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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质-2


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题(共 30 小题;共 150.0 分)
1. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱长为 1,E 是 A1 B1 的中点,则点 E 到平面 ABC1 D1 的 距离为

A.

3 2

B.

2 2

C. )

1 2

D.

3 3

2. 在下列四个正方体中,能得出 AB ⊥ CD 的是 (

A.

B.

C.

D. 3. 如图,PA ⊥ 平面 ABC,在 △ ABC 中,BC ⊥ AC,则图中直角三角形的个数为

A.

4

B.

3

C.

2

D.

1

4. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱长为 1,O 是底面 A1 B1 C1 D1 的中心,则 O 到平面 ABC1 D1 的距离为

A.

1 2

B.

2 4

C.

2 2

D.

3 2

5. 矩形 ABCD 中,AB = 3,BC = 4,PA ⊥ 平面 ABCD,PA = 1,则 P 到矩形对角线 BD 的距 离为 ( A. ) 13 5 B. 17 5 C. 29 2 D. 129 5

6. 在正三棱锥 P ? ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为 a,则点 P 到平面 ABC 的距离 为( A. ) a B. 2 a 2 C. 3 a 3 D. 3a

7. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足为点 H,则以下命题中, 错误的命题是

A. B. C. D.

点 H 是 △ A1 BD 的垂心 AH 垂直平面 CB1 D1 AH 的延长线经过点 C1 直线 AH 和 BB1 所成角为 45?
π

8. 已知球 O 的半径为 1 , A, B, C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 2 ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ( A. 1 3 ) B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3

9. 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠BAC = 90? ,BC1 ⊥ AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在

A.

直线 AB 上

B.

直线 BC 上

C.

直线 AC 上

D.

△ ABC 内部

10. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠ACB = 90?,∠ACC1 = 60?,∠BCC1 = 45? ,侧棱 CC1 的长为 1,则该三棱柱的高等于

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3

11. 平面 α 上有一个四边形 ABCD,P 为 α 外一点,P 到 ABCD 四个顶点的距离都相等,则四边 形 ABCD 是 ( A. 正方形 ) B. 菱形
3 2

C.

圆内接四边形

D.

圆外切四边形

12. 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA = 平面 PCD 内过点 G 且与 PE 垂直的直线有

AB,E 是 AB 的中点,G 是 △ PCD 的重心,则在

A.

0条

B.

1条

C.

2条

D.

无数条 ) 5

13. 正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱上到异面直线 AB,CC1 的距离相等的点的个数为 ( A. 2 B. 3 C. 4 D.

14. 已知球的表面积为 20π,球面上有 A 、 B 、 C 三点.如果 AB = AC = BC = 2 3,则球心 到平面 ABC 的距离为 ( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 2

15. 如图(1)所示,在正方形 SG1 G2 G3 中,E,F 分别为 G1 G2 ,G2 G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图(2)所示),使 G1 ,G2 ,G3 三点重 合于一点 G,则下面的结论成立的是

A. C.

SG ⊥ 平面 EFG GF ⊥ 平面 SEF

B. D.

SD ⊥ 平面 EFG GD ⊥ 平面 SEF

16. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP ⊥ BD1 ,则动点 P 的轨迹是 .

A. B. C. D.

线段 B1 C 线段 BC1 BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 BC 中点与 B1 C1 中点连成的线段

17. 在三棱锥 P ? ABC 中,三条侧棱两两垂直,且侧棱长都是 a,则点 P 到平面 ABC 的距离 为( A. ) 6a B. 6 a 3 C. 3 a 3 D. a

18. 如图,已知 △ ABC 为直角三角形,其中 ∠ACB = 90? ,M 为 AB 的中点,PM 垂直于 △ ABC 所在平面,那么

A. C.

PA = PB > PC PA = PB = PC

B. D.

PA = PB < PC PA ≠ PB ≠ PC

19. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,E,F 分别为棱 AA1 ,BB1 的中点,G 为棱 A1 B1 上的一点,且 A1 G = λ 0 ≤ λ ≤ 1 .则点 G 到平面 D1 EF 的距离为

A.

3

B.

2 2

C.

2λ 3

D.
π

5 5

20. 已知球 O 的半径为 1,A 、 B 、 C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离为 2 ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ( )

A.

1 3

B.

3 3 4个

C.

2 3

D.

6 3 ) 无数个

21. A,B,C,D 四点不共面,且 A,B,C,D 到平面 α 的距离相等,则这样的平面有 ( A. 1个 B. C. 7个 D.

22. 如图,在正四面体 P ? ABC 中,D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点,下面四个结论 不成立的是

A. C.

BC ∥ 平面 PDF 平面 PDF ⊥ 平面 PAE

B. D.

DF ⊥ 平面 PAE 平面 PDE ⊥ 平面 ABC )

23. 已知 A,B,C,D 是空间不共面的四个点,且 AB ⊥ CD,AD ⊥ BC,则直线 BD 与 AC ( A. C. 垂直 相交 B. D. 平行 位置关系不确定

24. 如图,在正三棱柱 A1 B1 C1 ? ABC 中,E 是 BC 的中点,则下列结论正确的是

A. B. C. D.

CC1 与 B1 E 是异面直线 AC ⊥ 平面 ABB1 A1 AE,B1 C1 为异面直线,且 AE ⊥ B1 C1 A1 C1 ∥ 平面 AB1 E

25. 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠BAC = 90? ,BC1 ⊥ AC,则 C1 在底面 ABC 上的射 影 H 必在

A.

直线 AB 上

B.

直线 BC 上

C.

直线 AC 上

D.

△ ABC 内部

26. 若三棱锥 A ? BCD 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与 △ ABC 组成图形可能是 ( )

A.

B.

C.

D. 27. 已知矩形 ABCD,AB = 1,BC = 2,将 △ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中 ( A. B. C. )

存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直

D.

对任意位置,三对直线" AC 与 BD "," AB 与 CD "," AD 与 BC "均不垂直

28. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,则 BD 和平面 EFD1 B1 的距离为 ( A. 2 3 ) B. 5 5 C. 1 3 D. 1 6

29. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,M 为 BC 的中点,点 N 在四边形 CDD1 C1 及其内部 运动.若 MN ⊥ A1 C1 ,则 N 点的轨迹为

A. C.

线段 椭圆的一部分

B. D.

圆的一部分 双曲线的一部分

30. 在平行六面体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1,且夹角都是 60? , 则相对的面 AD1 与面 BC1 的距离为 ( A. 1 3 B. ) 3 3 C. 6 6 D. 6 3

二、填空题(共 30 小题;共 150.0 分)
31. 如图,正方体 ABCD ? EFGH 的棱长为 3,则点 D 到平面 ACH 的距离为 .

32. 已知 △ ABC ,点 P 是平面 ABC 外一点,点 O 是点 P 在平面 ABC 上的射影. (1) 若点 P 到 △ ABC 的三个顶点的距离相等,那么 O 点一定是 △ ABC 的 ;

(2) 若点 P 到 △ ABC 的三边所在直线的距离相等且 O 点在 △ ABC 内,那么 O 点一定是 △ ABC 的 .

33. 在正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E 是 DD1 的中点,P 是棱 A1 B1 上一动点,则 OP 与 AE 的关系是 .

34. 已知正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,F 是 AD 的中点,G 为 AB 上一点,若 CF ⊥ FG,则 ∠C1 FG 的大小是 . 心.

35. 若三棱锥 P ? ABC 的侧棱长都相等,则点 P 在底面的射影 O 是 △ ABC 的

36. 已知 A, B, C 三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,且 AB = AC = BC = R,那么 A, B 两点的 球面距离为 ,球心到平面 ABC 的距离为 .

37. 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥ 底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一 动点,当点 M 满足 的条件即可) 时,平面 MBD ⊥ 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确

38. 在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多有

个. .

39. 正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱长为 α,则直线 BC 到平面 AB1 C1 的距离为

40. 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的.已知正四 面体的顶点都在球面上,球的直径为 12cm,则正四面体的棱长为 体各面的距离为 cm. cm,球心到正四面

41. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA = a, PB = PD = 2a ,则它的 5 个面中,互相垂直的面有 对.

42. 在 △ ABC 中, AB = 9, AC = 15, ∠BAC = 120? ,△ ABC 所在平面外一点 P 到三个点 A, B, C 的 距离都是 14 ,那么点 P 到平面 ABC 的距离为 .

43. 如图所示,正三棱锥 V ? ABC 中,D,E,F 分别是 VC,VA,AC 的中点,P 为 VB 上任意一 点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 .

44. 正三棱锥 P ? ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45?,则点 A 到侧面 PBC 的距离 是 .

45. 长方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,AA1 = 5,AB = 12,那么直线 B1 C1 和平面 A1 BCD1 的距离 是 .

46. 已知 P 为 △ ABC 所在平面外一点,AC = 2a,连接 PA,PB,PC,得 △ PAB 和 △ PBC 都是 边长为 a 的等边三角形,则平面 ABC 和平面 PAC 的位置关系为 .

47. 如图,已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径,A 是半圆周上不同于 B,C 的点.在梯形 ACDE 中,DE ∥ AC,平面 ACDE ⊥ 平面 ABC,则平面 ABE 与平面 ACDE 的位置关系 为 .

48. 已知长方体 A1 B1 C1 D1 ? ABCD 中,棱 AA1 = 5,AB = 12,那么直线 B1 C1 到平面 A1 BCD1 的距离是 .

49. 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠ABC = 90?,AC = AA1 = 2 2,AB = 2,M 为 BB1 的中 点,则 B1 与平面 ACM 的距离为 .

50. 正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱长为 2,O 是底面 A1 B1 C1 D1 的中心,则 O 到平面 ABC1 D1 的距离为 .

51. 如图,正方体的棱长为 1,C 、 D 分别是两条棱的中点,A,B,M 是顶点,那么点 M 到截 面 ABCD 的距离是 .

52. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,所有棱长均为 1,则点 B1 到平面 ABC1 的距离 为 .

53. 在斜三棱柱 A1 B1 C1 ? ABC 中,∠BAC = 90?,BC1 ⊥ AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必 在 .

54. 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 α 内, 其余顶点在 α 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 α 的距离分别为 1,2 和 4,P 是 正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 α 的距离可能是:① 3;② 4;③ 5;④ 6;⑤ 7. 以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号)

55. 下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M 、 N 、 P 分别为其所在棱的中点, 能得出 l ⊥ 面 MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)

56. 将边长为 2,有一内角为 60? 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 A ? BCD,点 E 、 F 分别为 AC 、 BD 的中点,则下列命题中正确的是 ① EF ∥ AB; ② EF 与异面直线 AC 、 BD 都垂直; ③当四面体 ABCD 的体积最大时,AC = 6; ④ AC 垂直于截面 BDE. 57. 对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB = AC,BD = CD,则 BC ⊥ AD; ②若 AB = CD,AC = BD,则 BC ⊥ AD; ③若 AB ⊥ AC,BD ⊥ CD,则 BC ⊥ AD; ④若 AB ⊥ CD,BD ⊥ AC,则 BC ⊥ AD. 其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号) .(将正确的命题序号全填上)

58. 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的底面 ABCD 为正方形,侧棱与底面边长均为 2a,且 ∠A1 AD = ∠A1 AB = 60?,则侧棱 AA1 和截面 B1 D1 DB 的距离是 .

59. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,平面 AA1 C1 C ⊥ 平面 ABC,AB = BC,若点 E 在棱 BB1 上,则当点 E 满足 时,有平面 A1 EC ⊥ 平面 AA1 C1 C.

60. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥ 底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足 可) 时,平面 MBD ⊥ 平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即

三、解答题(共 30 小题;共 390.0 分)
61. 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,底面边长为 2 2,侧棱长为 4.E, F 分别为棱 AB, BC 的中点,EF ∩ BD = G.

(1)求证:平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 ; (2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V. 62. 如图所示,棱柱 ABC ? A1 B1 C1 为正三棱柱,且 AC = C1 C,其中点 F,D 分别为 AC1 ,B1 B 的中点.

(1)求证:DF ∥ 平面 ABC; (2)求证:DF ⊥ 平面 ACC1 . 63. 如图,三棱锥 P ? ABC 中,PA = AB,PC = BC,E,F,G 分别为 PA,AB,PB 的中点,

(1)求证:EF ∥ 平面 PBC; (2)求证:EF ⊥ 平面 ACG. 64. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,∠ABC = ∠BAD = 90?,BC = 2AD,△ PAB 与 △ PAD 都是边长 为 2 的等边三角形.

(1)证明:PB ⊥ CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. 65. 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠ACB = 90? ,AC = BC = a,D,E 分别为棱 AB, BC 的中点,M 为棱 AA1 上的点,二面角 M ? DE ? A 为 30?.

(1)证明:A1 B1 ⊥ C1 D; (2)求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离. 66. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB = 8,AD = 4 3,侧面 PAD 为等边三 角形,并且与底面所成二面角为 60?.

(1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)证明:PA ⊥ BD. 67. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,D 是 BC 的中点,AB = a.

(1)求证:直线 A1 D ⊥ B1 C1 ; (2)求点 D 到平面 ACC1 的距离; (3)判断 A1 B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论. 68. 如图,A, B, C, D 为空间四点.在 △ ABC 中,AB = 2,AC = BC = 2,等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动.

(1)当平面 ADB ⊥ 平面 ABC 时,求 CD; (2)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ⊥ CD ?证明你的结论. 69. 如图,已知平行六面体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的底面 ABCD 是菱形,且 ∠C1 CB = ∠C1 CD = ∠BCD.

(1)证明:C1 C ⊥ BD; (2)当
CD CC 1

的值为多少时,能使 A1 C ⊥ 平面 C1 BD ?请给出证明.

70. 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB = 90? ,侧棱 AA1 = 2, D 、 E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 △ ABD 的重心 G.

(1)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值; (2)求点 A1 到平面 AED 的距离. 71. 如图,已知 P 为 △ ABC 外一点,PA,PB,PC 两两垂直,PA = PB = PC = a,求点 P 到平 面 ABC 的距离.

72. 直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,AB = AA1 ,∠CAB = 2 .

π

(1)证明:CB1 ⊥ BA1 ; (2)已知 AB = 2,BC = 5,求三棱锥 C1 ? ABA1 的体积. 73. 已知 ABCD ? A1 B1 C1 D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,O1 为 A1 C1 与 B1 D1 的交点.

(1)设 AB1 与底面 A1 B1 C1 D1 所成角的大小为 α,二面角 A ? B1 D1 ? A1 的大小为 β.求证: tanβ = 2tanα; (2)若点 C 到平面 AB1 D1 的距离为 3,求正四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的高. 74. 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ⊥ 平面 PAD,AB ∥ CD,PD = AD,E 是 PB 中点,F 是 DC 上的点且 DF = 2 AB,PH 为 △ PAD 中 AD 边上的高.
1 4

(1)证明:PH ⊥ 平面 ABCD; (2)若 PH = 1,AD = 2,FC = 1,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明:EF ⊥ 平面 PAB. 75. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,AB = 4,AC = BC = 3,D 为 AB 的中点.

(1)求点 C 到平面 A1 ABB1 的距离; (2)若 AB1 ⊥ A1 C,求二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角的余弦值. 76. 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA ⊥ 平面 ABCD,PD ∥ QA,QA = AB = 2 PD.
1

(1)证明:PQ ⊥ 平面 DCQ; (2)求棱锥 Q ? ABCD 的体积与棱锥 P ? DCQ 的体积比值. 77. 如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ABC = 90? ,D 为 AC 中点,AE ⊥ BD 于 E(不同于点 D),延长 AE 交 BC 于 F,将 △ ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A1 ? BCD,如图 2 所示.

(1)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM ∥ 平面A1 EF; (2)求证:BD ⊥ A1 F; (3)若 平面A1 BD ⊥ 平面 BCD,试判断直线 A1 B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 78. 如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半 沿切面向右水平平移后得到的.A, A?, B, B? 分别为 CD, C?D?, DE, D?E? 的中点,O1 ,O1 ?,O2 ,O2 ? 分别为 CD,C?D?,DE,D?E? 的中点.

(1)证明:O1 ?, A?, O2 , B 四点共面; (2)设 G 为 AA? 中点,延长 A?O1 ? 到 H?,使得 O1 ?H? = A?O1 ?.证明:BO2 ? ⊥ 平面 H?B?G. 79. 如图,在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,AB = 2,AD = 1,AA? = 1,证明直线 BC? 平行于平 面 D?AC,并求直线 BC? 到平面 D?AC 的距离.

80. 如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠C = 90?,D,E 分别是 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一 点,将 △ ADE 沿 DE 折起到 △ A1 DE 的位置,使 A1 F ⊥ CD,如图 2.

(1)求证:DE ∥ 平面 A1 CB; (2)求证:A1 F ⊥ BE; (3)线段 A1 B 上是否存在点 Q,使 A1 C ⊥ 平面 DEQ ?说明理由. 81. 如图所示,在矩形 ABCD 中,AB = 3 3,BC = 3,沿对角线 BD 将 △ BCD 折起,使点 C 移 到点 C?,且 C?O ⊥ 平面 ABD 于点 O,点 O 恰在 AB 上.

(1)求证:BC? ⊥ 平面 AC?D; (2)求点 A 到平面 BC?D 的距离. 82. 已知正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 .求证:A1 C ⊥ 平面 BC1 D. 83. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB = 60?,AB = 2AD, PD ⊥ 底面 ABCD.

(1)证明:PA ⊥ BD; (2)设 PD = AD = 1,求棱锥 D ? PBC 的高. 84. 如图所示,平行四边形 ABCD 中,∠DAB = 60?,AB = 2,AD = 4.将 △ CBD 沿 BD 折起到 △ EBD 的位置,使 平面 EBD ⊥ 平面 ABD.求证:AB ⊥ DE.

85. 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,AD ∥ BC 且 AD ⊥ CD;平面 CSD ⊥ 平面 ABCD,CS ⊥ DS, CS = 2AD = 2;E 为 BS 的中点,CE = 2,AS = 3.求:点 A 到 平面 BCS 的距离.

86. 如图,在四面体 ABCD 中,BC ⊥ CD,作 BN ⊥ AD,BM ⊥ AC,垂足分别为 N,M,AB ⊥ 面 BCD.求证:

(1) CD ⊥ 面 ABC; (2) BM ⊥ 面 ACD; (3) AD ⊥ MN. 87. 如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD = PC = 4,AB = 6, BC = 3.

(1)证明:BC ∥ 平面 PDA; (2)证明:BC ⊥ PD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离.

88. 如图,三棱锥 P ? ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形,M,N 分别为 PA,BC 的 中点.

(1)求 MN 的长; (2)求证:PA ⊥ BC; (3)求三棱锥 P ? ABC 的表面积. 89. 如图,已知两个正四棱锥 P ? ABCD 与 Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2,AB = 4.

(1)证明:PQ ⊥ 平面 ABCD; (2)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (3)求点 P 到平面 QAD 的距离. 90. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 ,AB = 1,AA1 = 2,点 E 为 CC1 中点,点 F 为 BD1 中点.

(1)证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; (2)求点 D1 到面 BDE 的距离.

答案
第一部分 1. B 2. A 6. C 7. D 11. C 12. D 16. A 17. C 21. C 22. D 26. D 27. B 第二部分 31. 3 32. 外心;内心 33. 垂直 34. 90? 35. 外 36.
π 3

3. A 8. B 13. C 18. C 23. A 28. C

4. B 9. A 14. A 19. D 24. C 29. A

5. A 10. A 15. A 20. B 25. A 30. D

R;

6 3

R

37. DM ⊥ PC(或 BM ⊥ PC 等) 38. 4 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
2 2

a

4 6;2 5 7 90?
6 5 5 60 13

46. 垂直 47. 垂直 60 48. 13 49. 1 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
2 2 2 3 21 7

直线 AB 上 ①③④⑤ ①④⑤ ②③④ ①④ a E 为棱 BB1 的中点 DM ⊥ PC(或 BM ⊥ PC 等)

第三部分 61. (1) 如图连接 AC.

∵正四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的底面是正方形, ∴ AC ⊥ BD,又 AC ⊥ D1 D,故 AC ⊥ 平面 BDD1 B1 . ∵ E, F 分别为 AB, BC 的中点,故 EF ∥ AC, ∴ EF ⊥ 平面 BDD1 B1 .又 EF ? 平面B1 EF, ∴平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 . 证法二: ∵ BE = BF, ∠EBD = ∠FBD = 45?,∴ EF ⊥ BD.又 EF ⊥ D1 D, ∴ EF ⊥ 平面 BDD1 B1 .又 EF ? 平面B1 EF,∴平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 . 61. (2) 如图,在对角面 BDD1 B1 中,作 D1 H ⊥ B1 G,垂足为 H.

∵ 平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 ,且平面 B1 EF ∩ 平面 BDD1 B1 = B1 G, ∴ D1 H ⊥ 平面 B1 EF,且垂足为 H, ∴ 点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d = D1 H. ∵△ D1 HB1 ∽△ B1 BG, D H D B ∴ B1 B = B1 G1 ,
1 1

∴ d = D1 H =

B1 B2 B1G

=

42

4 2 +12

=

16 17 17



61. (3) 根据题意可得体积为

V = VB 1 ?EF D 1 = VD 1 ?B 1 EF 1 = ? d ? S△B 1 EF 3 1 16 1 = ? ? ? 2 ? 17 3 17 2 16 = . 3 62. (1) 取 AC 的中点 O,连接 BO,FO.

在 △ ACC1 中,FO ∥ C1 C,FO = C1 C, 由题意知,BD ∥ C1 C,BD = C1 C, ∴ FO ∥ BD,FO = BD, ∴ 四边形 FOBD 为平行四边形. ∴ DF ∥ OB, 又 DF ? 平面 ABC,OB ? 平面 ABC. ∴ DF ∥ 平面 ABC. 62. (2) ∵ 棱柱 ABC ? A1 B1 C1 为正三棱柱, ∴ C1 C ⊥ 平面 ABC, ∵ BO ? 平面 ABC, ∴ BO ⊥ C1 C. ∵△ ABC 是正三角形且 AO = OC, ∴ BO ⊥ AC. 综上, ∵ BO ⊥ C1 C,BO ⊥ AC 且 AC ∩ CC1 = C,AC ∩ C1 C ? 平面 ACC1 , ∴ BO ⊥ 平面 ACC1 . ∵ FD ∥ BO, ∴ DF ⊥ 平面 ACC1 . 63. (1) ∵ E,F 分别为 PA,AB 的中点, ∴ EF ∥ PB, 又 ∵ PB ? 平面 PBC,EF ? 平面 PBC, ∴ EF ∥ 平面 PBC. 63. (2) ∵ PA = AB,PC = BC,G 为 PB 的中点, ∴ PB ⊥ AG,PB ⊥ CG, 又 ∵ AG ∩ CG = G, ∴ PB ⊥ 面 ACG, 又 ∵ E,F 分别为 PA,AB 的中点, ∴ EF ⊥ 平面 ACG.
2 1 2

1

64. (1) 取 BC 的中点 E,连接 DE,则四边形 ABED 为正方形. 过点 P 作 PO ⊥ 平面 ABCD,垂足为 O. 连接 OA,OB,OD,OE.

由 △ PAB 和 △ PAD 都是等边三角形,知 PA = PB = PD, 所以 OA = OB = OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE ⊥ BD,从而 PB ⊥ OE. 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE ∥ CD.因此 PB ⊥ CD. 64. (2) 取 PD 的中点 F,连接 OF,则 OF ∥ PB. 由(1)知,PB ⊥ CD,故 OF ⊥ CD.又 1 OD = BD = 2, 2 OP = PD2 ? OD2 = 2, 故 △ POD 为等腰三角形,因此 OF ⊥ PD. 又 PD ∩ CD = D,所以 OF ⊥ 平面 PCD. 因为 AE ∥ CD,CD ? 平面 PCD,AE ? 平面 PCD,所以 AE ∥ 平面 PCD. 因此点 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是点 A 到平面 PCD 的距离,而 1 OF = PB = 1, 2 所以点 A 到平面 PCD 的距离为 1. 65. (1) 如图,连接 CD.

∵ 三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 是直三棱柱, ∴ CC1 ⊥ 平面 ABC. ∴ CD 为 C1 D 在平面 ABC 内的射影. ∵△ ABC 中,AC = BC,D 为 AB 中点, ∴ AB ⊥ CD,∴ AB ⊥ C1 D. ∵ A1 B1 ∥ AB,∴ A1 B1 ⊥ C1 D.

65. (2) 方法一: 如图,过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F,连接 MF. ∵ D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴ DE ∥ AC. 又 AF ∥ CE,CE ⊥ AC,∴ AF ⊥ DE. ∵ MA ⊥ 平面 ABC,∴ AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影. ∴ MF ⊥ DE. ∴ ∠MFA 为二面角 M ? DE ? A 的平面角,∠MFA = 30? . 1 a 在 Rt △ MAF 中,AF = 2 BC = 2,∠MFA = 30?, ∴ AM =
3 6

a.作 AG ⊥ MF,垂足为 G.

∵ MF ⊥ DE,AF ⊥ DE,∴ DE ⊥ 平面 AMF. ∴ 平面 MDE ⊥ 平面 AMF. ∴ AG ⊥ 平面 MDE. a 在 Rt △ GAF 中,∠GFA = 30?,AF = 2. ∴ AG = ,即 A 到平面 MDE 的距离为 .
4 4 a a

∵ CA ∥ DE,∴ CA ∥ 平面 MDE. a ∴ C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等,为 . 方法二: 如图,过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F,连接 MF. ∵ D,E 分别为 AB,CB 的中点,∴ DE ∥ AC. 又 AF ∥ CE,CE ⊥ AC,∴ AF ⊥ DE. ∵ MA ⊥ 平面 ABC.∴ AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影. ∴ MF ⊥ DE. ∴ ∠MFA 为二面角 M ? DE ? A 的平面角,∠MFA = 30? . 1 a 在 Rt △ MAF 中,AF = BC = ,∠MFA = 30?, ∴ AM =
3 6 2 2 4

a.

设 C 到平面 MDE 的距离为 h. ∵ VM ?CDE = VC ?MDE , 1 1 ∴ 3 S△CDE ? MA = 3 S△MDE ? h, S△CDE = CE ? DE =
2 1 1 a2 8 1

,MA =
AF

3 6

a,
3

S△MDE = 2 DE ? MF = 2 DE ? cos 30? = 12 a2 . ∴3×
1 a2 8 a

×

3

∴ h = 4,即 C 到平面 MDE 的距离为 4.

6

a = 3 × 12 a2 × h.

1

3

a

66. (1) 如图,取 AD 的中点 E,连接 PE,则 PE ⊥ AD.

作 PO ⊥ 平面 ABCD,垂足为 O,连接 OE.

根据垂直的条件易得 OE ⊥ AD, 所以 ∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知 ∠PEO = 60?,PE = 6, 所以 PO = 3 3,四棱锥 P ? ABCD 的体积为 1 VP ?ABCD = 3 × 8 × 4 3 × 3 3 = 96. 66. (2) 如图,连接 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.

通过计算可得 EO = 3, AE = 2 3, 又知 AD = 4 3,AB = 8, EO AD 得 = , 所以 Rt △ AEO ≈ Rt △ BAD. 得 ∠EAO = ∠ABD. 所以 ∠EAO + ∠ADF = 90?, 所以 AF ⊥ BD. 又因为 PO ⊥ BD,且 PO 与 AF 是平面 PAF 内的两条相交直线, 所以 BD ⊥ 平面 PAF, 所以 PA ⊥ BD. 67. (1) ∵ 点 D 是正 △ ABC 中 BC 边的中点, ∴ AD ⊥ BC, 又 ∵ A1 A ⊥ 底面 ABC,∴ A1 D ⊥ BC, ∵ BC ∥ B1 C1 ,∴ A1 D ⊥ B1 C1 . 67. (2) 解法一:
AE AB

作 DE ⊥ AC 于 E. ∵ 平面 ACC1 ⊥ 平面 ABC, ∴ DE ⊥ 平面 ACC1 于 E,即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1 的距离. 在 Rt △ ADC 中,AC = 2CD = a,AD = ∴ 所求的距离
3 2

a.

CD ? AD 3 = a. AC 4 解法二:设点 D 到平面 ACC1 的距离为 x. ∵ 体积 VC 1 ?AC D 1 = VD ?AC C 1 DE = ∴x=
3 4

a,即点 D 到平面 ACC1 的距离为

3

4

a.

67. (3) 直线 A1 B ∥ 平面 ADC1 .证明如下:

证法一:如图 1,连接 A1 C 交 AC1 于 F,则 F 为 A1 C 的中点, ∵ D 是 BC 的中点,∴ DF ∥ A1 B, 又 DF ? 平面 ADC1 ,A1 B ? 平面 ADC1 , ∴ A1 B ∥ 平面 ADC1 . 证法二:如图 2,取 C1 B1 的中点 D1 ,则 AD ∥ A1 D1 ,C1 D ∥ D1 B. ∴ AD ∥ 平面A1 D1 B,且 C1 D ∥ 平面A1 D1 B. ∴ 平面 ADC1 ∥ 平面A1 D1 B. ∵ A1 B ? 平面A1 D1 B. ∴ A1 B ∥ 平面 ADC1 .

68. (1) 取 AB 的中点 E,连接 DE, CE, 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ⊥ AB. 当平面 ADB ⊥ 平面 ABC 时,因为平面 ADB ∩ 平面 ABC = AB, 所以 DE ⊥ 平面 ABC,可知 DE ⊥ CE. 由已知可得 DE = 3,EC = 1,在 Rt △ DEC 中, CD = DE 2 + EC 2 = 2.

68. (2) 当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ⊥ CD. (i)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC = BC,AD = BD,所以 C, D 都在线段 AB 的垂直平分线 上,即 AB ⊥ CD. (ii)当 D 不在平面 ABC 内时,由(1)知 AB ⊥ DE. 又因 AC = BC,所以 AB ⊥ CE. 又 DE, CE 为相交直线,所以 AB ⊥ 平面 CDE,由 CD ? 平面 CDE,得 AB ⊥ CD. 综上所述,总有 AB ⊥ CD. 69. (1) 如图,连接 A1 C1 , AC,AC 和 BD 交于 O,连接 C1 O.

∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD,BC = CD. 又∵ ∠BCC1 = ∠DCC1 ,C1 C = C1 C, ∴ △ C1 BC ?△ C1 DC, ∴ C1 B = C1 D, ∵ DO = OB, ∴ C1 O ⊥ BD, 又 AC ⊥ BD,AC ∩ C1 O = O, ∴ BD ⊥ 平面 AC1 . 又 C1 C ? 平面 AC1 , ∴ C1 C ⊥ BD. CD 69. (2) 当 CC = 1 时,能使 A1 C ⊥ 平面 C1 BD. 由(1)知,BD ⊥ 平面 AC1 ,
1

∵ A1 C ? 平面 AC1 , ∴ BD ⊥ A1 C. CD 当 CC = 1 时,平行六面体的六个面是全等的菱形, 同 BD ⊥ A1 C 的证法可得 BC1 ⊥ A1 C. 又 BD ∩ BC1 = B, ∴ A1 C ⊥ 平面 C1 BD. 70. (1) 连接 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即 ∠EBG 是 A1 B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连接 EF,FC.因为 D,E 分别是 CC1 ,A1 B 的中点,又 DC ⊥ 平面 ABC,所 以 CDEF 为矩形.
1

连接 DF,G 是 △ ADB 的重心,所以 G ∈ DF. 1 在直角三角形 EFD 中,EF 2 = FG ? FD = FD2 , 因为 EF = 1,所以 FD = 3, 所以 ED = 2,EG = 所以 sin∠EBG = EB =
EG 1× 2 3 6 3 3

=
1 3

6 3

.因为 FC = ED = 2,
2 3

所以 AB = 2 2,A1 B = 2 3,EB = 3. × = .
2 3

所以 A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值为



70. (2) 连接 A1 D,有 VA 1 ?AED = VD ?AA 1 E . 因为 ED ⊥ AB,ED ⊥ EF,又 EF ∩ AB = F, 所以 ED ⊥ 平面A1 AB,设 A1 到平面 AED 的距离为 h, 1 1 1 则 S△ADE ? h = S△A 1 AB ? ED,又 S△A 1 AE = S△A 1 AB = AA1 ? AB = 2,S△AED = AE ? ED =
6 2

.所以 h =

2× 2
6 2

=

2 6 3

2

4

2


2 6 3

故 A1 到平面 AED 的距离为



71. (1) 解法 1: 过点 P 作 PO ⊥ 平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO,则 PO ⊥ OA,PO ⊥ OB,PO ⊥ OC.

∵ PA = PB = PC = a, ∴△ PAO ?△ PBO ?△ PCO.

∴ OA = OB = OC, ∴ O 为 △ ABC 的外心. ∵ PA,PB,PC 两两垂直, ∴ AB = BC = CA = 2a,即 △ ABC 为正三角形. ∴ AO =
3 3

AB =

6 3

a.
3 3

∴ PO = PA2 ? AO2 =

a.
3 3

∴ 点 P 到平面 ABC 的距离为

a.

解法 2: 过点 P 作 PO ⊥ 平面 ABC 于点 O.

∵ PA,PB,PC 两两垂直,且 PA = PB = PC = a, ∴ AB = AC = BC = 2a,且 AP ⊥ 平面 PBC. ∴ VA ?PBC = VP ?ABC . 1 1 ∴ S△PBC ? AP = S△ABC ? PO. ∴ 3 ? 2 ? a ? a ? a = 3 ? 2 ? 2a ? 2a ? ∴ PO =
3 3 1 1 3 1 1 3 2

? PO,

72. (1) 如图,连接 AB1 ,

3

a.

∵ ABC ? A1 B1 C1 是直三棱柱,∴ AA1 ⊥ 平面 ABC,∴ AA1 ⊥ AC, π ∵ ∠CAB = 2 ,∴ AC ⊥ AB, 又 ∵ AB ∩ AA1 = A,∴ AC ⊥ 平面 ABB1 A1 ,故 AC ⊥ BA1 . 又 ∵ AB = AA1 ,∴ 四边形 ABB1 A1 是正方形,∴ BA1 ⊥ AB1 . 又 CA ∩ AB1 = A,∴ BA1 ⊥ 平面 CAB1 ,故 CB1 ⊥ BA1 . 72. (2) ∵ AB = AA1 = 2,BC = 5,∴ AC = A1 C1 = 1. 由(1)知,A1 C1 ⊥ 平面 ABA1 ,所以 1 VC 1 ?AB A 1 = S△AB A 1 ? A1 C1 3 1 2 = ×2×1= . 3 3 73. (1) 连接 AO1 ,AA1 ⊥ 底面 A1 B1 C1 D1 于 A1 .

AB1 与底面 A1 B1 C1 D1 所成的角为 ∠AB1 A1 ,即 ∠AB1 A1 = α. 因为 AB1 = AD1 ,O1 为 B1 D1 中点,所以 AO1 ⊥ B1 D1 , 又 A1 O1 ⊥ B1 D1 ,所以 ∠AO1 A1 是二面角 A ? B1 D1 ? A1 的平面角,即 ∠AO1 A1 = β. 设 AA1 = h,所以 AA1 tanα = = h, A1 B1 73. (2) 建立如图空间直角坐标系,

有 A 0,0, h ,B1 1,0,0 ,D1 0,1,0 ,C 1,1, h , AB 1 = 1,0, ?h , = 0,1, ?h , AC = 1,1,0 . 设平面 AB1 D1 的一个法向量为 n = x, y, z ,则 n ⊥ AB1 , n ⊥ AD1 , 即 n ? AB1 = 0, n ? AD1 = 0, 取z=1得 n = h, h, 1 . 所以点 C 到平面 AB1 D1 的距离为 n ? AC h+h+0 4 d= = = , n h2 + h2 + 1 3 则 h = 2. 74. (1) AB ⊥ 平面 PAD,PH ? 面 PAD,
1

AD

所以 PH ⊥ AB, 又 PH ⊥ AD,AD ∩ AB = A, 所以 PH ⊥ 面 ABCD. 1 1 74. (2) E 是 PB 中点 ? 点 E 到面 BCF 的距离 h = 2 PH = 2, 三棱锥 E ? BCF 的体积 1 V = S△BCF × h 3 1 1 = × × FC × AD × h 3 2 1 1 = × 1× 2× 6 2 2 = . 12

74. (3) 取 PA 的中点为 G,连接 DG, EG, PD = AD ? DG ⊥ PA, 又 AB ⊥ 平面 PAD, 所以)面 PAD ⊥ 面 PAB, 所以 DG ⊥ 面 PAB, 点 E, G 是棱 PB, PA 的中点, 1 1 所以 EG ∥ AB,EG = AB,DF ∥ AB,DF = AB, 所以 EG ∥ DF,EG = DF,所以 DG ∥ EF, 得 EF ⊥ 平面 PAB. 75. (1) 由 AC = BC,D 为 AB 的中点,得 CD ⊥ AB.又 CD ⊥ AA1 ,故 CD ⊥ 面A1 ABB1 ,所以点 C 到平面 A1 ABB1 的距离为 CD = 75. (2) 解法一:如图, BC2 ? BD2 = 5.
2 2

取 D1 为 A1 B1 的中点,连接 DD1 ,则 DD1 ∥ AA1 ∥ CC1 .又由(1)知 CD ⊥ 面A1 ABB1 ,故 CD ⊥ A1 D,CD ⊥ DD1 ,所以 ∠A1 DD1 为所求的二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角. 因 A1 D 为 A1 C 在面 A1 ABB1 上的射影,又已知 AB1 ⊥ A1 C,由三垂线定理的逆定理得 AB1 ⊥ A1 D,从而 ∠A1 AB1 ,∠A1 DA 都与 ∠B1 AB 互余,因此 ∠A1 AB1 = ∠A1 DA,所以 Rt △ A1 AD ∽ Rt △ B1 A1 A, 因此 AA1 A1 B1 = , AD AA1

即 AA2 1 = AD ? A1 B1 = 8, 得 AA1 = 2 2.从而 A1 D =
2 AA2 1 + AD = 2 3,

所以,在 \(\operatorname{{\mathrm{Rt}}} \triangle {A_1}D{D_1}\) 中, DD1 AA1 6 cos∠A1 DD1 = = = . A1 D A1 D 3 解法二:如图,

过 D 作 DD1 ∥ AA1 交 A1 B1 于 D1 ,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1 两两垂直.以 D 为原点, 射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz. 设直三棱柱的高为 h,则 A ?2,0,0 , A1 ?2,0, h , B1 2,0, h , C 0, 5, 0 , C1 0, 5, h , 从而 AB1 = 4,0, h , A1 C = 2, 5, ?h , 由 AB1 ⊥ A1 C, 有 故 DA1 CC1 = ?2,0,2 2 , = 0,0,2 2 , 8 ? h2 = 0, h = 2 2.

DC = 0, 5, 0 , 设平面 A1 CD 的法向量为 m = x1 , y1 , z1 ,则 m ⊥ DC,m ⊥ DA1 ,即 5y1 = 0, ?2x1 + 2 2z1 = 0, 取 z1 = 1,得 m = 2, 0,1 , 设平面 C1 CD 的法向量为 n = x2 , y2 , z2 ,则 n ⊥ DC,n ⊥ CC1 ,即 5y2 = 0, 2 2z2 = 0, 取 x2 = 1,得 n = 1,0,0 ,所以 m?n 2 6 cos m, n = = = , m ? n 3 2+1?1 所以二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角的余弦值为
6 3



76. (1) 由条件知 PDAQ 为直角梯形. ∵ QA ⊥ 平面 ABCD,∴ 平面 PDAQ ⊥ 平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC ⊥ AD,∴ DC ⊥ 平面 PDAQ,可得 PQ ⊥ DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 2 DQ = PQ = PD, 2 则 PQ ⊥ QD.所以 PQ ⊥ 平面 DCQ. 76. (2) 设 AB = a.由题设知 AQ 为棱锥 Q ? ABCD 的高, 所以棱锥 Q ? ABCD 的体积 1 V1 = a3 . 3 2 由(1)知 PQ 为棱锥 P ? DCQ 的高,而 PQ = 2a,△ DCQ 的面积为 2 a2 ,所以棱锥 P ? DCQ 的体积 1 V2 = a3 . 3 故棱锥 Q ? ABCD 的体积与棱锥 P ? DCQ 的体积比值为 1. 77. (1) 因为 D,M 分别为 AC,FC 中点, 所以 DM ∥ EF. 又因为 EF ? 平面A1 EF,DM ? 平面A1 EF, 所以 DM ∥ 平面A1 EF. 77. (2) 因为 A1 E ⊥ BD,EF ⊥ BD 且 A1 E ∩ EF = E, 所以 BD ⊥ 平面A1 EF. 又因为 A1 F ? 平面A1 EF, 所以 BD ⊥ A1 F. 77. (3) 直线 A1 B 与直线 CD 不能垂直. 因为 平面A1 BD ⊥ 平面 BCD,平面A1 BD ∩ 平面 BCD = BD,EF ⊥ BD,EF ? 平面 CBD, 所以 EF ⊥ 平面A1 BD. 因为 A1 B ? 平面A1 BD, 所以 A1 B ⊥ EF. 又因为 EF ∥ DM, 所以 A1 B ⊥ DM. 假设 A1 B ⊥ CD, 因为 A1 B ⊥ DM,CD ∩ DM = D, 所以 A1 B ⊥ 平面 BCD, 所以 A1 B ⊥ BD,这与 ∠A1 BD 为锐角矛盾, 所以直线 A1 B 与直线 CD 不能垂直. 78. (1) 连接 BO2 , O2 O2 ?,

依题意得 O1 ,O1 ?,O2 ,O2 ? 是圆柱底面圆的圆心, 即 CD, C?D?, DE, D?E? 是圆柱底面圆的直径. ∵ A?, B, B? 分别为 C?D?,DE,D?E? 的中点, ∴ ∠A?O1 ?D? = ∠B?O2 ?D? = 90?. ∴ A?O1 ? ∥ B?O2 ?. ∵ BB?平行且等于O2 O2 ?,四边形 O2 O2 ?B?B 是平行四边形, ∴ BO2 ∥ B?O2 ?,∴ A?O1 ? ∥ BO2 , ∴ O1 ?, A?, O2 , B 四点共面. 78. (2) 延长 AO1 到 H,使得 O1 H = AO1 ,连接 HH?,HO1 ?,HB, ∵ O1 ?H? = A?O1 ?, ∴ O1 ?H?平行且等于O2 ?B?,∴ 四边形 O1 ?O2 ?B?H? 是平行四边形, ∴ O1 ?O2 ? ∥ H?B. ∵ O1 ?O2 ? ⊥ O2 O2 ?, O1 ?O2 ? ⊥ B?O2 ?, O2 O2 ? ∩ B?O2 ? = O2 ?, ∴ O1 ?O2 ? ⊥ 平面O2 O2 ?B?B, ∴ H?B? ⊥ 平面 O2 O2 ?B?B, ∵ BO2 ? ? 平面O2 O2 ?B?B, ∴ BO2 ? ⊥ H?B?, 易知四边形 AA?H?H 是正方形,且边长 AA? = 2 因为 HH? tan∠HO1 ?H? = = 2, O1 ?H? A?G 1 tan∠A?H?G = = , A?H? 2 所以 tan∠HO1 ?H? ? tan∠A?H?G = 1, ∴ ∠HO1 ?H? + ∠A?H?G = 90?, ∴ HO1 ? ⊥ H?G, 易知 O1 ?O2 ? ∥ HB, 四边形 O1 ?O2 ?BH 是平行四边形 ∴ BO2 ? ∥ HO1 ? ∴ BO2 ? ⊥ H?G,而 H?G ∩ H?B? = H?, ∴ BO2 ? ⊥ 平面 H?B?G. 79. (1) 因为 ABCD ? A?B?C?D? 为长方体,故 AB ∥ C?D?,AB = C?D?, 故 ABC?D? 为平行四边形,故 BC? ∥ AD?,显然 B 不在平面 D?AC 上, 于是直线 BC? 平行于平面 D?AC; 直线 BC? 到平面 D?AC 的距离即为点 B 到平面 D?AC 的距离,设为 h. 考虑三棱锥 ABCD? 的体积,以 ABC 为底面,可得 1 1 1 V= × ×1×2 ×1= . 3 2 3 而 △ AD?C 中,AC = D?C = 5,AD? = 2,故 3 S△AD?C = . 2 所以, 1 3 1 2 V= × ×h= ?h= , 3 2 3 3 2 即直线 BC? 到平面 D?AC 的距离为 . 80. (1) 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE ∥ BC. 又因为 DE ? 平面 A1 CB,BC ? 平面 A1 CB,所以 DE ∥ 平面 A1 CB.
3

80. (2) 由已知得 AC ⊥ BC 且 DE ∥ BC, 所以 DE ⊥ AC. 所以 DE ⊥ A1 D,DE ⊥ CD. 所以 DE ⊥ 平面 A1 DC. 而 A1 F ? 平面 A1 DC, 所以 DE ⊥ A1 F. 又因为 A1 F ⊥ CD, 所以 A1 F ⊥ 平面 BCDE. 所以 A1 F ⊥ BE. 80. (3) 线段 A1 B 上存在点 Q,使 A1 C ⊥ 平面 DEQ. 理由如下: 如图,分别取 A1 C,A1 B 的中点 P,Q,则 PQ ∥ BC.

又因为 DE ∥ BC, 所以 DE ∥ PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE ⊥ 平面 A1 DC, 所以 DE ⊥ A1 C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1 C 底边 A1 C 的中点, 所以 A1 C ⊥ DP. 所以 A1 C ⊥ 平面 DEP. 从而 A1 C ⊥ 平面 DEQ. 故线段 A1 B 上存在点 Q,使得 A1 C ⊥ 平面 DEQ. 81. (1) ∵ C?O ⊥ 平面 ABD,O 在 AB 上,DA ? 平面 ABD, ∴ C?O ⊥ DA. ∵ AB ⊥ DA 及 AB ∩ C?O = O, ∴ DA ⊥ 平面 ABC?. 又 BC? ? 平面 ABC?, ∴ DA ⊥ BC?. ∵ BC ⊥ CD, ∴ BC? ⊥ C?D. ∵ DA ∩ C?D = D, ∴ BC? ⊥ 平面 AC?D. 81. (2) 如图所示,过点 A 作 AE ⊥ C?D,垂足为点 E.

∵ BC? ⊥ 平面 AC?D,

∴ BC? ⊥ AE. ∴ AE ⊥ 平面 BC?D. 故 AE 的长就是点 A 到平面 BC?D 的距离. 在 Rt △ AC?B 中,AC? = AB2 ? BC′2 = 3 2. 在 Rt △ BC?D 中,C?D = CD = 3 3. 在 Rt △ C?AD 中,由面积关系得 AE = ∴ 点 A 到平面 BC?D 的距离是 6. 82. (1) 如图,
AC? ?AD C′D

=

3 2×3 3 3

= 6.

∵ 正方形 ABCD, ∴ AC ⊥ BD. ∵ AA1 ⊥ 平面 ABCD, ∴ AA1 ⊥ BD. ∵ AA1 ∩ AC = A, ∴ BD ⊥ 平面A1 AC. ∵ A1 C ? 平面A1 AC, ∴ BD ⊥ A1 C. 同理,A1 C ⊥ BC1 , ∴ A1 C ⊥ 平面 BC1 D. 83. (1) 因为 ∠DAB = 60?,AB = 2AD,由余弦定理得 BD = 3AD, 从而 BD2 + AD2 = AB2 , 故 BD ⊥ AD. 又 PD ⊥ 底面 ABCD,可得 BD ⊥ PD, 所以 BD ⊥ 平面 PAD.故 PA ⊥ BD. 83. (2) 如图,作 DE ⊥ PB,垂足为 E.

已知 PD ⊥ 底面 ABCD,则 PD ⊥ BC. 由(1)知 BD ⊥ AD, 又 BC ∥ AD,所以 BC ⊥ BD. 故 BC ⊥ 平面 PBD,BC ⊥ DE. 则 DE ⊥ 平面 PBC.

由题设知,PD = AD = 1,则 BD = 3, PB = 2, 根据 DE ? PB = PD ? BD,得 DE = 即棱锥 D ? PBC 的高为
3 2

3 , 2



84. (1) 在 △ ABD 中,∵ AB = 2,AD = 4,∠DAB = 60?, ∴ BD = AB2 + AD2 ? 2AB ? ADcos∠DAB = 2 3. ∴ AB 2 + BD2 = AD2 ,∴ AB ⊥ BD. 又 平面 EBD ⊥ 平面 ABD,平面 EBD ∩ 平面 ABD = BD,AB ? 平面 ABD, ∴ AB ⊥ 平面 EBD. ∵ DE ? 平面 EBD, ∴ AB ⊥ DE. 85. (1) 如图,以 S O 为坐标原点,射线 SD,SC 分别为 x 轴,y 轴正向,建立空间直角坐标系.

设 A xA , yA , zA ,因 平面 CSD ⊥ 平面 ABCD,AD ⊥ CD,故 AD ⊥ 平面 CSD,即点 A 在 zOx 平 面上,因此 yA = 0,zA = AD = 1.
2 又 xA + 12 = AS = 3,xA > 0,解得 xA = 2. 从而 A 2, 0,1 . 因 AD ∥ BC,故 BC ⊥ 平面 CSD,即 平面 BCS 与 平面 yOz 重合,从而点 A 到 平面 BCS 的距离 为 xA = 2. 86. (1) ∵ AB ⊥ 面 BCD,CD ? 面 BCD,∴ AB ⊥ CD. 又 ∵ CD ⊥ BC,且 AB ∩ BC = B,∴ CD ⊥ 面 ABC. 86. (2) 由(1)知 CD ⊥ 面 ABC. ∵ BM ? 面 ABC,∴ BM ⊥ CD. ∵ BM ⊥ AC,AC ∩ CD = C,∴ BM ⊥ 面 ACD. 86. (3) 由(2)知 BM ⊥ 面 ACD. ∵ AD ? 面 ACD,∴ BM ⊥ AD. 又 ∵ BN ⊥ AD,BM ∩ BN = B,∴ AD ⊥ 面 BMN. ∵ MN ? 面 BMN,∴ AD ⊥ MN. 87. (1) ∵ 四边形 ABCD 为长方形, ∴ BC ∥ AD. 又 BC ? 平面 PDA,AD ? 平面 PDA, ∴ BC ∥ 平面 PDA. 87. (2) ∵ BC ⊥ CD,平面 PDC ⊥ 平面 ABCD 且 平面 PDC ∩ 平面 ABCD = CD,BC ? 平面 ABCD, ∴ BC ⊥ 平面 PDC. ∵ PD ? 平面 PDC, 2

∴ BC ⊥ PD.

87. (3) 取 CD 的中点 E,连接 PE,AC. ∵ PD = PC, ∴ PE ⊥ CD, ∴ PE = PC 2 ? CE2 = 42 ? 32 = 7. ∵ 平面 PDC ⊥ 平面 ABCD 且 平面 PDC ∩ 平面 ABCD = CD,PE ? 平面 PDC, ∴ PE ⊥ 平面 ABCD. 由(2)知 BC ⊥ 平面 PDC. 又 AD ∥ BC, ∴ AD ⊥ 平面 PDC. 又 PD ? 平面 PDC, ∴ AD ⊥ PD. 设点 C 到平面 PDA 的距离为 h,则 VC ?PDA = VP ?ACD , 1 1 ∴ 3 S△PDA ? h = 3 S△ACD ? PE, ∴h=
S △ACD ?PE S △PDA
1

=2

×3×6× 7
1 ×3×4 2

=

3 7 2

, .

故点 C 到平面 PDA 的距离为

3 7 2

88. (1) 如图,连接 MB,MC.

因为三棱锥 P ? ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形, 所以,MB = MC =
3 2

,且底面 △ ABC 也是边长为 1 的等边三角形.

因为 N 为 BC 的中点, 所以 MN ⊥ BC. 在 Rt △ MNB 中,MN = MB2 ? BN 2 = 88. (2) 因为 M 是 PA 的中点, 所以 PA ⊥ MB,同理 PA ⊥ MC. 因为 MB ∩ MC = M, 所以 PA ⊥ 平面 MBC. 又因为 BC ? 平面 MBC, 所以 PA ⊥ BC.
2 2



88. (3) 因为,侧面等边三角形 APB 的面积为 S = AP ? MB =
2

1

3 4



且三棱锥 P ? ABC 的三个侧面和底面均为边长是 1 的等边三角形, 所以三棱锥 P ? ABC 的表面积为 4S = 3.

89. (1) 设 AC ∩ BD = O,则 PO 、 QO 分别是正四棱锥 P ? ABCD 、 Q ? ABCD 的高,所以 PO ⊥ 平面 ABCD,QO ⊥ 平面 ABCD.从而 P 、 O 、 Q 三点在一条直线上,所以 PQ ⊥ 平面 ABCD.

89. (2) 由(1),得 PO ⊥ 面 ABCD,AC ⊥ BD. 以 O 为坐标原点,分别以 OA 、 OB 、 OP 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz,则 A 2 2, 0,0 , Q 0,0, ?2 , P 0,0,1 , B 0,2 2, 0 , 所以 AQ = ?2 2, 0, ?2 , PB = 0,2 2, ?1 , 所以 cos AQ, PB = 因此,直线 AQ 和 PB 所成的角为 arccos
3 9

AQ ? PB AQ PB

=

3 . 9



89. (3) 由(2),点 D 的坐标为 0, ?2 2, 0 ,则 AD = ?2 2, ?2 2, 0 , 设 n = x, y, z 是平面 QAD 的一个法向量,则有 n ? AD = 0, n ? AQ = 0, 即 ?2 2x ? 2 2y = 0, ?2 2x ? 2z = 0, 取 x = 1,得 n = 1, ?1, ? 2 . 又 PQ = 0,0, ?3 ,所以点 P 到平面 QAD 的距离为 PQ ? n 3 2 d= = . n 2 90. (1) 取 BD 中点 M,连接 MC,FM,

因为 F 为 BD1 中点,所以 FM ∥ D1 D 且 FM = D1 D, 又 EC = CC1 ,且 EC ⊥ MC. 所以四边形 EFMC 是矩形. 所以 EF ⊥ CC1 . 又 CM ⊥ 面 DBD1 , 所以 EF ⊥ 面 DBD1 . 因为 BD1 ? 面 DBD1 , 所以 EF ⊥ BD1 .故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线. 90. (2) 连接 ED1 ,有 VD 1 ?BDE = VE ?BD D 1 . 由(1)知 EF ⊥ 面 DBD1 ,设点 D1 到面 BDE 的距离为 d,则 S△BDE ? d = S△DB D 1 ? EF. 因为 AA1 = 2,AB = 1,所以 BD = BE = ED = 2,EF = 2 ,所以 1 S△DB D 1 = ? 2 ? 2 = 2, 2 2 3 故点 D1 到平面 BDE 的距离为 .
3 2 2 1 2

1


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