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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:2.10 函数模型及其应用


2.10

函数模型及其应用

第二章

2.10

函数模型及其应用 -2-

考纲要求 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活 中普遍使

用的函数模型)的广泛应用.

第二章

2.10

函数模型及其应用 -3-

1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

第二章

2.10

函数模型及其应用 -4-

(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数 y=ax(a>1)与幂函数 y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn,但由于 ax 的增长

快于 xn 的增长,因而总存在一个 x0,当 x>x0 时有

ax>xn .
②对数函数 y=logax(a>1)与幂函数 y=xn(n>0) 对数函数 y=logax(a>1)的增长速度,不论 a 与 n 值的大小如何总会

慢于 y=xn 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0,使 x>x0 时有 logax<xn .
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速 度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时 有

ax>xn>logax .

第二章

2.10

函数模型及其应用 -5-

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利 用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

第二章

2.10

函数模型及其应用 -6-

基础自测
1.小王在两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为 1 000 元,设这 种手机每年降价 20%,那么两年前这部手机的价格为( A.1 535.5 元 B.1 440 元 C.1 620 元 D.1 562.5 元
关闭

)

设这部手机两年前的价格为 a,则有 a(1-0.2)2=1 000,解得 a=1 562.5 元.
关闭

D
解析 答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -7-

2.2007 年 8 月 30 日到银行存入 a 元,若年利率为 x,且按复利计算,到 2015 年 8 月 30 日可取回( A.a(1+x)8 元 B.a(1+x)9 元 C.a(1+x8)元 D.a+(1+x)8 元 )

关闭

由题意知一年后可取回 a(1+x)元,两年后可取回 a(1+x)2 元…… 2015 年 8 月 30 日可取回 a(1+x)8 元.

关闭

A
解析 答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -8-

3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:
x y 1.99 1 .5 3 4.04 4 7 .5 5 .1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近 的一个是( ) A.y=2x-2 B.y= (x2-1) C.y=log3x D.y=2x-2 把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是
关闭

1 2

y= (x2-1). B2
解析

1

关闭

答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -9-

4.有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成 一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则 围成的矩形最大面积为 (围墙厚度不计).

关闭

设矩形的长为 x m,宽为 时,Smax=2 2 500 m . 2 500 m
2

200 - 4

m,则 S=x·

200 - 4

= (-x2+200x).当 x=100
4
关闭

1

解析

答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -10-

考点一 一次函数与分段函数模型
【例 1-1】 已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地前往 B 地,到达 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地,把 汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为时间 t(时)的函数,则下列正确的是( ) A.x=60t+50t(0≤t≤6.5) 60t,0 ≤ t ≤ 2.5, B.x= 150,2.5 < t ≤ 3.5, 150-50t,3.5 < t ≤ 6.5 60t,0 ≤ t ≤ 2.5, C.x= 150-50t,t > 3.5 60t,0 ≤ t ≤ 2 .5, 依题意,函数为分段函数 .求出每一段上的解析式即可 . 150,2.5 < t ≤ 3.5, D.x= 150-50(t-3.5),3.5 < t ≤ 6.5
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

关闭

D

答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -11-

【例 1-2】 (2013 山西诊断)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种 液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放 一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1≤a≤4,且 a∈R)个 单位的药剂,它在水中释放的浓度 y(g/L)随着时间 x(天)变化的函数关系式 近似为 y=a· f(x),其中 f(x)=

16 -1(0 ≤ x ≤ 4), 8-x 若多次投放,则某一时刻水中 1 5- x(4 < x ≤ 10), 2

的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当 水中药剂的浓度不低于 4 g/L 时,它才能起到有效治污的作用. (1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使 接下来的 4 天中能够持续有效治污,试求 a 的最小值.(精确到 0.1,参考数 据: 2取 1.4)
考点一 考点二 考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -12-

64

解:(1)因为 a=4,所以 y=

8-

-4(0 ≤ x ≤ 4),

20-2(4 < ≤ 10),

则当 0≤x≤4 时,由

64

8-

-4≥4,

解得 x≥0,所以此时 0≤x≤4; 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 综上,可得 0≤x≤8,即一次投放 4 个单位的药剂,有效治污时间可达 8 天.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -13-

(2)当 6≤x≤10 时,y=2× 5- x +a
2

1

16 8-( -6)

-1 =10-x+

16 14 -

-a=(14-x)+

16 14 -

-

a-4, 因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 所以 4 ∈[4,8], 故当且仅当 14-x=4 时,y 有最小值为 8 -a-4. 令 8 -a-4≥4, 解得 24-16 2≤a≤4, 所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -14-

方法提炼 1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增 长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0). 2.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式 给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的 关系,就是分段函数. 提醒:分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先 将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段 变量的范围,特别是端点.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -15-

举一反三 1 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量
服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量 y(μg)与时间 t(h)之间的关系近似满足 如图所示的曲线.
(1)根据所给的曲线设 y= 当 t=1 时,由 y=4 得 k=4, 由
1 1- 2

,0 ≤ ≤ 1,
1 - 2

关闭

,t > 1.

4,0 ≤ ≤ 1,
1 -3 2

=4 得 a=3.则 y=

1 0 ≤ ≤ 1, (2)由 y≥0.25 得 或 1 -3 解得 ≤t≤5. 4 ≥ .25 (1)写出第一次服药后 y0 与 t 之间的函数解析式 (t). ≥ 0.25, y=f16 1 79 0.25 μg 时,治疗有效.求 (因此服药一次后治疗有效的时间为 2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 5- = (h) . 16 16 服药一次后治疗有效的时间. 2

,t > 1. > 1,

答案

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -16-

考点二 二次函数模型
【例 2】 某加工厂需定期购买材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每 次购买原材料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元, 该厂每天需要消耗原材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即 有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内 总的保管费用 y1(元)关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y(元) 最少,并求出这个最少总费用.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -17-

解:(1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 千克原材料不需要保管,第 二天用掉的 400 千克原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400 千克原材料需 保管 2 天,第四天用掉的 400 千克原材料需要保管 3 天……第 x 天(也就是 下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材料需保管(x-1)天. 所以每次购买的原材料在 x 天内的保管费用 y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x. (2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为(6x2-6x+600+1.5×400x)元, 1 所以购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y= (6x26x+600)+1.5×400= 则 y≥2
600 600 600

+6x+594.

·6x+594=714. =6x,即 x=10 时取得等号.所以该厂 10 天购买一次原材料

当且仅当

可以使平均每天支付的总费用 y 最少,最少总费用为 714 元.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -18-

方法提炼 1.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产 量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决. 注意:在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域. 2.形如 f(x)=kx+ (ka>0)的函数,实际是正比例函数与反比例函数的“和” 函数,根据其图象特点,通常称其为“对勾函数”,这种函数模型在现实生活中 也有着广泛的应用.常常利用“基本不等式”求解,有时也利用函数单调性求 解.
a x

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -19-

举一反三 2 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直
于地平面,单位长度为 1 km.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在 方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程 关闭 20 1 2 2 (1) 令 y= 0, 得 kx(1 +k 是指炮弹落地点的横坐标. )x =0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,
故 x=
20 1+ 2

1

=

20

20

+

1



20 2

=10,
1

当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 km. (2)因为 a>0,所以,炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成
20

立. (1)求炮的最大射程. 2 k 的方程 a2k2-20ak+a +64=0 有正根 , (即关于 2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 ),其飞行高度为 3.2 km,试问 2 2 2 所以判别式 Δ=(-20a) -, 4 a (a +64)≥0,解得 a≤6. 它的横坐标 a 不超过多少时 炮弹可以击中它 ?请说明理由 . 所以当 a 不超过 6 km 时,可击中目标.
答案 考点一 考点二 考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -20-

考点三

指数、对数类函数模型

【例 3】 某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解 答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年). (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -21-

解:(1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3. … x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系是 y=100×(1+1.2%)x. (2)10 年后人口总数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 所以 10 年后该城市人口总数约为 112.7 万.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -22-

(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人,即 100(1+1.2%)x≥120,于是 1.012x≥
120 100

,
120 100

所以 x≥log1.012

=log1.0121.2≈15.3≈15(年).大约 15 年后该城市人口

总数将达到 120 万人.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -23-

方法提炼 1.指数型函数 f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长 特点是随着自变量 x 的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆 炸”. 2.对数型函数模型,即 y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着 自变量的增加,函数值增加得越来越慢(底数 a>1,m>0). 3.实际生产生活中的增长率问题往往是指数型函数模型,如若某月的 产值是 b,每月的增长率为 a,则第 x 个月后的产值是 b(1+a)x,指数 x 是以基 数所在时间后推所跨过的时间间隔数. 4.有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式,要求根据实际 情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析 式求值,然后根据值回答其实际意义.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -24-

举一反三 3(2013 河北邯郸检测)声强级 Y(单位:分贝)由公式
Y=10lg
I 10-12

给出,其中 I 为声强(单位:W/m2).
-6 2
关闭

10-6 (1)平常人交谈时的声强约为 10 W/m ,求其声强级 . -6 2 (1)当声强为 10 W/m 时,由公式 Y=10lg -12 得 Y=10lg -12 =10lg 10 10 6 (2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝,求能听到的最低声强为多 10 =60(分贝). 少? -12 (2) 当 Y= 0 时 , 由公式 Y= 10lg 得 10lg = 0 . ∴ = 1, 即 I= 10 (3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝 -12 -12 ,已知熄灯后两位同学 -12 10 10 10

2 在宿舍说话的声强为 5× 10-7 W/m ,问这两位同学是否会影响其他同学休息? 2 -12 2 W/m ,则最低声强为 10 W/m . (3)当声强为 5×10-7 W/m2 时,声强级为

Y=10lg

5×10-7 10-12

=10lg(5×105)=50+10lg 5,

∵ 50+10lg 5>50, ∴ 这两位同学会影响其他同学休息.
答案 考点一 考点二 考点三

第二章

2.10

函数模型及其应用 -251 2 3 4

1.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏 本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 )

关闭

设利润为 f(x)(万元),则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,又 ∵ x∈N*,∴ x≥150 C
解析

关闭

答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -261 2 3 4

2.(2014 届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中)如图,设点 A 是单位 圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所转过 的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长度为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( C )

第二章

2.10

函数模型及其应用 -271 2 3 4

3.已知 y 与 x(x≤100)之间的部分对应关系如下表:
x y 11 2 97 12 1 48 13 2 95 14 1 47 15 2 93 … …

则 x 和 y 可能满足的一个关系式是

.

关闭

将 11,12,13,14,15 对应的函数值分别写成 ,

2

2

97 96 95 94 93

,

2

,

2

, ,分母成等差数

2

列,由此可知分母 an=97+(n-11)·(-1)=97-n+11=108-n.所以 x 和 y 可能满足 的一个关系式是 y(108-x)=2(x≤100). y(108-x)=2(x≤100)
解析
关闭

答案

第二章

2.10

函数模型及其应用 -281 2 3 4

4.(2013 重庆高考 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚 度).设该蓄水池的底面半径为 r m ,高为 h m,体积为 V m 3.假设建造成 本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/m 2,底面的建造成本 为 160 元/m 2,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积 最大.

第二章

2.10

函数模型及其应用 -29-

解: (1) 因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh 元=200πr h 元, 底面的总成本 2 2 为 160πr 元 , 所以蓄水池的总成本为( 200πrh+160πr ) 元. 又据题意 200πrh+160πr =12 000π, 所以 h= (300-4r ), 从而 V (r)= πr h= (300r-4r ). 因 r>0, 又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V (r ) 的定义域为 ( 0, 5 3).
2 2

1 5

2

π 5

3

第二章

2.10

函数模型及其应用 -30-

(2) 因 V(r)= (300r-4r ), 故 V' (r)= (300-12r ). 令 V' (r )=0, 解得 r1=5, r2=-5( 因 r2=-5 不在定义域内 , 舍去 ). 当 r∈(0, 5) 时, V' (r) >0, 故 V (r) 在(0, 5) 上为增函数 ; 当 r∈(5, 5 3) 时, V' (r) <0, 故 V (r) 在(5, 5 3) 上为减函数 . 由此可知 , V (r) 在 r=5 处取得最大值 , 此时 h=8. 即当 r=5, h=8 时 , 该蓄水池的体积最大.

π 5

3

π 5

2


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