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带电粒子在磁场中运动问题类析


带电粒子在磁场中运动问题类析

一、对称思想 带电粒子垂直射入磁场后,将做匀速圆周运动.分析粒子运动, 会发现它们具有对称的特点,即:粒子的运动轨迹关于入射点P 与出射点Q的中垂线对称,轨迹圆心O位于对称线上,入射速度、 出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等,并有φ=α=2θ

=ω·t,如右图所示.应用这一粒子运动中的“对称性”

不仅可
以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹,对于某些临界问题的求 解也非常便捷.

【例1】如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁

场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入
磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正 半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负 分别是( )

解析:粒子穿过y轴正半轴,由左手定则可判断粒子带负电.根据带电粒子在有 界磁场中运动的对称性作出粒子在磁场中运动轨迹如右图所示,由图中几何关 系可得:r+rsin 30°=a,

答案:C

二、放缩法 带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时,它们将在磁场中做匀速圆 周运动,其轨迹半径随速度的变化而变化,如图所示,(图中只画出粒子带正 电的情景),速度v0越大,运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒 子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上.

由此我们可得到一种确定临界条件的方法:在确定这类粒子运动的临界条件 时,可以以入射点P为定点,圆心位于PP′直线上,将半径放缩作轨迹,从而 探索出临界条件,使问题迎刃而解,这种方法称为“放缩法”.

【例2】 如图所示,宽度为d的匀强有界磁场,磁感应强度为B,MM′和NN′ 是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m,电荷量为q的带正电粒子沿 图示方向垂直射入磁场中,θ=45°.要使粒子不能从右边界NN′射出,求 粒子入射速率的最大值为多少?

解析:用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示,当其运动轨迹与NN′ 边界线相切于P点时,这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹.由题图 可知: R(1-cos 45°)=d,又Bqvmax= 联立可得:vmax= 答案:

三、平移法
带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时,它们将在磁场中做匀速 圆周运动,其轨迹半径相同,若射入初速度为v 0 ,则圆周运动半径为R= mv0/(qB),如图所示.同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后,粒子在 磁场中做匀速圆周运动,圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv0/(qB)的圆

(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.
由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法:确定这类 粒子在有界磁场中运动的临界条件时,可以将一半径为R

=mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移,从而探索出临
界条件,这种方法称为“平移法”.

【例3】如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应 强度的大小B=0.60 T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,

在距ab的距离l=16 cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒
子,α粒子的速率都是v=3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比 =

5.0×107 C/kg,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的 区域的长度.

解析:α粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入,在磁场中均
沿逆时针方向做匀速圆周运动,可求出它们的运动轨迹半径R,由qvB=m 得R= ,代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R. ,

由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,可先考查速度沿负y方向的α粒 子,其轨迹圆心在x轴上的A1点,将α粒子运动轨迹的圆心A1点开始,沿着

“轨迹圆心圆”逆时针方向移动,如右图所示.由图可知,当轨迹圆的圆心
移至A3点时,粒子运动轨迹与ab相交处P2到S的距离为2R,P2即为粒子打中 ab上区域的右边最远点.由题中几何关系得:

当α粒子的轨迹的圆心由A3点移至A4点的过程中,粒子运动轨迹均会与ab相 交,当移到A4点后将不再与ab相交了,这说明圆心位于A4点的轨迹圆,与ab 相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点.可过A4点作平行于ab的直线cd, 再过A4作ab的垂线,它与ab的交点即为P1,同样由几何关系可知: NP1= .

则所求长度为P1P2=NP1+NP2,代入数值得P1P2=20 cm. 答案:20 cm


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