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高中物理--圆周运动--最全讲义及典型习题及答案详解


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第三节

圆周运动

【知识清单】
(一) 匀速圆周运动的概念 1、 质点沿圆周运动,如果______________________________,这种运动叫做匀速圆周 运动。 2、 匀速圆周运动的各点速度不同,这是因为线速度的______时刻在改变。 (二) 描述匀速圆周运动的物理量

1、 匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。 方向沿着圆周在该点的切线方向。 2、 匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用 时间的比值。 3、 匀速圆周运动的周期是指____________________________所用的时间。 (三) 线速度、角速度、周期 1、 线速度与角速度的关系是 V=ωr ,角速度与周期的关系式是 ω=2π/T。 2、 质点以半径 r=0.1m 绕定点做匀速圆周运动,转速 n=300r/min,则质点的角速度为 _______rad/s,线速度为_______m/s。 3、 钟表秒针的运动周期为_______s,频率为_______Hz,角速度为_______rad/s。 (四) 向心力、相信加速度 1、 向心力是指质点做匀速圆周运动时, 受到的总是沿着半径指向圆心的合力, 是变力。 2、 向心力的方向总是与物体运动的方向_______,只是改变速度的_______,不改变线 速度的大小。 3、 在匀速圆周运动中,向心加速度的_______不变,其方向总是指向_______,是时刻 变化的,所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 4、 向心加速度是由向心力产生的,在匀速圆周运动中,它只描述线速度方向变化的快 慢。 5、 向心力的表达式_______________。向心加速度的表达式_______________。 6、 向心力是按照效果命名的力,任何一个力或几个力的合力,只要它的作用效果是使 物体产生_______,它就是物体所受的向心力。 7、 火车拐弯时,如果在拐弯处内外轨的高度一样,则火车拐弯所需的向心力由轨道对 火车的弹力来提供,如果在拐弯处外轨高于内轨,且据转弯半径和规定的速度,恰 当选择内外轨的高度差,则火车所需的向心力完全由__________和________的合力 来提供。 8、 汽 车 通 过 拱 桥 或 凹 的 路 面 时 , 在 最 高 点 或 最 低 点 所 需 的 向 心 力 是 由 __________________的合力来提供。

【考点导航】
一、匀速圆周运动中,线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系 T=1/f ω=2π/T=2πf V=2πr/T = 2πrf ω=2πn n=f 二、匀速圆周运动的特点 加速度的大小不变,方向总是指向圆心,时刻在改变,是变加速曲线运动,做匀速 圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力,即合力的方向指向圆心。 三、向心加速度、向心力 1、 根据 F=ma 知,向心力和向心加速度的方向相同,都时刻指向圆心,时刻在发
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生变化。 2、 向心力的来源:可以是任何一个力,可以是任何一个力的分力,也可以是某几 个力的合力。 一、描述圆周运动的物理量及其相互关系 1、线速度 ⑴定义:质点做圆周运动通过的弧长 s 和所用时间 t 的比值叫做线速度. s 2? r ⑵大小:
v? t ? T

单位为 m/s.

⑶方向:某点线速度的方向即为该点的切线方向.(与半径垂直) ⑷物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢. 注:对于匀速圆周运动,在任意相等时间内通过的弧长都相等,即线速度大小不变,方向时 刻改变。 2、角速度 ⑴定义: 在 匀速圆周运动中,连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟所用时 间 t 的比 值,就是质点运动的角速度. ⑵大小: 单位:rad/s.

?

??
⑶物理意

?
t

?

2? T

义:描述质点绕圆心转动的快慢.

注:对于匀速圆周运动,角速度大小不变。 说明:匀速圆周运动中有两个结论: ⑴同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同. ⑵不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。 3、周期、频率、转速 ⑴周期:做匀速圆周运动的物体,转过一周所用的时间叫做周期。用 T 表示,单位为 s。 ⑵频率:做匀速圆周运动的物体在 1 s 内转的圈数叫做频率。用 f 表示,其单位为转/秒(或 赫兹),符号为 r/s(或 Hz)。

⑶转速: 工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。 转速是指物体单位 时间所转过的圈数,常用符号 n 表示,转速的单位为转/秒,符号是 r/s,或转/分(r/min)。 4、向心加速度 ⑴定义:做圆周运动的物体,指向圆心的加速度称为向心加速度. ⑵大小:

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⑶方向:沿半径指向圆心. ⑷意义:向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢. 说明: ①向心加速度总指向圆心,方向始终与速度方向垂直,故向心加速度只改变速度的方向,不 改变速度的大小。 ②向心加速度方向时刻变化,故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非 匀变速曲线运动). ③向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。 对于匀速圆周运动, 其所受的合外力 就是向心力,只产生向心加速度,因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非 匀速圆周运动,例如竖直平面内的圆周运动。如图所示,小球的合力不指向圆心,因而其实 际加速度也不指向圆心,此时的向心加速度只是它的一个分加速度,其只改变速度的方向。 而沿切线的分加速度只改变速度的大小。

5、向心力 ⑴定义:做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力,叫向心力。 ⑵方向:向心力的方向沿半径指向圆心,始终和质点运动方向垂直,即总与圆周运动的线速 度方向垂直。 ⑶大小:

⑷向心 的效果:向心力只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。



补充知识:同轴传动、皮带传动和齿轮传动 两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时, 不同轮子上的点具有相同的角速度, 通过 皮带传动的两个轮子上, 与皮带接触的点具有相同的线速度, 齿轮传动和皮带传动具有相同 的规律。

二、离心运动和向心运动 1、离心运动 ⑴定义: 做圆周运动的物体, 在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力 的情况下,就做逐渐远离圆心的运动. ⑵本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着切线方向飞出去的倾向. ⑶受力特点 当 F=mω 2r 时,物体做匀速圆周运动; 当 F=0 时,物体沿切线方向飞出;
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当 F<mω 2r 时,物体逐渐远离圆心。 F 为实际提供的向心力.如图所示. 2、向心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时, 即 F>mω 2r, 物体逐渐向圆心靠近. 如 图所示.

三、圆周运动中的动力学问题分析 1、向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的 合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2、向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况,找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力. 3、解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意,确定研究对象; (2)分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等; (3)分析物体的受力情况,画出受力示意图,确定向心力的来源; (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程; (5)求解、讨论.

四、圆周运动当中的各种模型分析
1、汽车转弯问题 (1)路面水平时,转弯所需的向心力由静摩擦力提供,若转弯半径为 R,路面与车轮之间的

最大静摩擦力为车重的μ 倍,汽车转弯的最大速度为

计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意: 公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨, 如果车辆转弯时的速度大于设计速度, 此时汽车受 到的静摩擦力沿斜面向内侧,火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。 (如图所示)这个力不是 全部用于提供向心力。 只有其水平分力提供向心力。 原因是车辆做圆周运动的轨道平面是水 平面。

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y N
O

N

O

x
f(N1)

f(N1)

θ mg

θ mg

受力分析如下图

受力分析如图所示,可得:
O

y N

x f(N1) θ

解得:

mg

如果车辆转弯时的速度小于设计速度,同理可得:

2、水流星模型(竖直平面内的圆周运动——是典型的变速圆周运动)
研究物体通过最高点和最低点的情况,并且经常出现临界状态。(圆周运动实例) ① 火车转弯 ② 汽车过拱桥、凹桥 3 ③ 飞机做俯冲运动时,飞行员对座位的压力。 ④ 物体在水平面内的圆周运动(汽车在水平公路转弯,水平转盘上的物体,绳拴着的物体在光滑水平面上 绕绳的一端旋转)和物体在竖直平面内的圆周运动(翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等) 。 ⑤ 万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重 力与弹力的合力——锥摆、 (关健要搞清楚向心力怎样提供的)

(1)火车转弯:设火车弯道处内外轨高度差为h,内外轨间距L,转弯半径R。由于外轨略高于内轨,使
得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。

由 F 合 ? mg tan? ? mg sin ? ? mg

v Rgh h ? m 0 得 v0 ? (v 0 为转弯时规定速度) v0 L R L

2

? g tan? ? R

(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件) ①当火车行驶速率V等于V0时,F合=F向,内外轨道对轮缘都没有侧压力 ②当火车行驶V大于V0时,F合<F向,外轨道对轮缘有侧压力,F合+N= m
v2 R v2 R

③当火车行驶速率V小于V0时,F合>F向,内轨道对轮缘有侧压力,F合-N'= m

即当火车转弯时行驶速率不等于V0时,其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节,但调节程度 不宜过大,以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现

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(2)无支承的小球,在竖直平面内作圆周运动过最高点情况: 受力:由mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力. 结论:通过最高点时绳子(或轨道)对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件),此时只有 重力提供作向心力. 注意讨论:绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。 能过最高点条件:V≥V临(当V≥V临时,绳、轨道对球分别产生拉力、压力) 不能过最高点条件:V<V临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道) 讨论:① 恰能通过最高点时:mg= m
2 v临

R

,临界速度V临=

gR ;

可认为距此点 h ? R (或距圆的最低点) h ? 5R 处落下的物体。
2

2

☆此时最低点需要的速度为 V 低临=
② 最高点状态: mg+T1= m 最低点状态: T2- mg =
v2 高 L

5gR

☆最低点拉力大于最高点拉力Δ F=6mg

(临界条件T1=0, 临界速度V临= 高到低过程机械能守恒:

gR , V≥V临才能通过)
1 2 2 2 mv低 ?1 mv高 ? mg2L 2

m

v2 低 L

T2- T1=6mg(g 可看为等效加速度)
② 半圆:过程mgR= =
1 2

mv2

最低点T-mg= m

v2 R

? 绳上拉力T=3mg;

过低点的速度为V低

2gR

小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点,最低点时的向心加速度 a=2g ③与竖直方向成?角下摆时,过低点的速度为V低 = 此时绳子拉力T=mg(3-2cos?) (3)有支承的小球,在竖直平面作圆周运动过最高点情况: ①临界条件:杆和环对小球有支持力的作用 (由 mg ? N ? m

2gR(1 ? cos? ) ,

U2 知) R

当V=0时,N=mg(可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点)
②当 0 ? v ? ③当 v ? ④当 v ? gR 时,支持力N向上且随 v 增大而减小,且m g ? N ? 0 gR 时,N ? 0 gR 时,N 向下(即拉力)随 v 增大而增大,方向指向 圆心。
gR 时,受到杆的作用力N (支持) gR 时,杆对小球无作用力 N ? 0

当小球运动到最高点时 ,速度 v ? 当小球运动到最高点时 ,速度 v ?

但 N ? mg , (力的大小用有向线段 长短表示)

当小球运动到最高点时 ,速度 v> gR 时,小球受到杆的拉力 N作用

恰好过最高点时,此时从高到低过程 mg2R=

1 2

mv2

低点:T-mg=mv2/R ? T=5mg ;恰好过最高点时,此时最低点速度:V低 = 2 gR 注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别: (以上规律适用于物理圆,但最高点,最 低点, g 都应看成等效的情况)
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竖直面内圆周运动的应用:
——汽车通过拱桥和凹型地面
NA NB A

B

mg

mg

五、补充定理:在竖直平面内的圆周,物体从顶点开始无初速地沿不同弦滑到圆周上所用时 间都相等。 (等时圆) 一质点自倾角为 ? 的斜面上方定点 O 沿光滑斜槽 OP 从静止开始下滑, 如图所示。 为了使质 点在最短时间内从 O 点到达斜面,则斜槽与竖直方面的夹角 ? 等于多少?

六、注意:临界不脱轨有两种:1.达不到半圆

2.能到最高.

【例 1】质点做匀速圆周运动,则 ( BD ) 在任何相等的时间里,质点通过的位移都相等 在任何相等的时间里,质点通过的路程都相等 在任何相等的时间里,质点运动的平均速度的都相等 在任何相等的时间里,连接质点和圆心的半径转过的角度都相等 【解析】此题考查的是曲线运动的特点,即位移、速度的方向变化。故此题选 BD 【例 2】质点做匀速圆周运动时,下列说法正确的是 ( CD A.速度的大小和方向都改变 B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C.当物体所受合力全部用来提供向心力时,物体做匀速圆周运动
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)

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D.向心加速度大小不变,方向时刻改变 解析:匀速圆周运动的速度的大小不变,方向时刻变化,A 错;它的加速度大小不变,但方 向时刻改变,不是匀变速曲线运动,B 错,D 对;由匀速圆周运动的条件可知,C 对. 【例 3】关于匀速圆周运动的说法,正确的是 ( BD ) A.匀速圆周运动的速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B.做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻都在改变,所以必有加速度 C.做匀速圆周运动的物体,加速度的大小保持不变,所以是匀变速曲线运动 D.匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变,所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动 解析 速度和加速度都是矢量,做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻在 改变,速度时刻发生变化,必然具有加速度.加速度大小虽然不变,但方向时刻改变,所以 匀速圆周运动是变加速曲线运动.故本题选 B、D. 【例 4】在一个水平圆盘上有一个木块 P,随圆盘一起 绕过 O 点的竖直轴匀速转动,下面说法正确的是( AC ) 圆盘匀速转动的过程中,P 受到的静摩擦力的方向 指向圆心 O 点。 圆盘匀速转动的过程中,P 受到的静摩擦力为 0。 在转速一定得条件下,P 受到的静摩擦力跟 P 到圆心 O 的距离成正比 在 P 到圆心 O 的距离一定的条件下,P 受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度成 正比。 【例 5】如右图所示,一小球用细绳悬挂于 O 点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小 球以 O 点为圆心做圆周运动, 运动中小球所需的向心力是( CD ) A.绳的拉力 B.重力和绳的拉力的合力 C.重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力 D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 【例 6】一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整 条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替. 如图 14 甲所示, 曲线上的 A 点的曲率圆定义为: 通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫做 A 点的曲率 圆,其半径 ρ 叫做 A 点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成 α 角的方向以速度 v0 抛出, 如图乙所示.则在其轨迹最高点 P 处的曲率半径是( C )

图 14 v02 A. g v02cos2α C. g v02sin2α B. g v02cos2α D. gsinα

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答案 C 解析 物体在最高点时速度沿水平方向,曲率圆的 P 点可看做该点对应的竖直平面内圆周 运动的最高点,由牛顿第二定律及圆周运动规律知: mg= v02cos2α . g 【例 7】 如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为 r,a 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮 的半径为 4r,小轮的半径为 2r.b 点在小轮上,b 到小轮中心的距离为 r.c 点和 d 点分别位于小轮 和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( AB ) A.a 点与 b 点的线速度大小相等 B.a 点与 b 点的角速度大小相等 C.a 点与 c 点的线速度大小相等 D.a 点与 d 点的向心加速度大小相等 【解析】a 和 c 是与皮带接触的两点,二者具有相同的 线速度,b、c、d 属于同轴传动,它们具有相同的角速度, 由 v=rω 、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系, 不难选出正确答案为 AB。 【例 8】如图—1 所示,传动轮 A、B、C 的半径之比为 2:1:2,A、B 两轮 用皮带传动,皮带不打滑,B、C 两轮同轴,a、b、c 三点分别处于 A、B、 C 三轮的边缘,d 点在 A 轮半径的中点。试求:a、b、c、d 四点的角速度之 比, 即ω a:ω b:ω c:ω d 1:2:2:1 , 线速度之比,即 va:vb:vc:vc= 2:2:4:1 ; 向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad= 2:4:8:1 . 【例 9】下列关于离心现象的说法正确的是( C ) A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做背 离圆心的圆周运动 C.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将沿切线做直线运动 D.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做曲线运动 解析 物体只要受到力,必有施力物体,但“离心力”是没有施力物体的,故所谓的离心力是 不存在的,只要向心力不足,物体就做离心运动,故 A 选项错;做匀速圆周运动的物体, 当所受的一切力突然消失后,物体做匀速直线运动,故 B、D 选项错,C 选项对. 【例 10】如图 1 所示,洗衣机脱水筒在转动时,衣服贴靠在 匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来,则衣服( C ) A.受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用 B.所需的向心力由重力提供 C.所需的向心力由弹力提供 图1 D.转速越快,弹力越大,摩擦力也越大 解析 衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用,A 错;衣服做圆周运动的向心力为它所 受到的合力,由于重力与静摩擦力平衡,故弹力提供向心力,即 FN=mrω2,转速越大,FN 越大.C 对,B、D 错.
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mv2 v2 ,解得 ρ= = ρ g

g



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【例 11】如图,A、B 两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动,A、B 的周期分别 为 T1、T2,且 T1<T2,在某一时刻两质点相距最近时开始计时,问何时两质点再次相距最 近?

【例 12】如图所示,线段 OA=2AB,A、B 两球质量相等.当它们绕()点在光滑的水平桌 面上以相同的角速度转动时,两线段的拉力 TAB 与 TOA 之比为多少? 答案:5:3

【例 13】如图所示,长为 r 的细杆一端固定一个质量为 m 的 小球,使之绕另一端 O 在竖直面内做圆周运动,小球运动到最高点时 的速度 v= gr/2,在这点时 mg A.小球对杆的拉力是 2 mg B.小球对杆的压力是 2 3 C.小球对杆的拉力是 mg 2 D.小球对杆的压力是 mg 解析 设在最高点,小球受杆的支持力 FN,方向向上,则由牛顿第二定律得:mg-FN= v2 1 1 m ,得出 FN= mg,故杆对小球的支持力为 mg,由牛顿第三定律知,小球对杆的压 r 2 2 【例 14】“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱,这项运动由杂技 演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动,简化后的模 型如图 7 所示.若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变,摩 托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零,轨道平面离 地面的高度为 H,侧壁倾斜角度 α 不变,则下列说法中正确的 图7 是( B ) A.摩托车做圆周运动的 H 越高,向心力越大 B.摩托车做圆周运动的 H 越高,线速度越大 C.摩托车做圆周运动的 H 越高,向心力做功越多 D.摩托车对侧壁的压力随高度 H 增大而减小 解析 经分析可知,摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提 供,由力的合成知其大小不随 H 的变化而变化,A 错误;因摩托车和杂技演员整体做匀速 v2 圆周运动,所受合外力等于向心力,即 F 合=m ,随 H 的增大,r 增大,线速度增大,B r 正确;向心力与速度一直垂直,不做功,C 错误;由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的
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( B )

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压力恒定不变,D 错误. 1 力为 mg,B 正确. 2 【例 15】如图所示,半径为 R 的光滑圆形轨道竖直固定 放置,小球 m 在圆形轨道内侧做圆周运动,对于半径 R 不同的 圆形轨道,小球 m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互 作用力.下列说法中正确的是( AD ) A.半径 R 越大,小球通过轨道最高点时的速度越大 B.半径 R 越大,小球通过轨道最高点时的速度越小 C.半径 R 越大,小球通过轨道最低点时的角速度越大 D.半径 R 越大,小球通过轨道最低点时的角速度越小

图4

解析 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力,则在最高点 mg=

mv02 ,即 v0 R

= gR,选项 A 正确而 B 错误;由动能定理得,小球在最低点的速度为 v= 5gR,则最低 v 点时的角速度 ω= = R 5g ,选项 D 正确而 C 错误. R

【例 16】长为 L 的细线一端拴一质量为 m 的小球,另一端固定于 O 点,让其在水平面内做 匀速圆周运动,如图所示,摆线 L 与竖直方向的夹角是α 时,求: O ⑴线的拉力 F α ⑵小球运动的线速度的大小 ⑶小球运动的角速度及周期
解析: ( 1) ( 2)
r O

L

α

L F

F合 mg

( 3)

【例 17】在用高级沥青铺设的高速公路上,汽车的设计时速是 108 km/h. 汽车在这种路面 上行驶时,它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的 0.6 倍. 取 g=10 m/s2.试问:汽车在 这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时,其弯道的最小半径是多少?

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【例 18】质量为 m 的飞机以恒定速率 v 在空中水平盘旋,如图 6 所示, 其做匀速圆周运动的半径为 R,重力加速度为 g,则此时空气 对飞机的作用力大小为 ( C ) v2 A.m R B.mg C.m D.m v4 g2+ R2 g2- v2 R4 图6

解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动,受到重力 v2 和空气的作用力两个力的作用,其合力提供向心力 F 向=m .飞机受力 R 情况示意图如图所示,根据勾股定理得: F= +F向= 2 m g2+ v4 . R2

【例 19】如图所示,竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上, 半径 r=0.4 m,最低点处有一小球(半径比 r 小的多),现给 小球一水平向右的初速度 v0,则要使小球不脱离圆轨道 运动,v0 应满足(g=10 m/s2)( CD ) A.v0≥0 B.v0≥4 m/s

图9

C.v0≥2 5 m/s D.v0≤2 2 m/s 解析 解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况:(1)小球通 过最高点并完成圆周运动;(2)小球没有通过最高点,但小球没有脱离圆轨道. 对于第(1)种情况,当 v0 较大时,小球能够通过最高点,这时小球在最高点处需要满足的条 件是 mg≤mv2/r,又根据机械能守恒定律有 mv2/2+2mgr=mv2 0/2,可求得 v0≥2 5 m/s,故 选项 C 正确;对于第(2)种情况,当 v0 较小时,小球不能通过最高点,这时对应的临界条件 是小球上升到与圆心等高位置处,速度恰好减为零,根据机械能守恒定律有 mgr=mv2 0/2, 可求得 v0≤2 2 m/s,故选项 D 正确. 【例 20】用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑 圆锥顶上,如图 10 所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动 的角速度为 ω,细线的张力为 FT,则 FT 随 ω2 变化的图象是 下列选项中的( C ) 图 10

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解析 小球未离开锥面时, 设细线的张力为 FT, 线的长度为 L, 锥面对小球的支持力为 FN, 则有:FTcos θ+FNsin θ=mg 及 FTsin θ-FNcos θ=mω2Lsin θ,可求得 FT= mgcos θ+mω2Lsin2 θ 可见当 ω 由 0 开始增大,FT 从 mgcos θ 开始随 ω2 的增大而线性增大,当角速度增大到小 球飘离锥面时,有 FTsin α=mω2Lsin α,其中 α 为细线与竖直方向的夹角,即 FT=mω2L, 可见 FT 随 ω2 的增大仍线性增大,但图线斜率增大了,综上所述,只有 C 正确. 【例 21】火车在某转弯处的规定行驶速度为 v,则下列说法正确的是( AC ) A、当以速度 v 通过此转弯处时,火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向 心力 B、当以速度 v 通过此转弯处时,火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹 力的合力提供了转弯的向心力 C、当火车以大于 v 的速度通过此转弯处时,车轮轮缘会挤压外轨 D、当火车以小于 v 的速度通过此转弯处时,车轮轮缘会挤压外轨 【例 22】如图所示,物体 A 放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周 运动,且板始终保持水平,位置Ⅰ、Ⅱ在同一水平高度上,则( ) A. 物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都大于重力 B. 物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都小于重力 C. 物体在位置Ⅰ时受到的弹力小于重力, 位置Ⅱ时受到的弹力 都大于重力 D. 物体在位置Ⅰ时受到的弹力大于重力,位置Ⅱ时受到的弹 力都小于重力 【例 23】如图所示,位于竖直平面上的 1/4 圆弧光滑轨道,半径为 R,OB 沿竖直方向,上 端 A 距地面高度为 H,质量为 m 的小球从 A 点由静止释放,最后落在水平地面上 C 点处, 不计空气阻力,求: (1)小球运动到轨道上的 B 点时,对轨道的压力多大? (2)小球落地点 C 与 B 点水平距离 s 是多少? 答案:

【例 24】如图 9 所示,在光滑的圆锥体顶端用长为 l 的细线悬挂一质量 为 m 的小球.圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向, 母线与轴线之间的夹角为 30?.小球以速度 v 绕圆锥体轴线在水平面 内做匀速圆周运动. 图9

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(1)当 v1= (2)当 v2=

gl 时,求线对小球的拉力; 6 3gl 时,求线对小球的拉力. 2

解析 如图甲所示,小球在锥面上运动,当支持力 FN=0 时,小球只受重力 mg 和线的拉 力 FT 的作用,其合力 F 应沿水平面指向轴线,由几何关系知 F=mgtan 30° ① v2 0 v2 0 又 F=m =m r lsin 30° 由① ② 两式解得 v0= 3gl 6 ②

(1)因为 v1<v0,所以小球与锥面接触并产生支持力 FN,此时小球受力如图乙所示.根据牛 顿第二定律有 mv12 FTsin 30° -FNcos 30° = lsin 30° FTcos 30° +FNsin 30° -mg=0 由③ ④ 两式解得 FT= +3 3 6 ≈1.03mg ③ ④

(2)因为 v2>v0,所以小球与锥面脱离并不接触,设此时线与竖直方向的夹角为 α,小球受力 如图丙所示.则 FTsin α= mv22 lsin α ⑥ ⑤

FTcos α-mg=0 由⑤ ⑥ 两式解得 FT=2mg 答案 (1)1.03mg (2)2mg

【例 25】如图所示,用细绳一端系着的质量为 M=0.6 kg 的物体 A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质 量为 m=0.3 kg 的小球 B,A 的重心到 O 点的距离为 0.2 m.若 A 与转 盘间的最大静摩擦力为 Ff=2 N,为使小球 B 保持静止,求转盘绕中 心 O 旋转的角速度 ω 的取值范围.(取 g=10 m/s2) 答案 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 解析 要使 B 静止,A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度.A 需要的向心 力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供.角速度取最大值时,A 有离心趋势,静摩擦力指向圆 心 O; 角速度取最小值时, A 有向心趋势, 静摩擦力背离圆心 O.设角速度 ω 的最大值为 ω1, 最小值为 ω2 对于 B:FT=mg 对于 A:FT+Ff=Mrω12 或 FT-Ff=Mrω22
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代入数据解得 ω1=6.5 rad/s,ω2=2.9 rad/s 所以 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.

【例 26】如右图所示,轻线一端系一质量为 m 的小球,另一端穿过光滑小孔套在正下方的 图钉 A 上,此时小球在光滑的水平平台上做半径为 a、角速度为ω 的匀速圆周运动. 现拔掉 图钉 A 让小球飞出,此后细绳又被 A 正上方距 A 高为 h 的图钉 B 套住,达稳定后,小球又 在平台上做匀速圆周运动. 求: (1)图钉 A 拔掉前,轻线对小球的拉力大小? (2)从拔掉图钉 A 到被图钉 B 套住前小球做什么运动?所用的时间为 多少? (3)小球最后做圆周运动的角速度.

【例 27】如图 11 所示,竖直环 A 半径为 r,固定在木板 B 上, 木板 B 放在水平地面上,B 的左右两侧各有一挡板固定 在地上,B 不能左右运动,在环的最低点静放有一小球 C,A、B、C 的质量均为 m.现给小球一水平向右的瞬时 速度 v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通 图 11 过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力),瞬时速度必须满 足( CD ) A.最小值 4gr C.最小值 5gr B.最大值 6gr D.最大值 7gr

v02 解析 要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足 mg=m ,由最低点到最高 r 1 1 点由机械能守恒得 mvmin 2 =mg· 2r+ mv02,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为 5gr; 2 2 为了不会使环在竖直方向上跳起,在最高点有最大速度时,球对环的压力为 2mg,满足 3mg v12 1 1 =m ,从最低点到最高点由机械能守恒得: mvmax 2 =mg· 2r+ mv12,可得小球在最低点 r 2 2 瞬时速度的最大值为 7gr. 答案 CD
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【例 28】一轻杆一端固定质量为 m 的小球,以另一端 O 为圆心, 使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动,如图所示,则下列 说法正确的是 ( A ) A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零 B.小球过最高点的最小速度是 gR C.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A 解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力, 所以在最高点杆所受弹力可以为零, A 对; 在最高点弹力也可以与重力等大反向,小球最小速度为零,B 错;随着速度增大,杆对球的 作用力可以增大也可以减小,C、D 错. 【例 29】如图甲所示,用一根长为 l=1 m 的细线,一端系一质量为 m=1 kg 的小球(可视为 质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ =37°,当小球在水平面 内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω 时,细线和张力为 T.(取 g=10 m/s2,结果可用 根式表示)求:

(1)若要小球离开锥面,则小球的角速度ω 0 至少为多大? (2)若细线与竖直方向的夹角为 60°,则小球的角速度ω ′为多大? (3)细线的张力 T 与小球匀速转动的角速度ω 有关,请在如图乙所示的坐标纸上画出当ω 的 取值范围在 0 到ω ′之间时的 T-ω 2 图像(要求标明关键点的坐标值).

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【例 30】如图所示,小球被长为 L 的细绳静止地悬挂着,给小球多大的水平初速度,才能 使绳在小球运动过程中始终绷紧?

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第三节 圆周运动

创新训练
1.—个物体以角速度 ω 做匀速圆周运动时.下列说法中正确的是: ( A ) A.轨道半径越大线速度越大 B.轨道半径越大线速度越小 C.轨道半径越大周期越大 D.轨道半径越大周期越小 2.下列说法正确的是: ( C ) A.匀速圆周运动是一种匀速运动 B.匀速圆周运动是一种匀变速运动 C.匀速圆周运动是一种变加速运动 D.物体做圆周运动时,其合力垂直于速度方向,不改 变线速度大小 3.如图所示,小物体 A 与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则 A 的受力情况是: ( B ) A.受重力、支持力 B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力 C.受重力、支持力、向心力、摩擦力 D.以上均不正确 4.一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上,当车厢突然制动时,则: ( B ) A.绳的拉力突然变小 B.绳的拉力突然变大 C.绳的拉力没有变化 D.无法判断拉力有何变化 5、如图—3 所示的皮带传动装置中,轮 A 和 B 同轴,A、B 、C 分别 是三个轮边缘的质点,且 RA=RC=2RB,则三质点的向心加速度之比 aA: aB:aC 等于( A ) A.4:2:1 B.2:1:2 C.1:2:4 D.4:1:4 6. 质量为 m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动, 小球到达最低点和最高点时, 绳子所受的张力之差是: ( A ) A、6mg B、5mg C、2mg D、条件不充分,不能确定。 7. 两个质量分别是 m1 和 m2 的光滑小球套在光滑水平杆上,用长为 L 的细线连 接,水平杆随框架以角速度ω 做匀速转动,两球在杆上相对静止,如图 5-18 所 示,求两球离转动中心的距离 R1 和 R2 及细线的拉力. 解析:绳对 m1 和 m2 的拉力是它们做圆周运动的向心力,根据题意 R1+R2=L,R2=L-R1 对 m1:F=m1ω 2R1 对 m2:F=m2ω 2R2=m2ω 2(L-R1) 所以 m1ω 2R1=m2ω 2(L-R1)

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m2 L m1 ? m2 m1 L R2=L-R1= m1 ? m2
即得:R1= F=m1ω 2·

m2 L m1 ? m2



m1m2? 2 L m1 ? m2

答案:

m2 L m1 L m m ?2L ; ;F= 1 2 m1 ? m2 m1 ? m2 m1 ? m2

8.A、B 两小球都在水平面上做匀速圆周运动,A 球的轨道半径是 B 球轨道半径的 2 倍,A 的转速为 30r/min,B 的转速为 15r/min。则两球的向心加速度之比为( D ) A.1:1 B.2:1 C.4:1 D.8:1 9、如图所示,为一皮带传动装置,右轮半径为 r,a 为它边缘上一点;左侧 是一轮轴,大轮半径为 4r,小轮半径为 2r,b 点在小轮上,到小轮中心的距 离为 r。c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打 滑,则: ( C ) ①a 点和 b 点的线速度大小相等 ②a 点和 b 点的角速度大小相等 ③a 点和 c 点的线速度大小相等 ④a 点和 d 点的向心加速度大小相等 A.①③ B. ②③ C. ③④ D.②④ 10、 如图所示, 固定的锥形漏斗内壁是光滑的, 内壁上有两个质量相等的小球 A 和 B, 在各自不同的水平布做匀速圆周运动,以下说法正确的是: ( A ) A. VA>VB B. ωA>ω B C. aA>aB D.压力 NA>NB 11、半径为 R 的光滑半圆柱固定在水平地面上,顶部有一小物块,如图所示, 今给小物块一个初速度 v0 ? ( C ) gR ,则物体将:

A. 沿圆面 A、B、C 运动 B. 先沿圆面 AB 运动,然后在空中作抛物体线运动 C. 立即离开圆柱表面做平抛运动 D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动 12、如图所示,轻绳一端系一小球,另一端固定于 O 点,在 O 点正下方的 P 点钉一 颗钉子,使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ ,然后由静止释放小球,当悬线碰到钉子 时: ( B ) ①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大 ③小球的所受的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大 A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D.①②③ 13、如图所示,汽车以速度 V 通过一半圆形拱桥的顶点时,关于汽车受力的说 法正确的是( D ) A. 汽车受重力、支持力、向心力 B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
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C. 汽车的向心力是重力 D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力 14.在光滑的水平面上相距 40 cm 的两个钉子 A 和 B,如图所示,长 1 m 的细 绳一端系着质量为 0.4 kg 的小球,另一端固定在钉子 A 上,开始时,小球和钉 子 A、 B 在同一直线上, 小球始终以 2 m/s 的速率在水平面上做匀速圆周运动. 若 细绳能承受的最大拉力是 4 N ,那么,从开始到细绳断开所经历的时间是: ( B ) A.0.9π s B.0.8π s C.1.2π s D.1.6π s 解析:当小球绕 A 以 1 m 的半径转半圈的过程中,拉力是 F1=m

v1

22 v2 =0.4× =1.6 N,绳不断 1 r1 22 gs sin ? ? v 2 / 2 =0.4× =2.67 N,绳不断 0.6 ? g cos ?

o

当小球继续绕 B 以(1-0.4)=0.6 m 的半径转半圈的过程中,拉力为 F2=m

当小球再碰到钉子 A,将以半径 (0.6-0.4)=0.2 m 做圆周运动, 拉力 F3=m

22 v2 =0.4× =8 N.绳断 0.2 r3

所以在绳断之间小球转过两个半圈,时间分别为

2? r1 s 2? ?1 t1= 1 ? 2 ? =0.5π s v v 2? 2 2? r2 s2 2? ? 0.6 t2= =0.3π s ? 2 ? v v 2? 2
所以断开前总时间是 t=t1+t2=(0.5π +0.3π )s=0.8π s 15.如图所示,质量 m=0.1kg 的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为 r=0.2m 的圆 周运动,已知小球在最高点的速率为 v1=2m/s,g 取 10m/s2,试求: (1)小球在最高点时的细绳的拉力 T1=? (2)小球在最低点时的细绳的拉力 T2=? 答案. (1)T﹦3N (2)T﹦7N

16.如图所示,半径为 R 的圆板置于水平面内,在轴心 O 点的正上方高 h 处,水 平抛出一个小球,圆板做匀速转动,当圆板半径 OB 转到与抛球初速度方向平行 时,小球开始抛出,要使小球和圆板只碰一次,且落点为 B,求: (1)小球初速度的大小. (2)圆板转动的角速度。 解析:(1)小球做平抛运动在竖直方向 h=

1 2 gt 2

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t=

2h g 2h =R g
g 2h

在水平方向: s=v1t=v0 所以 v0=R

(2)因为 t=nT=n

2? ?



2? 2h =n ? g

所以ω =2π n (n=1,2,…) 答案:(1)R

g 2h

g 2h

(2)2π n

g (n=1,2,…) 2h

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如图所示, 一小球自平台上水平抛出, 恰好无碰撞地落在邻近平台的一倾角为α =530 的光 滑斜面顶端,并沿光滑斜面下滑.已知斜面顶端与平台的高度差 h=0.8 m,重力加速度 g 取 10 m/s2,sin530=0.8,cos530=0.6,求: (1)小球水平抛出的初速度 v0 是多少? (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x 是多少? (3)若斜面顶端高 H=20.8 m,则小球离开平台后经多长时间 t 到达斜面底端? 答案:3m/s 1.2m 2.4s

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