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带电粒子在有界磁场中的运动


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物理总复习
带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点,也是高考的热点。在历年的高考试题中几 乎年年都有这方面的考题。带电粒子在有界磁场中的运动问题,综合性较强,解这类问题既要用 到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识,又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。下 面按照有界磁场的形状对这类问题

进行分类解析。

【例 1】 在以坐标原点 O 为圆心,半径为 r 的圆形区域内,存在磁 感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。一个不 计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速率 v 沿-x 方向射入 磁场,它恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷
q ; m

1、一个基本思路:定圆心、找半径、画轨迹、求时间
(1)圆心的确定:因为洛伦兹力 F 指向圆心,根据 F ? v 画出粒子运动轨迹中任意两点(一 般是射入和射出磁场两点)的 F 的方向,沿两个洛伦兹力 F 画其延长线,两延长线的交点即为圆 心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上,作出圆心位置。 mv v2 (2)半径的确定和计算:qvB=m , R= Bq R 或是利用平面几何关系,求出该圆的可能半径(或圆心角) 。 并注意以下两个重要几何特点: ①粒子速度的偏向角(φ)等于回旋角(α ) ,并等于 AB 弦与切线的夹角 (弦切角θ )的 2 倍(如图所示) ,即 φ=α=2θ=ωt。 ②相对的弦切角(θ )相等,与相邻的弦切角(θ ′)互补,即θ +θ ′=180°。 (3)粒子在磁场中运动时间的确定:利用回旋角(即圆心角α )与弦切角的关系,或者利用 四边形内角和等于 360°计算出圆心角α 的大小,由公式 T ? 出粒子在磁场中的运动时间。

(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为 B′,该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角,求磁感应强度 B′多大?此次粒子在磁场中运动所用时间 t 是多少? 点拔: (1)粒子进入磁场后受哪些力?做什么性质的运动? (2)如何确定粒子在磁场中运动的半径、圆心?

? R? 2?m T 或t ? ,t ? 。可求 2? v qB

【例 2】 匀强磁场方向垂直于 xy 平面,在 xy 平面上,磁场分布在以 O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子,由原点 O 开始运动,初速度为 v,方向沿 x 轴正方向。后来,粒子经过 y 轴上的 P 点, 此时速度方向与 y 轴的夹角为 30°,P 到 O 点的距离为 L,如图所示,不计重 力的影响,求磁场的磁感应强度 B 的大小和 xy 平面上磁场区域的半径 R。 点拔: (1) 粒子做圆周运动的圆心位置大体在哪里?P 点在磁场里还是在 磁场外?能否在磁场边界上? (2) 粒子离开磁场后做什么运动?该运动轨迹与粒子在磁场中的圆周运动轨迹有什么几何关 系?

2、一个重要结论
如右图, 带电粒子以速度 v 指向圆形磁场的圆心入射,出磁场时速度 方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心

r v O v R 带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动 【例 3】如图所示,在一个圆形区域内,两个方向相反且都垂 直于纸面的匀强磁场分布在以直径 A2A4 为边界的两个半圆形区 域Ⅰ、Ⅱ中,A2A4 与 A1A3 的夹角为 60?。一质量为 m、带电量 为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点 A1 处沿与 A1A3 成 30? 角的方向射入磁场,随后该粒子以垂直于 A2A4 的方向经过圆心 O 进入Ⅱ区,最后再从 A4 处射出磁场。已知该粒子从射入到射 出磁场所用的时间为 t,求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽 略粒子重力) 。
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3、一个重要方法
对于一些可向各个方向发射的带电粒子进入有边界的匀强磁场后出射 问题,可以用假设移动圆法:假设磁场是足够大的,则粒子的运动轨迹是一 个完整的圆,当粒子的入射速度方向改变时,相当于移动这个圆。 当带电粒子在足够大的磁场中以速度 v 向某一方向射出时,其 运动轨迹都是一个圆;若射出粒子的初速度方向转过θ 角时,其运 动轨迹相当于以入射点为轴,直径转动θ 得到的圆的轨迹,如图所 示;用这种方法可以解决: a.带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题。 b.粒子在不同的边界射出的问题。
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A4 Ⅰ 30?

A1

60? Ⅱ

A3

θ(
)θ A

v v

A2

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【例 4】半径为 r ? 10cm 的匀强磁场区域边界在 y 轴右边跟 y 轴相切于坐标原点 O,磁感强度

粒子不打在板上,求粒子速率 v 应满足什么条件。

? 粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道,求出 ? 粒子通过磁场空间的最大偏角.

B ? 0.332T ,方向垂直纸面向里.在 O 处有一放射源 S ,可向纸面各个方向射出速度为 v ? 3.2 ? 106 m / s 的粒子.已知 ? 粒子质量 m ? 6.64?10?27 kg ,电量 q ? 3.2 ? 10?19 C ,试画出
带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动 【例 6】 在边长为 2 a 的 ?ABC 内存在垂直纸面向里的磁感强度为 B 带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动 匀强磁场的边界是矩形 带电粒子以初速度 v0 垂直于磁感线射入匀强磁场时,v0 和磁场边界可能垂直,也可能不 垂直 (如图 1、 如图 2) , 匀强磁场的磁感线垂直于纸面, 匀强磁场仅存在于矩形区域 ABCD 内。 1、 v0 和边界垂直. 如图 1 所示, v0 垂直于边界 AD. 只 讨论两种特殊情况. 的匀强磁场,有一带正电 q ,质量为 m 的粒子从距A点 3a 的D点垂直 AB方向进入磁场,如图5所示,若粒子能从AC间离开磁场,求粒子速 率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出.

L

? ? ? ? ?v ? ? ?
图3
C
? ? ? ? ? ?

? d ?

A

图5

D

?

B

(1)带电粒子从 CD 边垂直射出磁场,如图 1(a)应满足: AB>r,MD=r.带电粒子在磁场中的运动轨道为四分之一圆周, 在磁场中运动了四分之一周期. (2)带电粒子从 AD 边垂直射出磁场,如图 1(b)应满足:AB>r,MD>2r.带电粒子在 磁场中的运动轨道为半个圆周,在磁场中运行了半个周期. 2、v0 和边界不垂直:图 2 中,两个质量为 m、带电量为 q、初速度大小为 v0 的完全相同的带 电粒子,从同一点 M 分别沿着与边界 AD 夹α 、β (=π -α )角的方向射入匀强磁场,也只讨 论两种特殊情况. (1)带电粒子从 CD 边垂直射出磁场,如图 2(a).应满足:AB>r(1+cosα )、AM>r (1-sinα )、MD=rsinα .以 AD 为

带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动 【例 7】据有关资料介绍,受控核聚变装置中有极高的温度,因而带电粒子将没有通常意义 上的“容器”可装,而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个 区域内.现按下面的简化条件来讨论这个问题:如图 8 所示的是一 个截面为内径 R1 ? 0.6m 、外径 R2 ? 1.2m 的环状区域,区域内有 垂直于截面向里的匀强磁场.已知氦核的荷质比

q ? 4.8 ? 10 7 c / kg ,磁场的磁感应强度 B ? 0.4T ,不计带电粒 m
子重力. (1)实践证明,氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速 度 v 的大小与它在磁场中运动的轨道半径 r 有关,试导出 v 与 r 的 关系式. 图8 (2) 若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从 A 点射人磁 场,画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图. (3)若氦核在平行于截面从 A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界,求氦核的最 大速度.

=2r,据此可求带电粒子在磁场中的轨道半径及两粒子在磁场中运动的时间和(半个周期)。 (2)带电粒子从 AD 边射出磁场,如图 2(b)所示,应满足: AB>r(1+cosα ), AD> 2r,且需 AM>r(1-sinα ),MD>r(1 + sinα ).由几何知识可知,两带电粒子从同一点进入 磁场,在磁场中沿不

带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动 【例 8】如图 11 所示,A、B 为水平放置的足够长的平行板,板间距离为 的时间和等于它们做匀速圆周运动的周期. 【例 5】 如图 3, 长为 L 间距为 d 的水平 两极板间, 有垂直于纸面向里的匀强磁场, 磁 感强度为 B ,两板不带电,现有质量为 m , 电量为 q 的带正电粒子(重力不计) ,从左侧 两极板的中心处以不同速率 v 水平射入, 欲使
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d ? 1.0 ? 10?2 m ,A 板中央有一电子源 P,在纸面内能向各个方向发射速 7 度在 0 ~ 3.2 ? 10 m / s 范围内的电子,Q为 P 点正上方 B 板上的一点,若 ?3 垂直纸面加一匀强磁场,磁感应强度 B ? 9.1? 10 T ,已知电子的质量 m ? 9.1?10?31 kg ,电子电量 e ? 1.6 ? 10?19 C ,不计电子的重力和电子间
相互作用力,且电子打到板上均被吸收,并转移到大地.求: (1)沿 PQ方向射出的电子击中 A、B 两板上的范围.
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B

Q

? ?
A

? ? ? ??
P
图 11

? ?

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(2)若从P点发出的粒子能恰好击中Q点,则电子的发射方向(用图中 ? 角表示)与电子 速度的大小 v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围。

能穿过磁场区域而打到荧光屏上。 ⑶若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上,试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹。 ⑷求电子打到荧光屏上的位置坐标 x 和金属板间电势差 U 的函数关系。

带电粒子在“单边磁场区域”中的运动
?2 【例 9】如图 14 所示,在真空中坐标 xoy 平面的 x ? 0 区域内,有磁感强度 B ? 1.0 ? 10 T 的匀

强磁场,方向与 xoy 平面垂直,在 x 轴上的 p(10,0) 点,有一放射源,
4

y / cm 在 xoy 平面内向各个方向发射速率 v ? 1.0 ? 10 m / s 的带正电的粒子, ? ? ?25 ?18 ? ? 粒子的质量为 m ? 1.6 ?10 kg ,电量为 q ? 1.6 ? 10 C ,求带电粒 ? o p 子能打到 y 轴上的范围. ? ? ? ?
图 14

? ? ? ? ? ? x / cm ? ?

带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题 【例 12】如图,在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场,磁感应强度 的大小为 B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m、带电荷量为+q 的 粒子,以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方向由小孔 O 射入磁场区域, 不计重力,不计粒子间的相互影响,图中阴影部分表示带电粒子可能经过 的区域,其中 R=
mv ,哪个图是正确的是( Bq



【例 10】如图所示,图中虚线 MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在 一磁感应强度为 B 的匀强磁场,方向垂直纸面向外。O 是 MN 上的一点,从 O 点可以向磁场区域 发射电量为+q、质量为 m、速率为 v 的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知 先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的 P 点相遇,P 到 O 的距离为 L,不计重力及粒子间的相 互作用。 (1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径; (2)求这两个粒子从 O 点射入磁场的时间间隔。 【例 13】如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里, 磁感应强度的大小 B = 0.60T,磁场内有一块平面感光板 ab,板面 与磁场方向平行,在距 ab 的距离 l ? 16cm 处,有一个点状的 ? 放 射源 S,它向各个方向发射 ? 粒子, ? 粒子的速度都是 带电粒子在“反向磁场区域”中的运动 【例 11】如图所示,M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板,S1、S2 为板上正对的小孔,N 板右侧有两个宽度均为 d 的匀强磁场区域,磁感应强度大小均为 B,方向分别垂直于纸面向外和 向里,磁场区域右侧有一个荧光屏,取屏上与 S1、 x S2 共线的 O 点为原点,向上为正方向建立 x 轴。 荧光屏 B B M 板左侧电子枪发射出的热电子经小孔 S1 进入两 M N 板间,电子的质量为 m,电荷量为 e,初速度可以 K S2 O 忽略。 ⑴当两板间电势差为 U0 时, 求从小孔 S2 射出的电 子的速度 v0。 ⑵求两金属板间电势差 U 在什么范围内,电子不 d d
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a

b

上被 ? 粒子打中的区域的长度。

v ? 3.0 ?106 m / s ,已知 ? 粒子的电荷与质量之比 q ? 5.0 ? 107 C / kg ,现只考虑在图纸平面中运动的 ? 粒子,求 ab m



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洛伦兹力的多解问题 (1)带电粒子电性不确定形式多解。 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电荷,也可能带负电荷,在相同的初速度下,正负粒 子在磁场中运动轨迹不同,导致形成双解。 (2)磁场方向不确定形成多解。 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度方向,此时必须要考虑磁感 应强度方向不确定而形成的双解。 (3)临界状态不唯一形成多解。 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是 圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过 180°从入射界面这边反 向飞出,于是形成多解。 (4)运动的重复性形成多解。 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时,往往运动具有往复性,因而形成多解。 【例 14】 初速为零的离子经过电势差为 U 的电场加速后,从离子枪 T 中水平射出,经过 一段路程后进入水平放置的两平行金属板 MN 和 PQ 之间。离子所经空间存在一磁感强度为 B 的匀 强磁场,如图所示。 (不考虑重力作用)离子荷质比 范围内,离子才能打在金属板上?
q (q、m 分别为离子的电量与质量)在什么 m

3、圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向 为垂直于纸面向里的匀强磁场, 与区域边缘的最短距离为 L 的 O' 处有一竖直放置的荧屏 MN,今有一质量为 m 的电子以速率 v 从 左侧沿OO'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点,如图 3 所示,求 O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

L A O

M O,

P 图3 4、长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图 4 所示,磁感强度为 B,板间距离也为 L,板不带电,现有质量为 m, 电量为 q 的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感 线以速度 V 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办 法是: A.使粒子的速度 V<BqL/4m; B.使粒子的速度 V>5BqL/4m; C.使粒子的速度 V>BqL/m; D.使粒子速度 BqL/4m<V<5BqL/4m。

N

O r1 l V

+q

V

l

图4 练习 1、一个负离子,质量为m,电量大小为q,以速率V垂直于屏S经过小 孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B的方向与离 子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P, 证 明 : 直 线 OP 与 离 子 入 射 方 向 之 间 的 夹 角 θ 跟 t 的 关 系 是 O V θ P S 图1 V B d 2、如图 2 所示,一束电子(电量为 e)以速度 V 垂直射入磁感强度为 B, 宽度为 d 的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的 夹 角 是 30 ° , 则 电 子 的 质 量 是 ,穿透磁场的时间 是 。
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B 5、核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则 不可能发生核反应) ,通常采用磁约束的方法(托卡马克装置) 。如图 5 所 示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度不是很 大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径 为 R1=0.5m,外半径 R2=1.0m,磁场的磁感强度 B=1.0T,若被束缚带电粒 子的荷质比为 q/m=4× 10 C/㎏,中空区域内带电粒子具有各个方向的速 度。试计算 (1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度。 (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
7

qB ? ? t。 2m
A

图5

300

V 6、如图 6 所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭 缝 a、b、c 和 d,外筒的外半径为 r,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场, 磁感强度的大小为 B。在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量 为m、带电量为+q 的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发,初速为零。如果该粒子经过
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O

B

图2

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一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S,则两电极之间的电压 U 应是多少?(不计重力,整个装置在真空中) d

a S o c b

为 q 的带负电微粒从 P 点沿半径方向向左侧射出,最终打到 Q 点,不计微粒的重力.求: (1)微粒在磁场中运动的周期. (2)从 P 点到 Q 点,微粒的运动速度大小及运动 时间. (3)若向里磁场是有界的,分布在以O点为圆心、 B M P O Q N B

7、如图 7 所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左 侧匀强电场的场强大小为 E、方向水平向右,电场宽度为 L;中间区 域匀强磁场的磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里。一个质量 为 m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由 静止开始运动, 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后, 又回到 O 点, 然后重复上述运动过程。求: (1) 中间磁场区域的宽度 d; (2) 带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t.

图6 L E O d B B

半径为 R 和 2R 的两半圆之间的区域,上述微 粒仍从 P 点沿半径方向向左侧射出, 且微粒仍 能到达 Q 点,求其速度的最大值.

参考答案 图7 【例 1】解析: (1)由粒子的飞行轨迹,利用左手定则可知,该粒子带负电荷。 如图所示,粒子由 A 点射入,由 C 点飞出,其速度方向改变了 90°,则粒子轨迹半径为 R=r 又 qvB=m
v2 R

8.如图所示,在倾角为 30°的斜面 OA 的左侧有一竖直档板,其上有一小孔 P,现有一质量 m=4× 10
-20

则粒子的比荷

kg, 带电量 q=+2×10

-14

C 的粒子, 从小孔以速度 v0=3 A P v0

q v ? m Br

(2)粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60°, 粒子做圆周运动的半径 R′=rcot30°= 3 r 又 R′=
mv qB?

×10 m/s 水平射向磁感应强度 B=0.2T、方向垂直纸面向 里的一正三角形区域.该粒子在运动过程中始终不碰及 竖直档板,且在飞出磁场区域后能垂直打在 OA 面上,粒 子重力不计.求: (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径; (2)粒子在磁场中运动的时间; (3)正三角形磁场区域的最小边长. O 30° 粒子在磁场中飞行时间 t= T ? ?
1 6 1 6 2?m 3 ?r ? qB? 3v

4

所以 B′=

3 B 3

说明:解答有关带电粒子在磁场中运动的问题时,关键是要作好粒子在磁场中运动的轨迹, 作出它的几何图示,从而通过圆周的有关知识去解决问题。其主要步骤有:①画出粒子的偏转圆 弧;②确定粒子圆周运动的圆心;③适当作辅助线,建立几何关系。 【例 2】解析:粒子在磁场中受洛伦兹力作用,做匀速圆周运动,设其半 径为 r,则 qvB=m 9.如图所示,直线 MN 下方无磁场,上方空间存在两个匀强磁场,其分界线是半径为 R 的半 圆,两侧的磁场方向相反且垂直于纸面,磁感应强度大小都为 B.现有一质量为 m、电荷量
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v2 r

据此并由题意可知,粒子在磁场中的轨迹的圆心 C 必在 y 轴上,且 P 点在磁场区之外,过 P 点沿速度方向作延长线,它与 x 轴相交于 Q 点,作 圆弧过 O 点与 x 轴相切, 并且与 PQ 相切, 切点 A 即粒子离开磁场区的地点。
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这样也求得圆弧轨迹的圆心 C,如图所示。 由图中几何关系得 L=3r
3 mv 求得 B= qL 3 L 3

【例 5】解析:如答图 2,设粒子以速率 v1 运动时,粒子正好打在左极板边缘(图4中轨迹1) , 则其圆轨迹半径为 R1 ?

v d Bqd ,又由 Bqv1 ? m 1 得 v1 ? ,则 4 4m R1

2

图中 OA 的长度即圆形磁场区的半径 R,由图中几何关系可得 R=

粒子入射速率小于 v1 时可不打在板上. 设粒子以速率 v2 运动时,粒子正好打在右极板边缘(图4中
2 2

o ? 2

说明:本题不仅考查了对带电粒子在匀强磁场中运动规律掌握的熟练程度,而且考查了空间 想象能力和用数学方法解决物理问题的能力。 A4 【例 3】解析:设粒子的入射速度为 v,已知粒子带正电,故他在磁 场中先顺时针做圆周运动,再逆时针做圆周运动,最后从 A4 射出, v Ⅰ 如图 2 所示。用 B1、B2、R1、R2、T1、T2 分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ 区 中 磁 感 应 强 度 、 轨 道 半 径 和 周 期 , qvB1 ? m
A1 30? 60? Ⅱ A2 A3

v R1

2

v2 qvB2 ? m R2

2? R1 2? m T1 ? ? v qB 1

2? R2 2? m T2 ? ? v qB 2

设圆形区域的半径为 r,已知带电粒子过圆心且垂直于 A2A4 进入Ⅱ区磁场。连接 A1A2,?AOA 1 2为 等边三角形,A 2 为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心,其轨迹的半径 R1 ? A 1A 2 ? OA 2 ?r

R2 d 2 轨迹2) ,由图可得 R2 ? L ? ( R2 ? ) ,则其圆轨迹半径为 2 v2 L 2 2 2 2 2 v 1 v 4L ? d Bq(4 L ? d ) o1?? 1? ? ? R2 ? ,又由 Bqv2 ? m 2 得 v 2 ? ,则 d ? 2 4d 4m d R2 ? ? ? ? 粒子入射速率大于 v2 时可不打在板上. 答图 2 Bqd 综上,要粒子不打在板上,其入射速率应满足:v ? 或 4m 2 2 Bq(4 L ? d ) v? . 4m d 【例 6】解析:如答图 3 所示,设粒子速率为 v1 时,其圆轨迹正好与AC边相切于E点.
由 图 知 , 在 ?AO1 E 中 , O1 E ? R1 , O1 A ? 3a ? R1 , 由
C
? ?v 1 R ? ? ? 1 ? ? o1 D ?

1 T1 6 1 带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在 OA4 的中点,即 R2 ? r 2 1 粒子在磁场Ⅱ中运动的时间为 t2 ? T2 2 5? m 5? m , B2 ? 带电粒子运动的总时间为 t ? t1 ? t2 有以上各式可得 B1 ? 6qt 3qt
0 t ? 圆心角 ?A 1A 2O ? 60 ,带电粒子在Ⅰ区中运动的时间为 1

cos 30 0 ?

O1 E O1 A



3 ? 2

R1 3a ? R1

, 解 得 R1 ? 3(2 ? 3)a , 则

【例 4】解析:设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为 R ,由 Bqv ? m

v2 得 R

O1 A 3a ? R1 A ? ? (2 3 ? 3)a . 2 2 答图 3 2 BqR1 3(2 ? 3 )aqB v1 又由 Bqv1 ? m 得 v1 ? , 则要粒子能从A ? m m R1 C间离开磁场,其速率应大于 v1 . C G 如答图 4 所示,设粒子速率为 v2 时,其圆轨迹正好与BC边相切 ? AE ?
于F点,与AC相交于G点.易知A点即为粒子轨迹的圆心,则
?

E

B

虽然 ? 粒子进入磁场的速度方向不确定,但粒子进场点是确定的,因 此 ? 粒子作圆周运动的圆心必落在以 O 为圆心, 半径 R ? 20 cm 的圆周上, 如答图 1 中虚线. 由几何关系可知,速度偏转角总等于其轨道圆心角.在半径 R 一定的 条件下,为使 ? 粒子速度偏转角最大,即轨道圆心角最大,应使其所对弦 最长.该弦是偏转轨道圆的弦,同时也是圆形磁场的弦.显然最长弦应为 匀强磁场区域圆的直径.即 ? 粒子应从磁场圆直径的 A 端射出. 如 图 2 , 作 出 磁 偏 转 角 ? 及 对 应 轨 道 圆 心 O? , 据 几 何 关 系 得

m v 6.64 ? 10?27 ? 3.2 ? 106 R? ? m ? 0.20m ? 20cm Bq 0.332? 3.2 ? 10?19

R2 ? AD ? AG ? 3a .
y

o?
? A

s o

v2 3aqB 得 v2 ? ,则要粒子能从AC间离开磁 m R2 场,其速率应小于等于 v2 .
又由 Bqv2 ? m

2

R2 ? ? ? A ? ? B o2 答图 4 D

?

F v2

x

综上,要粒子能从AC间离开磁场,粒子速率应满足

答图 1

sin

?
2

?

r 1 ? ,得 ? ? 600 ,即 ? 粒子穿过磁场空间的最大偏转角为 600 . R 2
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3(2 ? 3 )aqB 3aqB ?v? . m m 粒子从距A点 (2 3 ? 3)a ~ 3a 的 EG 间射出. 【例 7】解析: (1)设氦核质量为 m ,电量为 q ,以速率 v 在磁感强 度为 B 的匀强磁场中做半径为 r 的匀速圆周运动,由洛仑兹力公式和
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答图 5
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牛顿定律得 Bqv ? m

Bqr v ,则 v ? . m R

2

R?

(2)所求轨迹示意图如答图 5 所示(要与外圆相切) (3)当氦核以 vm 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时,则以 vm 速度沿 各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界,如答图 6 所示.

m v 1.6 ? 10 ? 1.0 ? 10 ? ? 0.1m ? 10cm . Bq 1.0 ? 10?2 ? 1.6 ? 10?18 如答图 9 所示,当带电粒子打到 y 轴上方的 A 点与 P 连线正好为其圆轨迹的直径时,A 点
4

?25

既 为 粒 子 能 打 到 y 轴 上 方 的 最 高 点 . 因 Op ? R ? 10cm , AP ? 2R ? 20cm , 则

R ? R1 v2 mv ? 0.3m ,又由 Bqv ? m 得 r ? 由图知 r ? ? 2 , 2 r Bq m vm 在速度为 vm 时不穿出磁场外界应满足的条件是 ? r? , Bq Bq r ? ? 0.4 ? 4.8 ? 10 7 ? 0.3 ? 5.76 ? 10 6 m / s . 则 vm ? m
【例 8】解析:如答图 7 所示,沿PQ方向射出的电子最大轨迹半径 由 Bev ? m 答图 6

OA ?

AP ? OP ? 10 3cm .
当带电粒子的圆轨迹正好与 y 轴下方相切于B点时,B点既为粒子能打到 y 轴下方的最低

2

2

点,易得 OB ? R ? 10cm . 综上,带电粒子能打到 y 轴上的范围为: ? 10cm ? y ? 10 3cm . 【例 10】解析 : (1)设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R,由牛顿第二定律得

qvB ? m

mv v2 ,则 R ? qB R

? d ?? ? ? ? 该电子运动轨迹圆心在A板上H处,恰能击中B板M处.随着电子 H 速度的减少,电子轨迹半径也逐渐减小.击中B板的电子与Q点最远处 A P F 相切于N点,此时电子的轨迹半径为 d ,并恰能落在A板上H处.所以电子 答图 7
能击中B板MN区域和A板PH区域. 在 ? MFH中,有 FH ?

m vm v 可得 rm ? , 代入数据解得 rm ? 2 ?10?2 m ? 2d . Be r

2

B

Q

M N

?

(2)如图所示,以 OP 为弦可以画两个半径相同的圆,分别表 示在 P 点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为 O1、O2,过 O 点的直 径分别为 OO1Q1、OO2Q2,在 O 点处两个圆的切线分别表示两个粒 子的射入方向,用 θ 表示它们之间的夹角。由几何关系可知,

?PO1Q1 ? ?PO2 Q2 ? ? ,从 O 点射入到相遇,粒子 1 的路程为半
个圆周加弧长 Q1P=Rθ ,粒子 2 的路程为半个圆周减弧长 PQ2=Rθ

B
2

Q

HM ? MF ? (2d ) 2 ? d 2 3d ,

2

QM ? PF ? (2 ? 3)d ? 2.68?10?3 m / s , QN ? d ? 1?10?2 m , PH ? 2d ? 2 ?10?2 m . ?3 ?2 电子能击中B板Q点右侧与Q点相距 2.68? 10 m ~ 1? 10 m 的范 ?2 围.电子能击中A板P点右侧与P点相距 0 ~ 2 ? 10 m 的范围.

? ? ? ? o ? ? v? ? ?r ?
A P
答图 8

(2)如答图 8 所示,要使P点发出的电子能击中Q点,则有 r ?

mv , Be

r sin ? ?

d . 2

解得 v sin ? ? 8 ? 10 .
6

v 取 最 大 速 度 3.2 ? 107 m / s 时 , 有 sin ? ?

1 ? ? min ? arcsin ; v 取 最 小 速 度 时 有 ? max ? , 4 2 vmin ? 8 ? 106 m / s . 6 所 以 电 子 速 度 与 ? 之 间 应 满 足 v sin ? ? 8 ? 10 , 且 1 ? ? ? [ a r c s i ,n ] , v ? [8 ?106 m / s,3.2 ?107 m / s] . 4 2
【 例

1 , 4

y / cm ?
A ? ? ? ?

1 R? T? ,其中 T 为圆周运动的周期。 2 v 1 R? 粒子 2 运动的时间为 t 2 ? T ? 2 v R? ? L 两粒子射入的时间间隔为 ?t ? t1 ? t 2 ? 2 因为 R cos ? v 2 2 L 所以 ? ? 2 arccos 2R 4m qbL arccos 有上述算式可解得 ?t ? qB 2m v
粒子 1 的运动时间为 t1 ? 点评:解带电粒子在磁场中运动的题,除了运用常规的解题思路(画草图、找“圆心” 、定“半 径” )之外,更应侧重于运用数学知识进行分析。本题在众 B B 多的物理量和数学量中,角度是最关键的量,它既是建立几 x 何量与物理量之间关系式的一个纽带,又是沟通几何图形与 物理模型的桥梁。 【例 11】解析: (1)根据动能定理,得 eU 0 ?

x / cm ? ? ? ? B ? ?? ? ? ? ? ? ?
答图 9

o

? ? ?? ? ? ? ?
p
?

1 2 mv0 ,解得 2

O

9 】 解 析 : 带 电 粒 子 在 磁 场 中 运 动 时 有 Bqv ? m
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v2 , 则 R

v0 ?

2eU 0 m
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( 2 )欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上,应有

d

d

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r?

mv 1 2 d eB ? d ,而 eU 0 ? mv0 ,可解得 U ? ; eB 2 2m

2

2

(3)电子穿过磁场区域而打到荧光屏上,运动轨迹如图所 示 ⑷若电子在磁场区域作圆周运动的半径为 r,穿过磁场区域达到荧光屏上的位置坐标为 x,则由

Q 三点所受的洛伦兹力、 分别延长之后相交于 Q1、 Q2 点, 如图所示, Q1 和 Q2 分别是 TP 和 TQ 的圆心, 设 R1 和 R2 分别为相应的半径。 离子经电压 U 加速,由动能定理得 qU=

mv 1 2 (3)中的轨迹图可得 x ? 2r ? 2 r 2 ? d 2 ,又 r ? , eU 0 ? mv0 ,所以电子打到荧光屏上 eB 2
? ? B 2d 2e 的位置坐标 x 和金属板间电势差 U 的函数关系为 x ? 2? 2m eU ? 2m U ? d 2 ? ( U ? ) ? eB ? 2m eB 2 ? ? 【例 12】点拔: (1)各粒子在磁场中做匀速圆周运动的旋转方向是顺时针还是逆时针?轨道半径 相同吗? (2)沿哪个方向射入的粒子能到达右侧最远处?左侧最远点的边界线是否是一个粒子的轨 迹? 解析:由于带电粒子从 O 点以相同速率射入纸面内的各个方向,射入磁场的带电粒子在磁场内做 匀速圆周运动,其运动半径是相等的。沿 ON 方向(临界方向)射入的粒子,恰能在磁场中做完整 的圆周运动,则过 O 点垂直 MN 右侧恰为一临界半圆;若将速度方向沿 ON 方向逆时针偏转,则在 过 O 点垂直 MN 左侧,其运动轨迹上各个点到 O 点的最远距离,恰好是以 O 为圆心,以 2R 为半径

1 2 mv 2



由洛伦兹力充当向心力得 qvB=
q 2U ? 2 2 m BR

mv 2 R




由①②式得

由图直角三角形 O1CP 和 O2CQ 可得 R1 =d +(R12 2

d 2 5 ) ,R1= d 2 4



R2 =(2d) +(R2-

2

2

d 2 17 ) ,R2= d 2 4



由③④⑤可解得

q 32U 32U ≤ ≤ 2 2 m 25B 2 d 2 [289B d ]



1 圆弧。即答案为 A 4

练习 1、解析:(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径 为r,则据牛顿第二定律可得:

说明:本题要改变确定单一圆弧形状的惯性思维,而是由不同圆弧轨迹叠加后,来判定带电 粒子的运动轨迹,解题关键是抓住临界状态的分析。 【例 13】解析 : ? 粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用 R 表示轨道半径,

B q V? m

V2 mV ,解得 r ? r Bq

如图2所示,离了回到屏S上的位置A与O点的距离为:AO=2r 所以 AO ?

O O/

V α θ P

B

v2 有 qvB ? m ① R v 由此得 R ? 代入数值得 R ? 10cm 可见, 2 R ? l ? R (q / m) B

2m V Bq
Vt Bq ? t r m

(2)当离子到位置P时,圆心角(见答练1): ? ? 因为 ? ? 2? ,所以 ? ?

S 答练 1

因朝不同方向发射的 ? 粒子的圆轨迹都过 S,由此可知,某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切,则 此切点 P1 就是 ? 粒子能打中的左侧最远点。为定出 P1 点的位置,可作平行于 ab 的直线 cd,cd 到 ab 的距离为 R,以 S 为圆心,R 为半径,作弧交 cd 于 Q 点,过 Q 作 ab 的垂线,它与 ab 的交点即 为 P1。由图中几何关系得

qB t. 2m

NP1 ? R 2 ? (l ? R) 2 ② 再考虑 N 点的右侧,任何 ? 粒子在运动中离 S 点的 距离不可能超过 2R,以 2R 为半径、S 为圆心作圆。 交 ab 于 N 的右侧的点,此即右侧能打到的最远点。
由图中几何关系得 NP2 ? 所求长度为 代入数值得

a

P1 R

N M 2R

P2

b

c

(2 R ) ? l ③
2 2

Q R S

d

P 1P 2 ? NP 1 ? NP 2④ P 1P 2 ? 20cm ⑤

【例 14】解析: 离子在磁场中做匀速圆周运动,作出两条边界轨迹 TPTQ , 分别作离子在 T、P、
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2、解析:电子在磁场中运动,只受洛仑兹力作用,故其轨迹是圆弧的一部分,又因为 f⊥V,故圆 心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上, 如答练 2 M 中的 O 点,由几何知识知,AB 间圆心角θ =30°,OB 为半径。 L ∴r=d/sin30°=2d,又由 r=mV/Be 得 m=2dBe/V O 又∵AB 圆心角是 30°,∴穿透时间 t=T/12,故 t=π d/3V。 A O, 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界 θ 条件的分析。如已知带电粒子的质量 m 和电量 e,若要带电粒子 B 能从磁场的右边界射出,粒子的速度 V 必须满足什么条件?这 N R 时必须满足 r=mV/Be>d,即 V>Bed/m. P θ/2 3、解析 :电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动, θ/2 圆心为 O″,半径为 R。圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角为θ ,电 子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动, 如图 4 所示,连 O// 结 OB,∵△OAO″≌△OBO″,又 OA⊥O″A, 故 OB⊥O″B, 答练 2
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由于原有 BP⊥O″B,可见 O、B、P 在同一直线上,且∠O'OP=∠AO″B=θ ,在直角三角形O

2 tan( ) 2 , tan( ? ) ? r ,所以求得 R 后就可以求出 O' ? 2 R 1 ? tan 2 ( ) 2 AB ?R ? P 了,电子经过磁场的时间可用 t= 来求得。 v v mv v2 由 Bev ? m 得R ? eB R OP ? ( L ? r ) t a n ?
O'P 中,O'P=(L+r)tanθ ,而 tan ? ?

?

由图中知 r2 ?

R2 ? R1 ? 0.25m 2 Bqr2 V22 ? 1.0 ? 107 m / s 由 BqV2 ? m 得 V2 ? m r2

O

2 tan( ) 2eBrm V 2 ? 2 2 ? m V ? e2 B2r 2 1 ? tan2 ( ) 2 2( L ? r )eBrmV O , P ? ( L ? r ) tan ? ? 2 2 , m V ? e2 B2r 2 2eBrmV ? ? arctan( 2 2 ) m V ? e2 B2r 2 ?R m 2eBrmV t? ? arctan( 2 2 ) V eB m V ? e2 B2r 2
r eBr tan( ) ? ? , tan? ? 2 R mV

?

?

所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度 V2 ? 1.0 ?107 m / s O2 6、解析:如答练 5 所示,带电粒子从 S 点出发,在两筒之间的电场作用 下加速,沿径向穿过狭缝 a 而进入磁场区,在洛伦兹力作用下做匀速圆周 答练 4 运动。粒子再回到 S 点的条件是能沿径向穿过狭缝 d.只要穿过了 d,粒子 就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经 d 重新进入磁场区,然后粒 子以同样方式经过 c、b,再回到 S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V,根据动能定理,有

qU ?

1 mV 2 2

设粒子做匀速圆周运动的半径为 R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律,有

BqV ? m

V2 R
3 圆周, 4
d a S o b

由前面分析可知,要回到 S 点,粒子从 a 到 d 必经过

所以半径 R 必定等于筒的外半径 r,即 R=r.由以上各式解得;

U?
qEL ?

4、解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动,很明显,圆周运动的半径 大于某值 r1 时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值 r2 时粒子可从极板的左边穿出,现在问 题归结为求粒子能在右边穿出时 r 的最小值 r1 以及粒子在左边穿出时 r 的最大值 r2,由几何知识 得: 粒子擦着板从右边穿出时,圆心在 O 点,有: r12=L2+(r1-L/2)2 得 r1=5L/4, 又由于 r1=mV1/Bq 得 V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在 O'点,有 r2=L/4,又由 r2=mV2/Bq=L/4 得 V2=BqL/4m ∴V2<BqL/4m 时粒子能从左边穿出。 综上可得正确答案是 A、B。 5、解析: (1)要粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,则粒 子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如答练 3 所示。 由图中知 r ? R ? ( R2 ? r1 ) ,解得 r1 ? 0.375m
2 1

B 2 qr 2 . 2m

7 、解析: ( 1 )带电粒子在电场中加速,由动能定理,可得:

1 mV 2 2

c 答练 5

V2 带电粒子在磁场中偏转, 由牛顿第二定律, 可得:BqV ? m R 1 2mEL 由以上两式,可得 R ? 。 B q

可见在两磁场区粒子运动半径相同,如答练 6 所示,三段圆弧的圆心组成的三角形 ΔO1O2O3 是等边三角形,其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为

由 BqV 1 ? m

Bqr V 1 ? 1.5 ? 107 m / s 得 V1 ? m r1

2 1 2 1

2

d ? R sin 600 ?
(2)在电场中

1 6mEL 2B q
O

O3 600 O2 O1 答练 6

r1

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度为

V1 ? 1.5 ?107 m / s 。

答练 3

(2)当粒子以 V2 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时,则以 V1 速度沿各 方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界,如答练 4 所示。

2V 2mV 2mL , t1 ? ? ?2 a qE qE T 2?m 在中间磁场中运动时间 t 2 ? ? 3 3qB 5 5?m 在右侧磁场中运动时间 t 3 ? T ? , 6 3qB
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则粒子第一次回到 O 点的所用时间为 8.解: (1)由 qvB ? m 得:

t ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 2

2mL 7?m 。 ? qE 3qB

当 n 为偶数时,由对称性可得 t ?

n ?nm T? 2 Bq

( n ? 2,4,6 ……)

v2 2?r ,T ? v r T?

当 n 为奇数时, t 为周期的整数倍加上第一段的运动时间,即

r?

mv ? 0.3m qB

2?m ? 2? ? 10?5 s ? 6.28 ? 10?5 s qB
a e b P v0 f o1
60°

t?

? ?? n n ?1 (n 2 ? 1)?m T? T? 2 2? nBq
?
2n
得到

( n ? 3,5,7 ……)

(2) 画出粒子的运动轨迹如图, 可知 t ?

5?m 5? 得: t ? ? ? 10?5 s ? 5.23? 10?5 s 3qB 3 2r ? r cos 30? (3)由数学知识可得: L ? 得: cos 30? mv 4 4 3 ?3 L? ( ? 1) ? ? 0.99m qB 3 10 v2 9.解: (1)洛仑兹力提供向心力 Bv0 q ? m 0 r

5 T, 6

(3)由几何知识得 r ? R tan A

x?

? cos

R

不超出边界须有:

2n

g

c

cos?

R

? R tan?

2n 当 n ? 2 时 不成立,如图

2n

? 2R

2c o ? s

2n

? ?1? s i n

2n

30°

O M 比较当 n ? 3 、 n ? 4 时的运动半径,
2 v0 r

O1

B

O2
1


B P O


Q B N

2?m 2?r T? T? Bq v0
(2)粒子的运动轨迹将磁场边界分成 n 等分( n =2,3,4……) 由几何知识可得: ? ?

? r tan ? ? 2n R

Bv0 q ? m

O2
1

B O3 Q
1

B O1 N M

BqR ? tan 得 v0 ? m 2n
O1 O2
1

O2
1

O3
21

( n ? 2,3,4 ……) B M

O1 P O O2
1


B


O



O4 N

P B

B Q321

B O1 N M P




M B P O


Q B

知 当 n ? 3 时,运动半径最大,粒子的速度最大. r ? R tan O Q9 A N 得: v0 ?

3 Bmv0 ? R? 2n 3 Bq

?

O2 O1 M
1

O3
21

B

3BqR 3m


B


O



O4 N
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P B

B Q321 B

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