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2014届高三二轮专题突破-立体几何


立体几何
(推荐时间:70 分钟) 1. 如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG.且 AC=1,AB=ED=EF=2, AD=DG=4. (1)求证:BE⊥平面 DEFG; (2)求证:BF∥平面 ACGD; (3)求二面角 F-BC-A 的余弦值. (1)证明 ∵平面 ABC∥平面 D

EFG, 平面 ABC∩平面 ADEB=AB, 平面 DEFG∩平面 ADEB=DE,∴AB∥DE. 又∵AB=DE,∴四边形 ADEB 为平行四边形, ∴BE∥AD. ∵AD⊥平面 DEFG,∴BE⊥平面 DEFG. (2)证明 设 DG 的中点为 M,连接 AM,MF, 1 则 DM= DG=2, 2 ∵EF=2,EF∥DG, ∴四边形 DEFM 是平行四边形, ∴MF=DE 且 MF∥DE, 由(1)知,ADEB 为平行四边形, ∴AB=DE 且 AB∥DE, ∴AB=MF 且 AB∥MF, ∴四边形 ABFM 是平行四边形, 即 BF∥AM,又 BF?平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD. (3)解 由已知,AD,DE,DG 两两垂直,建立如图的空间坐标系,则

A(0,0,4),B(2,0,4),C(0,1,4),F(2,2,0), → → ∴BF=(0,2,-4),BC=(-2,1,0), 设平面 FBC 的法向量为 n=(x,y,z), → ? BF=2y-4z=0 ?n· 则? , → ? BC=-2x+y=0 ?n·

令 z=1,则 n=(1,2,1), → 而平面 ABC 的法向量 m=DA=(0,0,4), ∴cos〈m,n〉= = m· n |m|· |n|

4 6 = . 6 1+4+1×4

由图形可知, 二面角 F-BC-A 的余弦值为- 6 . 6

2. 如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC= 2,CD⊥AB,D 为垂足.沿 CD 将△ABC 对折,连接 A、B,使得 AB= 3.

(1)对折后,在线段 AB 上是否存在点 E,使 CE⊥AD?若存在,求出 AE 的长;若不存 在,说明理由; (2)对折后,求二面角 B-AC-D 的正切值. 解 (1)在线段 AB 上存在点 E,使 CE⊥AD.

由等腰直角△ABC 可知,对折后,CD⊥AD,CD⊥BD,AD=BD= 1. AD2+BD2-AB2 在△ABD 中,cos∠ADB= 2· AD· BD = 12+12-3 1 =- , 2 2×1×1

∴∠ADB=120° ,∠BAD=∠ABD=30° . 过 D 作 AB 的垂线,与 AB 交于点 E,点 E 就是满足条件的唯一点.证明如下: 连接 CE. ∵AD⊥DE,AD⊥CD,DE∩CD=D, ∴AD⊥平面 CDE,∴AD⊥CE, 即在线段 AB 上存在点 E,使 CE⊥AD. 在 Rt△ADE 中, ∠DAE=30° ,AD=1, 得 AE= AD 1 2 3 = = . 3 cos∠DAE 3 2

(2)对折后,作 DF⊥AC 于 F,连接 EF, ∵CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,

∴CD⊥平面 ADB, ∴平面 ACD⊥平面 ADB. ∵DE⊥AD,且平面 ACD∩平面 ADB=AD, ∴DE⊥平面 ACD.∴DE⊥DF. 而 DF⊥AC,所以 AC⊥平面 DEF, 即∠DFE 为二面角 B-AC-D 的平面角. 在 Rt△ADE 中,∠DAE=30° ,AD=1, 得 DE=ADtan∠DAE=1× 3 3 = , 3 3

在 Rt△ADF 中,∠DAF=45° ,AD=1,得 FD=ADsin∠DAF=1× 2 2 = . 2 2

3 DE 3 6 在 Rt△EDF 中,∠EDF=90° ,tan∠DFE= = = , DF 3 2 2 即二面角 B-AC-D 的正切值为 (第(2)问也可用向量法) 3. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1-AC-B 是直二面角,AA1=A1C =AC=2,AB=BC,且∠ABC=90° ,O 为 AC 的中点. (1)若 E 是 BC1 的中点,求证:OE∥平面 A1AB; (2)求二面角 A-A1B-C1 的余弦值. (1)证明 如图 1 所示,取 BC 的中点 F,连接 OF,EF, 则 OF∥AB,EF∥BB1. 又 OF∩EF=F,AB∩BB1=B, ∴平面 OEF∥平面 A1AB, 又 OE?平面 OEF,∴OE∥平面 A1AB. 6 . 3

图1 (2)解 如图 2 所示,连接 A1O,BO,

图2

∵A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点,

∴A1O⊥AC. 由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, ∴A1O⊥平面 ABC. ∵AB=BC,∴BO⊥OC. ∴OB、OC、OA1 两两垂直. 以 O 为原点,OB、OC、OA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,A1A=A1C=AC=2, 1 又 AB=BC,AB⊥BC,∴OB= AC=1, 2 ∴各相关点的坐标为:O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0, 3),C(0,1,0),C1(0,2, 3), B(1,0,0). → → → ∴AA1=(0,1, 3),AB=(1,1,0),A1B=(1,0,- 3), → A1C1=(0,2,0). 设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? AA1=0, ?n· ?y+ 3z=0, 则? ?? → ?x+y=0, ? AB=0 ?n· 令 y=1,得 x=-1,z=- ∴n=?-1,1,- 3 , 3

?

3? . 3?

设平面 A1BC1 的一个法向量为 m=(a,b,c), → ?m· A1B=0, ? ?a- 3c=0, 则? ∴? → ?2b=0, ?m· A1C1=0, ? 令 c= 3,则 a=3,得 m=(3,0, 3). ∵cos〈m,n〉= -3-1 m· n 2 7 = =- , |m||n| 7 7 12× 3

结合图形可知,二面角 A-A1B-C1 的平面角是钝角, 2 7 ∴二面角 A-A1B-C1 的余弦值为- . 7 4.已知直角梯形 ABCD 与等腰直角△APB 所在平面互相垂直, AD∥BC, ∠APB=∠ABC=90° ,AB=BC=2AD=2,E 为 PB 的中点. (1)求证:直线 AE∥平面 PCD; (2)求平面 PCD 与平面 PAB 所成角的正弦值.

(1)证明 如图 1 取 PC 的中点 F,连接 EF、DF. 在△PBC 中,PE=EB,PF=FC, 1 所以 EF 綊 BC, 2 1 又 AD 綊 BC, 2 所以 EF 綊 AD,故四边形 AEFD 为平行四边形, 所以 AE∥DF, 又因为 AE?面 PCD,DF?面 PCD, 所以 AE∥平面 PCD.

图1 (2)解

图2

如图 2,取 AB 的中点 O,CD 的中点 Q,连接 OP,OQ.

在△APB 中,AP=PB,OA=OB,∠APB=90° , 1 所以 PO⊥AB,且 PO= AB=1. 2 在直角梯形 ABCD 中,AO=OB,DQ=QC, 所以 OQ∥BC, 又因为 BC⊥AB,所以 OQ⊥AB, 又因为面 APB⊥面 ABCD,面 APB∩面 ABCD=AB, 所以 OQ⊥面 PAB. 以 O 为坐标原点,分别以 OP、OB、OQ 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(1,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(0,-1,1). → → 故PD=(-1,-1,1),PC=(-1,1,2). 设面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z), → → ? ? PD=-x-y+z=0 ?n⊥PD ?n· 则由? ,得? , → → ? ? PC=-x+y+2z=0 ?n⊥PC ?n· 令 y=1,则 z=-2,x=-3. 故 n=(-3,1,-2)为面 PCD 的一个法向量.

因为 OQ⊥面 PAB,所以可取 m=(0,0,1)为面 PAB 的一个法向量. 故 cos〈m,n〉= -2 m· n 14 = =- . 2 2 2 |m||n| 7 ?-3? +1 +?-2? 14 , 7

设所求二面角为 θ,所以|cos θ|=|cos〈m,n〉|= 所以 sin θ= 1-cos2θ= 1-? 35 14?2 = . 7 ? 7 ?

5. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为正三角形,AA1⊥ 平面 ABC,AA1=2AB,N 是 CC1 的中点,M 是线段 AB1 上的动点. (1)当 M 在什么位置时,MN⊥AA1,请给出证明; (2)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 θ,求 sin θ 的最大值. (1)证明 当 M 是线段 AB1 的中点时,MN⊥AA1. 下面给出证明: 如图,以 AB,AA1 所在直线为 x 轴,z 轴,在平面 ABC 内过 A 且 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系. 1 ? N?1, 3,1?. 设 AA1=2AB=2, 则 A(0,0,0), A1(0,0,2), M? ?2,0,1?, ?2 2 ? 3 → → ? 所以MN· AA1= 0, ,0?· (0,0,2)=0. 2 ? ? 即 MN⊥AA1. (2)解 → → 设AM=λAB1,即 M(λ,0,2λ),其中 0≤λ≤1,

1 3 → → MN=? -λ, ,1-2λ?,AB=(1,0,0), 2 ?2 ? 1 3 → AN=? , ,1?. ?2 2 ? 设 n=(x,y,z)是平面 ABN 的一个法向量, x=0, → ? ? AB=0, ? ?n· 则? 即?1 3 → ? ? AN=0, ?n· ?2x+ 2 y+z=0, 取 n=(0,2,- 3). → |n· MN| 所以 sin θ= → |n|· |MN| = = 2 21 λ2 · 7 5λ2-5λ+2 2 21 · 7 1 2 21 ≤ × 1 5 7 15 - ? 2+ 2? ? λ 4? 8 8 15



4 70 . 35

4 70 即 sin θ 的最大值为 . 35 6. 如图,正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-CD-B.

(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E-DF-C 的余弦值; BP (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?如果存在,求出 的值;如果不存在, BC 请说明理由. 解 (1)在△ABC 的中点,由 E,F 分别是 AC,BC 的中点,

得 EF∥AB, 又∵AB?平面 DEF,EF?平面 DEF, ∴AB∥平面 DEF. (2)以点 D 为坐标原点,直线 DB,DC,DA 分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 3,0),E(0, 3,1),F(1, 3,0). → 易知平面 CDF 的一个法向量为DA=(0,0,2), 设平面 EDF 的法向量为 n=(x,y,z), → ? n=0, ?DF· ?x+ 3y=0, 则? 即? → ? 3y+z=0, ? n=0, ?DE· 可取 x=3,则 n=(3,- 3,3), → DA· n 21 → cos〈DA,n〉= = , 7 → |DA||n| 所以二面角 E-DF-C 的余弦值为 → (3)设 P(x,y,0),AP=(x,y,-2), 2 3 → → 则AP· DE= 3y-2=0,∴y= . 3 21 . 7

→ → 又BP=(x-2,y,0),PC=(-x,2 3-y,0), → → ∵BP∥PC, ∴(x-2)(2 3-y)=-xy, ∴ 3x+y=2 3. 2 3 4 把 y= 代入上式,得 x= , 3 3 → 1→ ∴BP= BC, 3 BP 1 ∴在线段 BC 上存在点 P 使 AP⊥DE,此时 = . BC 3


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