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数列1(竞赛)


数列 1

1

1.关于数列的通项

例 2.已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 3n ?1( n ? 1) 求其通项 an

2

形如 an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数)型

(1)当 p+

q=1 时

用转化法

例 4.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 解:把 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 变形为 an? 2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) . 则数列 ?a n ?1 ? a n ?是以 a 2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则

an?1 ? an ? ?6 ? 3n?1

利用累加法可得

an ? 11 ? 3n .
1 2 a n ?1 ? a n ?2 ( n ? 3) ,求数列 ?an ? 的通项公式. 3 3

练习 1:(2008 广东文 ? 节选) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 【解析】由 a n ?

1 2 2 a n ?1 ? a n ?2 得 a n ? a n ?1 ? ? ( a n ?1 ? a n ?2 )( n ? 3) 3 3 3 2 又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 ,所以数列 ?an?1 ? an ?是以 1 为首项,公比为 ? 的等比数列, 3 ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 2 2 2 2 8 3 2 ? ( ? ) n ?2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 ? ? ( ? ) n ?1 . 3 3 3 3 5 5 3
(2)当 p ? 4q ? 0 时
2

2 ? a n ?1 ? a n ? ( ? ) n ?1 3

用待定系数法.

例 5. 已知数列 { an } 满足 an? 2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且满足,求 an . 解:令 a n? 2 ? xan?1 ? y(a n?1 ? xan ) ,即 an? 2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? 0 ,与已知

3

?x ? y ? 5 ?x ? 2 ?x ? 3 ,故 ? 或? an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 比较,则有 ? ? xy ? 6 ?y ? 3 ?y ? 2
下面我们取其中一组 ?

?x ? 2 来运算,即有 a n? 2 ?2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) , ?y ? 3

则数列 ?a n?1 ? 2a n ?是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故 an?1 ? 2an ? 3 ? 3n?1 ? 3n , 即 an?1 ? 2an ? 3n ,利用类型②的方法,可得

a n ? 3n ? 2 n .

练习 2. (2008 年广东理)设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p ,

4, …) . x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (3)若 p ? 1 , q ? (2)求数列 {xn } 的通项公式;

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

【解析】 (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

?? ? ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2 ?s ? t ? p , ? st ? q

(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得 ?
2 2

消去 t ,得 s ? ps ? q ? 0 ,? s 是方程 x ? px ? q ? 0 的根,由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?
n ?2 n ?2

, xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?

n ?2

,

? ( x2 ? ? x1 )? n?2

x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n

4

?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ?

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ? ?? ? ??

②当 ? ? ? 时,即方程 x2 ? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 , 即 (s ? t )2 ? 4st ? 0 ,得 (s ? t )2 ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , ? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

x x x 2? ? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列,? nn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? ? ? ? ?

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n ( ) n ? ( ) n 2 2

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2

方法:不动点法:

m an ? p m x? p ,由方程 f ( x) ? x 求得二根 x,y, 由 a n ?1 ? 有 x?q an ? q m an ? p m x ? p m q ? p an ? x m an ? p m y ? p m q ? p an ? y ; 同理 a n ?1 ? y ? , an?1 ? x ? ? ? ? ? ? ? an ? q x?q x ? q an ? q an ? q y?q y ? q an ? q a ?x a ? x y ? q an ? x y ? q n ?1 a1 ? x 两式相除有 n ?1 , 从而得 n ?1 ,再解出 an 即可. ?( ) ? ? ? an?1? y x ? q an ? y a n ?1 ? y x?q a1 ? y
我们设 f ( x) ?

5

6

(4)周期型

7

(5) an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a2 n ? 是等差或等比数列求解。 例 9.(I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an (6)双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 10: .已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ; 数列 ?bn ? 中,b1 ? 0 。 当 n ? 2 时,a n ? 求 an , bn . 练习 3:

1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) , 3 3

8

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