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福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题


2015 年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 1. 选择题 已知集合 A ? ?x | 0 ? log2 x ? 2? , B ? y | y ? 3x ? 2, x ? R ,则 A A. C.

?

?

B 等于

?x | 2 ? x

? 4? ?x |1 ? x ? 2?
B.16

B.

?x |1 ? x ? 4?

D ?x | x ? 1 ?

2.

执行如图所示的程序框图,则输出结果为
A.15

C.25
?

D.36

3.

? 2 1? ? x ? ? 展开式的二项式系数和为 64,则其常数项为 x? ?
A.-20 C.15 B.-15 D.20

4.

某校为了解本校高三学生学习心里状态,采用系统抽样 方法从 800 人中抽取 40 人参加某种测试, 为此将题目随 机编号 1, 2,

,800 ,分组后再第一组采用简单随机抽样

的方法抽到号码为 18,抽到的 40 人中,编号落入区间

?1, 200?的人做试卷 A ,编号落入区间 ?201,560? 的人做试卷 B ,其余的人做试卷 C ,则
做试卷 C 的人数为 A.10 C.18 5. B.12 D.28

是已知双曲线 C 的中心在原点, 焦点再 x 轴上, 若双曲线 C 的一条渐近线的倾斜角等于 60°,则双曲线 C 的离心率等于 A. C.

2 3 3

B.

2
D.2

3

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6.

函数 y ? cos ? sin x ? 的图像大致是

? ? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 2 ? ? ? 7. 已知集合 A ? ?? x, y ? | ? x ? y ? 3 ? 0, ? , B ? x, y ? | ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? R 2 , R ? 0 .且 ? ? ? x ?1 ? ? ?

?

?

A B ? ? , R 的最小值为
A.

2 3 2

B. D.5

5

C. 3 8.

在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 , BC ? 5 ,若 I 为 ?ABC 的内心,则 CI · CB 的值为
A.6 C. 12 B. 10 D.15

9.

A An ? n ? N ? 系的纸张规格如图,其特点是:
② A0 , A1 , A2 ,

An 所有规格的纸张的长宽比都相同;

② A0 对 裁 后 可 以 得 到 两 张 A 1。 A 1 对裁后可以得到两张

A2 ,

An?1 对裁后可以得到两张 An An 纸各一张,其中

若每平方厘米重量为 B 克的 A0 , A 1 , A2 ,

A4 纸的较短边的长为 a 厘米,记这 ? n+1? 张纸的重量之和为 S n ?1 ,则下列判断错误的是
A.存在 B. 存在

n ? N ,使得 Sn?1 ? 32 2a2b n ? N ,使得 Sn?1 ? 16 2a2b

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C.对于任意 n ? N ,都有 Sn?1 ? 32 2a2b D. 对于任意 n ? N ,都有 Sn?1 ? 16 2a2b

10. 定义在 ? 0, ?? ? 上的可导函数 f ? x ? 满足 xf ' ? x ? ? f ? x ? ? x ,且 f ?1? ? 1。现给出关于函 数 f ? x ? 的下列结论 ① 函数 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增 ② 函数 f ? x ? 的最小值为 ?

?1 ?e

? ?

1 e2

③ 函数 f ? x ? 有且只有一个零点 ④ 对于任意 x ? 0 ,都有 f ? x ? ? x2
A.6 B. 10 C. 12 D.15

第Ⅱ卷(选择题 共 50 分)

11. 已知 z ? C 且 z ? ?1+i ? i ,则 z 等于_________ 12. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a4 ? 12 ,则 S5 = _______ 13. 在 ?ABC 中,?ABC ?

?
6

, AB ? 3 , BC ? 3 ,若在线段 BC 上任取一点 D ,则 ? BAD

为锐角的概率是______ 14. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2,则三棱锥 B ? A1B1C1 公共部分的体积等于 _______ 15. 定义在 R 上函数 f ? x ? 满足:f ? ?x ? ? f ? x ? ,f ? x ? 2? ? f ? 2 ? x ? , 若取芯 y ? f ? x ? 在

x ? 1 处的切线方程 x ? y ? 3 ? 0 ,该曲线在 x ? 5 的切线方程为________
三、解答题:

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16. 已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ?

1 cos 2 x , 2

(Ⅰ)若 tan ? ? 2 ,求 f ?? ? 的值; (Ⅱ) 若函数 y ? g ?? ? 的图像是由函数 y ? f ? x ? 的图像上所有的电向右平移 长度而得到,且 g ? x ? 在 ? 0, m? 内是单调函数,求实数 m 的最大值。 17. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AD BC ,

? 个单位 4

?BAD ? 90°, PD ? 平面

ABCD , AD ? AB ? PD ? 3 , BC ? 1 ,过 AD 作一平面分
别相交 PB , PC 于电 E , F Ⅰ求证 AD EF Ⅱ设 BE ?

1 BP ,求 AE 于平面 PBC 所成的角的大小 3

18. “抢红包“的网络游戏给 2015 年的春节增添了一份趣味。”掐女红包“有多种玩法, 小明参加一种接龙红包游戏:小明在红包里装了 9 元现金,然后发给朋友 A,并给出金 额所在区间 ?1,9? ,让 A 猜(所猜金额为整数元;下同),如果 A 猜中,A 将获得红包里 的金额;如果 A 未猜中,A 将当前的红包转发给朋友 B,同时给出金额所在区间 ?6,9? , 让 B 猜,如果 B 猜中,A 和 B 可以评分红包里的金额;如果 B 未猜中,B 要将当前的红 包转发个朋友 C,同时给出金额所在区间 ?8,9? ,让 C 猜,如果 C 猜中,A、B 和 C 可以 评分红包里的金额;如果 C 未猜中,红包里的资金将退回小明的账户。 Ⅰ求 A 恰好得到 3 元的概率 Ⅱ设 A 所获得的金额为 X 元,求 X 的分布列及数学期望 Ⅲ从统计学的角度而言, A 所获得的金额是否超过 B 和 C 两人所获得的金额之和?并说明理由

x2 y 2 19. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分 a b 别为 F1 , F2 及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是
等边三角形,椭圆的右定点到右焦点的距离为 1
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Ⅰ求椭圆 E 的方程:
Ⅱ如图,直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 M ,且交于 y 轴于点 P ,过点

M 作垂直于 l 的直线交 y 轴于点 Q ,求证: F1 , Q , P 2 , M , P 五点共圆
20. 已知函数 f n ? x ? ?

nx 2 ? ax n ? N * ? 的图象在点 ? 0, fn ? 0?? 处的切线方程为 y ? ? x ? 2 x ?1

Ⅰ求 a 的值及 f1 ( x) 的单调区间 Ⅱ是否存在实数 k ,使得射线 y ? kx ? x ? ?3? 与曲线 y ? f1 ? x ? 有三个公共点?若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由 Ⅲ设 x1 , x2 , 为正实数, 且 x1 , x2 , xn , 证明: fn ? x1 ? ? fn ? x2 ? ? xn ? 1,

? fn ? xn ? ? 0

21、选做题 (1)选修 4-2:矩阵与变换

? 2 ? 2 已知曲线 C: x2 ? xy ? y 2 ? 3 ,矩阵 M ? ? ? 2 ?? ? 2
得到曲线 C . (I)求曲线 C 的方程; (II )求曲线 C 的离心率以及焦点坐标. (2)选修 4-4:极坐标与 参数方程
' '

2? ? 2 ? ,且曲线 C 在矩阵 M 对应的变换的作用下 2? ? 2 ?

在平面直角坐标系 xoy 中,点 M 的坐标为(-1,2) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单 位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 (I)判断点 M 与直线 l 的位置关系;
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(II )设直线 l 与抛物线 y ? x2 相交于 A,B 两点,求点 M 到 A,B 两点的距离之积 (3)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ?1 (I)若 f ? x ? ? f ? x ? 6? ? m2 ? m 对任意 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围 (II )当 ?1 ? x ? 4 ,求

f ? x? ?

f ? 2 x ? 9 ? 的最大值.

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