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高二数学月考试题1


高二数学秋季第一次月考测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,满分 60 分)

1、到两定点 F1 ?? 3,0? 、 F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 4 的点 M 的轨迹
A 椭圆 B 线段 C 双曲线 D 两条射线





2、直线经过点 A(?2, 0)

, B(?5,3) ,则直线的倾斜角( A 450 B 1350 C -450 D

) -1350

3、已知直线 l 与 x 轴的交点 (a, 0) ,与 y 轴的交点 (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,
则直线 l 的方程为( A ) B

x y ? ?1 a b

x y ? ? ?1 a b

C

x y ? ? ?1 a b

D

x y ? ?1 a b

4、圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 的周长是( A 2? B 2? C 2 2?

) D 4? )

5、已知圆 x 2 ? y 2 ? 32 和点 A(-5,4) ,点 B(4,-4) ,则 A、B 两点(

A A在圆上,B在圆外 B A在圆外,B在圆上 C A、B都在圆外 D A、B都在圆内 2 2 6、方程 x +y +2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值依次为( ) A 2、4、4; B -2、4、4; C 2、-4、4; D 2、-4、-4 7、已知两圆的方程是 x2+y2=1 和 x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是 ( ) A 相离 B 相交 C 外切 D 内切 2 2 x y ? ? 1 上一点 M 到一个焦点 F1 的距离是 2, 8、 椭圆 则点 M 到另一个焦点 F2 25 16 的距离是( ) A 10 B 8 C 6 D 1 2 2 9、椭圆 4 x ? 9 y ? 1 的焦点坐标是( ) A

??

5,0

?

B 0,? 5

?

?

C

? 5 ? ?? ? ? 6 ,0 ? ? ?

? 5 ? D ? ? ,0 ? ? 36 ?

10、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 a 2 25 F1 ,则△ ABF2 的周长为( )

A

10

B 20

C

2 41

D 4 41

1

11、已知半径为 1 的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A (x-5)2+(y+7)2=25 B (x-5)2+(y+7)2=17 或(x-5)2+(y+7)2=15 C (x-5)2+(y+7)2=9 D (x-5)2+(y+7)2=25 或(x-5)2+(y+7)2=9 12、给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③
y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A ①③ B ②④
x2 x2 ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 2 2 ( ) C ①②③ D ②③④

二、填空题(本大题共 4 小题,满分 20 分) x2 y2 ? ? 1, 13、 已知椭圆方程 离心率为 , 此椭圆的长轴长为 8 4 14、 双曲线 x 2 ? 8 y 2 ? 32 的焦点坐标为 , 顶点坐标为 15、求过 P(5,-3),Q(0,6)两点,并且圆心在直线 l:2x-3y-6=0 上的圆的方程 16、圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值为 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 30 分)

。 。

17(10 分)求经过直线 l1 : 2x ? 3 y ? 5 ? 0, l2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线
2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

2

18(12 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 为 8 5 ,求椭圆的方程。

2 ,短轴长 3

19(12 分)已知双曲线与椭圆 双曲线方程.

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求 5 9 25

20(12 分)已知圆 C1:x2+y2-3x-3y+3=0,圆 C2:x2+y2-2x-2y=0,求两圆的公共弦所 在的直线方程及弦长.

3

2 2 21(12 分)设 F1、F2 为椭圆 16x ? 25 y ? 400 的焦点, P 为椭圆上的一点,且

?F1PF2 ? 1200 ,求 ?PF1 F2 的面积。

22(12 分)已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原 点),求 m 的值。

4

5

4 18.解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 5
2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 . 所以求双曲线方程为:

y2 x2 ? ? 1. 4 12

19.(12 分)解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将 P(5,-3),Q(0,6)代入得 5D-3E+F=-34① 6E+F=-36② D E (? , ? ) 又∵圆心 在直线 2x-3y-6=0 上, 2 2 ∴2D-3E+12=0③ 联①②③组成方程组得
E?? D=-38, 64 , 3

F=92

∴所求圆的方程为x 2 ? y 2 ? 38 x ? 64 y ? 92 ? 0. 3

6

15.过原点 O 作圆 x2+y2-8x=0 的弦 OA。 (1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程; (2)延长 OA 到 N,使|OA|=|AN|,求 N 点的轨迹方程.

2

7

20. (12 分)如图 9-6,已知点 A、B 的坐标分别是(-3,0) , (3,0) ,点 C 为线段 AB 上任一点,P、Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1,O2 的外公切线 的切点,求线段 PQ 的中点的轨迹方程。

2 2 21、 (12 分)已知椭圆 x 2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? 6 , 过点 A ? 0, ?b ? 和 B ? a,0? 的

a

b

3

直线与原点的距离为 3 。
2

⑴求椭圆的方程; ⑵已知定点 E ? ?1,0? ,若直线 y ? kx ? 2 ? k ? 0? 与椭圆交于 C、D 两点,问:是 否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由。

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦 22、在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上取一点 P ,过点 P 以椭圆 12 3
点作椭圆。 (1) P 点在何处时,所求椭圆长轴最短? (2)求长轴最短时的椭圆方程。

8

21.如图 9-7,已知圆 C:x2+y2=4,A( 3 ,0)是圆内一点。Q 是圆上一动点, AQ 的垂直平分线交 OQ 于 P,当点 Q 在圆 C 上运动一周时,点 P 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)过点 O 作倾斜角为θ 的直线与曲线 E 交于 B1、B2 两点,当θ 在范围 ? (0, )内变化时,求△AB1B2 的面积 S(θ )的最大值。 2

22.已知双曲线 C1 和椭圆 C2:

( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 + =1 有公共的焦点,它们 49 24

的离心率分别是 e1 和 e2,且

1 1 + =2。 e1 e 2

(1)求双曲线 C1 的方程; (2)圆 D 经过双曲线 C1 的两焦点,且与 x 轴有两个交点,这两个交点间 的距离等于 8,求圆 D 的方程。

9

高二数学期末复习测试体二(直线与圆的方程)参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题 13.(x-1) 2 +(y-1) 2=1 14.-10 15.x=0 或 15x+8y-32=0 16.②,③ 三、解答题 17.(1)利用夹角公式求得直线 l 的斜率 k= 3 ? 2 或 ? 3 ? 2 ,所求直线 l 的方 程为

( 3 ? 2) x ? y ? 5 ? 2 3 ? 0 或 ( 3 ? 2) x ? y ? 2 3 ? 5 ? 0 。
(2)易得 x+2y-4=0。 18.解 圆 x2+y2+2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3),设所求圆的圆心为 O(a,b), 半径为 r。 AM 的中垂线方程为 x-y-2=0 ①,直线 MC 的方程为:x+2y-5=0 ②, 解①、②得圆心 O(a,b)的坐标是 O(3,1),半径 r=|OM|= 5 , 故所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=5。 19.解 (1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 联立并消去 y 得 8 4m ? 16 5x2-8x+4m-16=0,由韦达定理得 x1+x2= ①,x1x2= ②,又由 x+2y-4=0 得 5 5 1 1 1 5 y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、 2 2 2 4 8 ②代入得 m= . 5 20.解 作 MC⊥AB 交 PQ 于点 M,则 MC 是两圆的公切线,∴|MC|=|MQ|, |MC|=|MP|,即 M 为 PQ 的中点。设 M(x,y),则点 C,O1,O2 的坐标分别是 ?3? x 3? x (x,0),( ,0)( ,0) 。连 O1M,O2M,由平几知识得:∠O1MO2=90°, 2 2 ∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2,即: ?3? x 2 2 3? x 2 2 ?3? x 3? x 2 (x) +y +(x) +y =( ) ,化简得 x2+4y2=9。 又∵点 C(x,0) 2 2 2 2 在线段 AB 上,且 AC, BC 是圆的直径,∴-3<x<3。 2 故所求的轨迹方程为 x +4y2=9(-3<x<3)。 21.解 (1)∵P 在 AQ 的垂直平分线上,又在半径 OQ 上,∴|PQ|=|PA|,且 |OP|+|PA|=|OQ|=2,
10

故 P 点的轨迹是以 O、A 为焦点,长轴长为 2,中心在(
3 2 y2 )+ =1 1 2 4

3 ,0)的椭圆: 2

(x-

( 2 ) 设 OB1=x , 则 AB1=2-x , 在 △ OAB1 中 , 由 余 弦 定 理 得 |AB1|2=|OB1|2+|OA|2-2|OB1|·|OA| cosθ , 即(2-x)2=x2+3-2 3 x·cosθ ,解得 x=
1 4 ? 2 3 cos? 1 4 ? 2 3 cos?

,

同理可得

?| OB2 | ,

S(θ )=S △ AB1B2 =S △ AOB1 +S △ AOB2
1 1 = |OA|·|OB1|sinθ + |OA|·|OB2|sin(π -θ ) 2 2
1 sin ? sin ? = |OA|( + ) 2 4 ? 2 3 cos? 4 ? 2 3 cos?

=

1 3 sin ? = 2 3 sin ? ? 1 3 sin ? ?

1 3 sin ?



1 2

当且仅当 3 sinθ =

1 3 sin ?

,即θ =arcsin

3 时取等号, 3

∴当θ =arcsin

1 3 时,Smax(θ )= 。 2 3

22.解 (1)椭圆 C2 的两个焦点坐标为 F1(-7,1),F2(3,1),离心率 e2= 由
5 1 1 + =2 可知双曲线 C1 的离心率 e1= , 3 e1 e 2

5 。 7

∴c2=25,a2=9,b2=c2 – a2=16,
( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 故双曲线 C1 的的方程为 =1。 9 16

(2)∵圆 D 经过双曲线的两个焦点,∴圆心 D 在直线 x= -2 上。 设圆 D 的方程为(x+2)2+(y-b)2=52+(b-1)2,整理得:x2+y2+4x-2by+2b-22=0,
11

令 y=0,得 x2+4x+2b-22=0。 设圆 D 与 x 轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则 x1+x2= -4,x1x2=2b-22。 依题意|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =8, 即 16 - 4(2b-22)=64,解得 b=5。 所以圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41。

12


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