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数学知识点总结


1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)①点 P(



)时,△ PDE 的周长最大;②当顶点 M 恰好落在抛物线

对称轴上时,点 P 坐标为( 坐标为(﹣ 【解析】 ﹣1,2).



),当顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时,点 P 的

试题分析:(1)把

点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可; (2)①根据点 A、B 的坐标求出 OA=OB,从而得到△ AOB 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的 性质可得∠BAO=45° , 然后求出△ PED 是等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形的性质, PD 越大, △ PDE 的周长最大,再判断出当与直线 AB 平行的直线与抛物线只有一个交点时,PD 最大,再求出直线 AB 的解 析式为 y=x+3,设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m,与抛物线解析式联立消掉 y,得到关于 x 的一元 二次方程,利用根的判别式△ =0 列式求出 m 的值,再求出 x、y 的值,从而得到点 P 的坐标; ②先确定 出抛物线的对称轴,然后(i)分点 M 在对称轴上时,过点 P 作 PQ⊥对称轴于 Q,根据同角的余角相等求 出∠APF=∠QPM, 再利用“角角边”证明△ APF 和△ MPQ 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 PF=PQ, 设点 P 的横坐标为 n,表示出 PQ 的长,即 PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解;(ii)点 N 在对称 轴上时,同理求出△ APF 和△ ANQ 全等,根据全等三角形对应边相等可得 PF=AQ,根据点 A 的坐标求出 点 P 的纵坐标,再代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点 P 的坐标. 试题解析:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),



,得



所以,抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3;(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),∴OA=OB=3, ∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45° , ∵PF⊥x 轴,

∴∠AEF=90° ﹣45° =45° , 又∵PD⊥AB, ∴△PDE 是等腰直角三角形, ∴PD 越大,△ PDE 的周长越大, 易得直线 AB 的解析式为 y=x+3,设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m,

联立

,消掉 y 得,x2+3x+m﹣3=0,

当△ =32﹣4×1×(m﹣3)=0,即 m=

时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长,

此时 x=

,y=

+

=

,∴点 P(



)时,△ PDE 的周长最大;

②抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴为直线 x=



(i)如图 1,点 M 在对称轴上时,过点 P 作 PQ⊥对称轴于 Q,

在正方形 APMN 中,AP=PM,∠APM=90° , ∴∠APF+∠FPM=90° ,∠QPM+∠FPM=90° , ∴∠APF=∠QPM, ∵在△ APF 和△ MPQ 中,

, ∴△APF≌△MPQ(AAS), ∴PF=PQ, 设点 P 的横坐标为 n(n<0),则 PQ=﹣1﹣n, 即 PF=﹣1﹣n, ∴点 P 的坐标为(n,﹣1﹣n), ∵点 P 在抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 上,

∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n, 整理得,n2+n﹣4=0,

解得 n1=

(舍去),n2=



﹣1﹣n=﹣1﹣

=



所以,点 P 的坐标为(



);

(ii)如图 2,点 N 在对称轴上时,设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q,

∵∠PAF+∠FPA=90° ,∠PAF+∠QAN=90° , ∴∠FPA=∠QAN, 又∵∠PFA=∠AQN=90° ,PA=AN, ∴△APF≌△NAQ, ∴PF=AQ, 设点 P 坐标为 P(x,﹣x2﹣2x+3), 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2, 解得 x= ﹣1(不合题意,舍去)或 x=﹣ ﹣1,2). ﹣1,

此时点 P 坐标为(﹣

综上所述,当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时,点 P 坐标为( 恰好落在抛物线对称轴上时,点 P 的坐标为(﹣ ﹣1,2).



),当顶点 N


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