拨. 点评:在数列中,要让学生明确解方程的思路.

变式训练 (1)100 是不是等差数列 2,9,16,?的项,如果是,是第几项?如果不是,请说明理 由; 1 (2)-20 是不是等差数列 0,-3 ,-7,?的项,如果是,是第几项?如果不是,请说 2

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明理由. 解:(1)由题意,知 a1=2,d=9-2=7.因而通项公式为 an=2+(n-1)×7=7n-5. 令 7n-5=100,解得 n=15,所以 100 是这个数列的第 15 项. 1 7 7 (2)由题意可知 a1=0,d=-3 ,因而此数列的通项公式为 an=- n+ . 2 2 2 7 7 47 7 7 令- n+ =-20,解得 n= .因为- n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这个 2 2 7 2 2 数列的项.

1 例 2 一个等差数列首项为 ,公差 d>0,从第 10 项起每一项都比 1 大,求公差 d 的范 25 围. 活动:教师引导学生观察题意,思考条件“从第 10 项起每一项都比 1 大”的含义,应 转化为什么数学条件?是否仅是 a10>1 呢?d>0 的条件又说明什么?教师可让学生合作探 究,放手让学生讨论,不要怕学生出错. 解:∵d>0,设等差数列为{an},则有 a1<a2<a3<?<a9<a10<a11<?,
?1<a10<a11<?, ? 由题意,得? ? ?a1<a2<?<a9≤1,

? ?a10>1 即? ?a9≤1 ?

1 ? ?25+?10-1?d>1, ?? 1 ?25+?9-1?d≤1, ?

8 3 解得 <d≤ . 75 25 点评:本例学生很容易解得不完整,解完此题后让学生反思解题过程.本题主要训练学 生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解.

变式训练 1 1 1 * 在数列{an}中,已知 a1=1, = + (n∈N ),求 a50. an+1 an 3 解:已知条件可化为 1 1 1 * - = (n∈N ), an+1 an 3

1 1 1 由等差数列的定义,知{ }是首项为 =1,公差为 d= 的等差数列, an a1 3
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1 1 52 =1+(50-1)× = . a50 3 3

3 ∴a50= . 52

例 3 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p、q 是常数,那么这个数列是否一定是 等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 活动:要判定{an}是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,根据 an-an-1(n>1)是 不是一个与 n 无关的常数. 这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法: 如果一个数列的通项公式是 关于正整数的一次型函数, 那么这个数列必定是等差数列. 因而把等差数列通项公式与一次 函数联系了起来.本例设置的“旁注”,目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征:对 于通项公式形如 an=pn+q 的数列,一定是等差数列,一次项系数 p 就是这个等差数列的公 差,首项是 p+q.因此可以深化学生对等差数列的理解,同时还可以从多个角度去看待等差 数列的通项公式, 有利于以后更好地把握等差数列的性质. 在教学时教师要根据学生解答的 情况,点明这点. 解:当 n≥2 时, 〔取数列{an}中的任意相邻两项 an-1 与 an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p 为常数, 所以{an}是等差数列,首项 a1=p+q,公差为 p. 点评:(1)若 p=0,则{an}是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,?. (2)若 p≠0,则 an 是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点(n,an)均在一次 函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差 p,直线在 y 轴上的截距为 q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 an=pn+q(p、 q 是常数), 称其为第 3 通项 公式.

变式训练 已知数列的通项公式 an=6n-1.问这个数列是等差数列吗?若是等差数列, 其首项与 公差分别是多少? 解:∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数), ∴{an}是等差数列,其首项为 a1=6×1-1=5,公差为 6. 点评:该训练题的目的是进一步熟悉例 3 的内容.需要向学生强调,若用 an-an-1=d,
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则必须强调 n≥2 这一前提条件,若用 an+1-an=d,则可不对 n 进行限制.

知能训练 1.(1)求等差数列 8,5,2,?的第 20 项; (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 2.求等差数列 3,7,11,?的第 4 项与第 10 项. 答案: 1.解:(1)由 a1=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20=8+(20-1)×(-3)=-49. (2)由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为 an=-5-4(n-1)=-4n-1. 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立.解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项. 2.解:根据题意可知 a1=3,d=7-3=4. ∴该数列的通项公式为 an=3+(n-1)×4, 即 an=4n-1(n≥1,n∈N ). ∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39. 课堂小结 1.先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么?都用到了哪些 数学思想方法?你在这节课里最大的收获是什么? 2.教师进一步集中强调,本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式,等差数 列的基本性质是“等差”.这是我们研究有关等差数列的主要出发点,是判断、证明一个数 列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法, 要注意这里的“等差”是对任意相邻两 项来说的. 作业 习题 2—2 A 组 1、2. 设计感想 本教案设计突出了重点概念的教学,突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应 用.等差数列是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括,准 确地把握定义是正确认识等差数列, 解决相关问题的前提条件. 通项公式是项与项数的函数 关系, 是研究一个数列的重要工具. 因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密
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切相关,因此通过函数图象研究数列性质成为可能. 本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨,引导综合运用观察、归纳、猜想、证 明等方法研究数学,这是一种非常重要的学习方法;在问题探索求解中,常常是先从观察入 手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳方法进行试探,提出猜想,最 后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想. 本教案设计突出了发散思维的训练.通过一题多解,多题一解的训练,比较优劣,换个 角度观察问题,这是数学发散思维的基本素质.只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组 合、融合,激发好奇心,体验多样性,学懂学透,融会贯通,创新思维才能与日俱增. (设计者:周长峰)

第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义, 让学生回忆这个定义, 并举出几个等差数列的例子. 接着教师引导学生探究自己所举等差数 列例子中项与项之间有什么新的发现?比如, 在同一个等差数列中, 与某一项“距离”相等 的两项的和会是什么呢?由此展开新课. 思路 2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容:等差数列的定义以及等差 数列的通项,之后直接提出等差中项的概念让学生探究,由此而展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?请学生回忆上节课学习的等差数列的定义,如何证明一个数列是等差数列? ?2?等差数列的通项公式是怎样得出来的?它与一次函数有什么关系? ?3?什么是等差中项?怎样求等差中项? ?4?根据等差中项的概念,你能探究出哪些重要结论呢? 活动:借助课件,教师引导学生先回忆等差数列的定义,一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即 an-an-1=d(n≥2,n∈N ),这个数列就 叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示). 再一起回顾通项公式, 等差数列{an}有两种通项公式: an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、 q 是常数).
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由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d 的方法:①d=an-an-1;②d= an-a1 an-am ;③d= . n-1 n-m 对于通项公式的探究,我们用归纳、猜想得出了通项公式,后又用叠加法及迭代法推导 了通项公式. 教师指导学生阅读课本等差中项的概念, 引导学生探究: 如果我们在数 a 与数 b 中间插 入一个数 A,使三个数 a,A,b 成等差数列,那么数 A 应满足什么样的条件呢? a+b 由定义可得 A-a=b-A,即 A= . 2 a+b 反之,若 A= ,则 A-a=b-A, 2 a+b 由此可以得 A= ?a,A,b 成等差数列. 2 由此我们得出等差中项的概念:如果三个数 x,A,y 组成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y x+y 的等差中项.如果 A 是 x 和 y 的等差中项,则 A= . 2 根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 5 是 3 与 7 的等差中项,也是 1 和 9 的等差中项. 9 是 7 和 11 的等差中项,也是 5 和 13 的等差中项. 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a,A,b 成等差数列?2A=a+b,以促成将 等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由 a,A,b 间的关系证得 a,A,b 成等差数列. 根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题: 如上面的数列 1,3,5,7,9,11,13, ?中, 我们知道 2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8,那么你能发现什么规律呢?再验证一下,结果有 a2 +a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6.由此我们猜想这个规律可推广到一般,即在等差数列{an} 中,若 m、n、p、q∈N 且 m+n=p+q,那么 am+an=ap+aq,这个猜想与上节的等差数列的 通项公式的猜想方法是一样的,是我们归纳出来的,没有严格证明,不能说它就一定是正确 的. 让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢?只要运用通项公式加以转化即可. 设首项为 a1,则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以 am+an=ap+aq. 由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{an}的各项中,与首末两项等距离的 两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若 m+n=p+q,则上面两式的右边相
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等,所以 am+an=ap+aq.同样地,我们还有:若 m+n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项 的内容. 我们自然会想到由 am+an=ap+aq 能不能推出 m+n=p+q 呢?举个反例, 这里举个常数 列就可以说明结论不成立. 这说明在等差数列中,am+an=ap+aq 是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件.由此我们 还进一步推出 an+1-an=d=an+2-an+1, 即 2an+1=an+an+2, 这也是证明等差数列的常用方法. 同时我们通过这个探究过程明白:若要说明一个猜想正确,必须经过严格的证明,若要 说明一个猜想不正确,仅举一个反例即可. 讨论结果:(1)(2)略. x+y (3)如果三个数 x,A,y 成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项,且 A= . 2 (4)得到两个重要结论: ①在数列{an}中, 若 2an+1=an+an+2(n∈N ), 则{an}是等差数列. ②在等差数列中,若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N ),则 am+an=ap+aq. 应用示例 例 1 在等差数列{an}中,若 a1+a6=9,a4=7,求 a3,a9. 活动:本例是一道基本量运算题,运用方程思想可由已知条件求出 a1,d,进而求出通 项公式 an,则 a3,a9 不难求出.应要求学生掌握这种解题方法,理解数列与方程的关系. 解:由已知,得?
?a1+a1+5d=9, ? ?a1+3d=7, ? ?a1=-8, ? 解得? ?d=5. ?
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∴通项公式为 an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13. ∴a3=2,a9=32. 点评:本例解法是数列问题的基本运算,应要求学生熟练掌握,当然对学有余力的同学 来说,教师可引导探究一些其他解法,如 a1+a6=a4+a3=9. ∴a3=9-a4=9-7=2. 由此可得 d=a4-a3=7-2=5. ∴a9=a4+5d=32. 点评:这种解法巧妙,技巧性大,需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解.

变式训练 已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10 等于(
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)

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A.-165 答案:C

B.-33

C.-30

D.-21

1 解析:依题意知,a2=a1+a1=2a1,a1= a2=-3,an+1=an+a1=an-3, 2 可知数列{an}是等差数列,a10=a1+9d=-3-9×3=-30.

例 2(教材本节例 5) 活动:本例是等差数列通项公式的灵活运用.正如边注所说,相当于已知直线过点 (1,17),斜率为-0.6,求直线在 x 轴下方的点的横坐标的取值范围.可放手让学生完成本 例.

变式训练 等差数列{an}的公差 d<0,且 a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是? ( ) A.an=2n-2(n∈N ) C.an=-2n+12(n∈N ) 答案:D a2·a4=12 ? ? 解析:由题意知?a2+a4=8 ? ?d<0
? ?a2=6 ?? ?a4=2 ? ? ?a1=8, ?? ?d=-2, ?
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B.an=2n+4(n∈N ) D.an=-2n+10(n∈N )
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所以由 an=a1+(n-1)d,得 an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.

例 3 已知 a、b、c 成等差数列,那么 a (b+c),b (c+a),c (a+b)是否成等差数列? 活动:教师引导学生思考 a、b、c 成等差数列可转化为什么形式的等式?本题的关键是 考察在 a+c=2b 的条件下,是否有以下结果:a (b+c)+c (a+b)=2b (a+c).教师可让 学生自己探究完成,必要时给予恰当的点拨. 解:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2b. 又∵a (b+c)+c (a+b)-2b (c+a) =a b+a c+ac +bc -2b c-2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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2

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=(a b-2ab )+(bc -2b c)+(a c+ac ) =ab(a-2b)+bc(c-2b)+ac(a+c) =-abc-abc+2abc =0, ∴a (b+c)+c (a+b)=2b (a+c). ∴a (b+c),b (c+a),c (a+b)成等差数列. 点评:如果 a、b、c 成等差数列,常转化为 a+c=2b 的形式,反之,如果求证 a、b、 c 成等差数列,常改证 a+c=2b.有时还需运用一些等价变形技巧,才能获得成功. 例 4 在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a、b、c,使这五个数成等差数列,求此数列. 活动:教师引导学生从不同角度加以考虑:一是利用等差数列的定义与通项;一是利用 等差中项加以处理.让学生自己去探究,教师一般不要给予提示,对个别探究有困难的学生 可适时地给以点拨、提示. 解:(方法一)设这些数组成的等差数列为{an},由已知,a1=-1,a5=7, ∴7=-1+(5-1)d,即 d=2. ∴所求的数列为-1,1,3,5,7. (方法二)∵-1,a,b,c,7 成等差数列, -1+7 ∴b 是-1,7 的等差中项,a 是-1,b 的等差中项,c 是 b,7 的等差中项,即 b= 2 -1+b b+7 =3,a= =1,c= =5. 2 2 ∴所求数列为-1,1,3,5,7. 点评:通过此题可以看出,应多角度思考,多角度观察,正像前面所提出的那样,尽量 换个角度看问题,以开阔视野,培养自己求异发散的思维能力.
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

变式训练 1 数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ }是等差数列,则 a11 等于( an+1 2 A.- 5 答案:B 1 1 1 解析:设 bn= ,则 b3= ,b7= , an+1 3 2 1 B. 2 2 C. 3 D.5 )

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1 1 因为{ }是等差数列,可求得公差 d= , an+1 24 2 1 1 所以 b11=b7+(11-7)d= ,即 a11= -1= . 3 b11 2

例 5 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4 千米(不含 4 千 米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车前往 14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间 为 0,需要支付多少元的车费? 活动: 教师引导学生从实际问题中建立数学模型. 在这里也就是建立等差数列的数学模 型.引导学生找出首项和公差,利用等差数列通项公式的知识解决实际问题. 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令 a1=11.2 表示 4 km 处的车费,公差 d=1.2,那么,当出租车行至 14 km 处时,n= 11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 答:需要支付车费 23.2 元. 点评:本例中令 a1=11.2,这点要引起学生注意,这样一来,前往 14 km 处的目的地就 相当于 n=11,这点极容易弄错. 知能训练

1.已知等差数列{an}中,a1+a3+a5+a7=4,则 a2+a4+a6 等于( A.3 B.4 C.5 D.6

)

2.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 答案: 1.解析:由 a1+a3+a5+a7=4,知 4a4=4,即 a4=1. ∴a2+a4+a6=3a4=3. 答案:A 2.解析:∵a2+a3=13, ∴2a1+3d=13. ∵a1=2,∴d=3. B.42 C.43 D.45

)

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而 a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42. 答案:B 课堂小结 1.先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么?都用到了哪些 数学思想方法?你是如何通过旧知识来获取新知识的?你在这节课里最大的收获是什么? 2.教师进一步画龙点睛,本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论, 一个是等差数列的证明方法,一个是等差数列的性质,要注意这些重要结论的灵活运用. 作业 课本习题 2—2 A 组 5、6、7. 设计感想 本教案是根据课程标准、 学生的认知特点而设计的, 设计的活动主要都是学生自己完成 的.特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆;本节课只是继续对等差 数列进行这方面的探究. 本教案除了安排教材上的两个例题外, 还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的 几道例题及变式训练. 为了学生的课外进一步探究, 在备课资料中摘选了部分备用例题及备 用习题,目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究,以开阔学生的视野. 本教案的设计意图还在于,加强数列与函数的联系.这不仅有利于知识的融会贯通,加 深对数列的理解, 运用函数的观点和方法解决有关数列的问题, 而且反过来可使学生对函数 的认识深化一步,让学生体会到数学是有趣的,探究是愉悦的,归纳猜想是令人振奋的,借 此激发学生的数学学习兴趣. 备课资料 一、备用例题 【例 1】 梯子最高一级宽 33 cm,最低一级宽为 110 cm,中间还有 10 级,各级的宽度 成等差数列,计算中间各级的宽度. 解:设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知 a1=33,a12 =110,n=12,所以 a12=a1+(12-1)d,即得 110=33+11d,解之,得 d=7. 因此 a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9= 89,a10=96,a11=103. 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm, 82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
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1 1 1 b+c c+a a+b 【例 2】 已知 , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列. a b c a b c 1 1 1 2 1 1 证明:因为 , , 成等差数列,所以 = + ,化简得 2ac=b(a+c),所以有 a b c b a c b+c a+b bc+c +a +ab b?a+c?+a +c 2ac+a +c ?a+c? + = = = = = a c ac ac ac ac ?a+c? a+c =2· . b?a+c? b 2 b+c c+a a+b 因而 , , 也成等差数列. a b c 【例 3】 设数列{an}{bn}都是等差数列,且 a1=35,b1=75,a2+b2=100,求数列{an +bn}的第 37 项的值. 分析:由数列{an}{bn}都是等差数列,可得{an+bn}是等差数列,故可求出数列{an+bn} 的公差和通项. 解:设数列{an}{bn}的公差分别为 d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1 -bn)=d1+d2 为常数,所以可得{an+bn}是等差数列.设其公差为 d,则公差 d=(a2+b2)- (a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而 a37+b37=110-10×(37-1)=-250. 所以数列{an+bn}的第 37 项的值为-250. 点评:若一个数列未告诉我们是等差数列时,应先由定义法判定它是等差数列后,方可 使用通项公式 an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论, 直接判定数列 是否为等差数列. 二、备用习题 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是( A.15 B.30
* 2 2 2 2 2 2 2 2

) D.64 )

C.31

2.在数列{an}中 3an+1=3an+2(n∈N ),且 a2+a4+a7+a9=20,则 a10 为( A.5 B.7 C.8 D.10 )

3.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 3a9-a11 的值为( A.6 B.12 C.24

D.48

1 2 2 4.已知方程(x -2x+m)(x -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m 4 -n|等于( A.1 ) 3 B. 4 1 C. 2 D. 3 8

5.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+?+a10=__________.
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6.已知 a、b、c 成等差数列,且 a、b、c 三数之和为 15,若 a ,b +9,c 也成等差数 列,求 a、b、c. 1 1 1 2 2 2 7.设 , , 成等差数列,求证:a ,b ,c 也成等差数列. a+b a+c b+c 8.成等差数列的四个数之和为 26,第二数与第三数之积为 40,求这四个数. 9.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商 场用如下方法促销:买一台单价为 780 元,买两台单价为 760 元,以此类推,每多买一台则 所买各台单价均减少 20 元, 但每台最少不低于 440 元; 乙商场一律都按原价的 75%销售. 某 单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少? 参考答案: 1.A 方法一:∵a7+a9=a4+a12, ∴a12=15. 方法二:∵数列{an}成等差数列, ∴a7+a9=2a8. ∴a8=8. 又∵a4,a8,a12 成等差数列, ∴公差 d=a8-a4=7. ∴a12=a8+d=8+7=15. 2 2.C 由已知得 an+1-an= , 3 2 ∴{an}是首项为 a1,公差 d= 的等差数列. 3 a2+a4+a7+a9=4a1+18d=20,解得 a1=2, 2 ∴a10=2+ (10-1)=8. 3 3.D ∵a1+a15=2a8, ∴a1+3a8+a15=5a8=120. ∴a8=24. 而 3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48. 1 1 1 1 4.C 设 a1= ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d, 4 4 4 4 而方程 x -2x+m=0 中的两根之和为 2,方程 x -2x+n=0 中的两根之和也是 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.
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2 2

2

2

2

1 ∴d= . 2 1 7 3 5 ∴a1= ,a4= 是一个方程的两个根,a2= ,a3= 是另一个方程的两个根. 4 4 4 4 ∴ 7 15 , 为 m 或 n. 16 16

1 ∴|m-n|= . 2 5.-49 2b=a+c, ? ? 6.解:由已知得?a+b+c=15, ? ?2?b2+9?=a2+c2, a=8, ? ? 解之,得?b=5, ? ?c=2, a=2, ? ? 或?b=5, ? ?c=8.

1 1 1 2 2 2 7.证明:由已知得 + =2· ,化简得 a +c =2b , a+b b+c a+c ∴a ,b ,c 成等差数列. 8.解:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,
??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? 则由题设得? ??a-d??a+d?=40, ?
2 2 2

13 ? ?a= 2 , 解得? 3 ?d=2, ?

13 ? ?a= 2 , 或? 3 ?d=-2. ?

∴所求四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 9.解:设某单位需购买影碟机 n 台,在甲商场购买每台售价不低于 440 元时,售价依 台数 n 成等差数列{an}. an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式 an≥440,800-20n≥440,得 n≤18. 当购买台数小于 18 时,每台售价为 800-2n 元,在台数大于或等于 18 时,每台售价 440 元. 到乙商场购买,每台售价为 800×75%=600(元),作差(800-20n)n-600n=20n(10- n), ∴当 n<10 时,600n<(800-20n)n;

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当 n=10 时,600n=(800-20n)n; 当 10<n≤18 时,(800-20n)n<600n; 当 n>18 时,440n<600n. ∴当购买少于 10 台时,到乙商场花费较少,当购买 10 台时,到两商场购买花费相同, 当购买多于 10 台时,到甲商场购买花费较少.

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