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2016高考数学(新课标理)二轮复习专题1


第一讲 送分题——准确解,一分不丢

高考试卷虽然是选拔性的试卷,但是试卷中仍然 有相当部分的送分题.所谓送分题是指知识点基础, 数据计算量小,解题方法基本的试题.这部分试题往 往因为简单,导致许多考生思想重视不够,从而失分, 特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此.笔者以多 年送考的经验告诉大家,只要处理好以下几个方面的 问题,即可达到“送分题,一分不丢

”的效果,使考 生能在高考考场上取得开门红,增强考试的信心.

问题一
[例 1 ]

使用概念要明确
(2014· 宜昌模拟)已知复数 z =(a2-1)+(a-1)i ) C.-1 D.± 1

(a∈R)是纯虚数,则 a=( A.0 [尝试解答] B .1

[易错分析]

本题易混淆复数的有关概念,忽视虚部不

为零的限制条件.
[解答] [答案]
?a2-1=0, ? 由题意得? ? ?a-1≠0,

解得 a=-1.

C

利用复数的有关概念解题时,一定要过好审题关,仔细 辨析试题中的待求问题; 在准确用好概念的前提下对试题进 行解答,这样才能避免应用概念出错.如本题,若能搞清复 数 z 为纯虚数的概念,只需令复数 z 的实部为零,虚部不为 零,从而把求参数问题转化为求方程组解的问题,即可避开 概念的陷阱.

[例 2] (2014· 威海模拟)已知:p:|x-3|≤2,q:(x-m +1)(x-m-1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围为________. [尝试解答]

[易错分析]

本题的易错点是对充要条件的概念把握不清,

判断错误,并且不会将充要条件进行转化.
[解答] ∵p: -2≤x -3≤2,1≤x ≤5.∴ p: x <1 或 x >5. 易得 q:m -1≤x ≤m +1,∴ q:x <m -1 或 x >m +1. 又∵ p 是 q 的充分不必要条件,
? ?m -1≥1, ∴? ?m +1≤5, ?

∴2≤m ≤4.

[答案] 2≤m ≤4

对充要条件的判定需注意: (1)要善于举出反例: 如果从正面判断或证明一个命题的 正确与否不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. (2)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么 p 是 q 的必要不充分条件.同理,如果 p 是 q 的必要不充 分条件,那么 p 是 q 的充分不必要条件;如果 p 是 q 的充 要条件,那么 p 是 q 的充要条件.

问题二
[例 3 ]

思考问题要严谨
已知数列{ an} 中 an=n2-kn(n∈N*),且{ an} 单调 )

递增,则 k 的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-∞,2) [尝试解答]

B.(-∞,3) D.(-∞,3]

[易错分析]

认为 an 是关于 n 的二次函数,定义域为整

k 数集,又{ an} 递增,则必有2≤1,即 k≤2,思维不严谨导致 解题错误.

[解答]

an+1-an=(n+1)2-k (n+1)-n2+kn=2n+1-

k ,由于{an}单调递增,故应有 an+1-an>0,即 2n+1-k >0 恒成立,分离变量得 k <2n+1,故只需 k <3 即可. [答案] B

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数 列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调, 其所在函数不一定单调,关键原因在于数列是一个定义域为 正整数 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数.故 对于数列的单调性的判断一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来 判断:若 an+1>an,则数列为递增数列;若 an+1<an,则数列 为递减数列.

[例 4]

?ax,x>1, ? ? ? ? (2014· 台州模拟)f(x)=? a ??4- ?x+2,x≤1 ?? 2? ? ??



R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(4,8) [尝试解答] B.[4,8) D.(1,8)

)

[易错分析]

认为函数 f(x)在 R 上单调递增,只需在定

义域的两段上均为增函数即可, 而忽视函数在两段区间的分 界点处函数值的大小,因思维不严谨致错.

[解答]

f(x)在 R 上单调递增,则有

? ?a>1, ? ? a ?4- >0, ? 2 ? ? ?? a ? ? 4- ?+2≤a, ? ? 2? ?? ?

解得:4≤a<8. [答案] B

对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一保 证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值间的大小关 系;二是画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进 行直观的判断.研究函数问题离不开函数图象,函数图象反 映了函数的所有性质,在研究函数问题时要时时刻刻想到函 数的图象,学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的 方法.

问题三 特殊情况要谨记
[例 5] (2014· 西安模拟)已知数列{2n 1· an} 的前 n 项和


Sn=9-6n,则数列{ an} 的通项公式是________. [尝试解答]

[易错分析]

由数列前 n 项和求通项公式的问题,易忽

视讨论 n=1 这种特殊情形而致错.

[解答] 当 n=1 时,20· a1=S 1=3,∴a1=3. - 当 n≥2 时,2n 1· an=S n-S n-1=-6. 3 ∴an=- n-2. 2 ∴数列{an}的通项公式为
? ?3,n=1, ? 3 an=? ?- - ,n≥2. ? 2n 2 ?

[答案]

? ?3,n=1, ? 3 an=? ?- - ,n≥2 ? 2n 2 ?

已知 S n 求 an 的三个步骤: (1)先利用 a1=S 1,求出 a1. (2)用 n-1 替换 S n 中的 n 得到一个新的关系,利用 an =S n-S n-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式. (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果 不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.

[例 6]

(2014· 太原模拟)过点(0,3)作直线 l 与抛物线 y 2 )

=4x 只有一个公共点,则直线 l 的条数为( A .0 B.1 C.2 D .3

[尝试解答]

[易错分析] 本题易只考虑斜率 k 存在的情况,而忽视 斜率 k 不存在以及直线 l 平行于抛物线对称轴时的两种情形.

当斜率 k 存在且 k≠0 时,由题中条件知,直线 1 l 的方程为 y=3x+3; 当 k=0 时, 直线 l 的方程为 y=3, 此时 l 平行于对称轴, ?9 ? ? 且与抛物线只有一个交点?4,3? ?; ? ? 当 k 不存在时,直线 l 与抛物线也只有一个公共点,此 时 l 的方程为 x=0. 综上, 过点(0,3)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直 1 线 l 的方程为 y=3x+3,y=3,x=0,共 3 条. [答案] D

[解答]

解答直线与抛物线位置关系的相关问题时, 注意直线与 抛物线的两种特殊的位置关系:直线和抛物线的对称轴垂直 与直线和抛物线的对称轴平行.

问题四
[例 7 ]

问题分类要全面
已知等比数列{ an} 中,a2=1,则其前 3 项和 S3 ) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

的取值范围是(

A.(-∞,-1] C.[3,+∞) [尝试解答]

[易错分析]

本题易忽视对公比大于 0 和小于 0 的讨论.

因为等比数列{an}中 a2=1, ? 1? 1 ? ? 所以 S3=a1+a2+a3=a2?1+q+q?=1+q+q. ? ? 所以当公比 q>0 时, 1 1 S3=1+q+q≥1+2 q· 等号成 q=3(当且仅当 q=1 时, 立); 当公比 q<0 时, ? ? 1? 1? ? ? ? ? - S3=1-?-q-q?≤1-2 ?-q?· ? ? =- 1( 当且仅当 q q ? ? ? ? =-1 时,等号成立). 所以 S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). [答案] D

[解答]

在利用基本不等式解决函数的值域问题时,要注意其使 用条件和等号成立的条件,即所谓 “ 一正、二定、三相 1 a b 等”.例如,求函数 y =x +x 的值域和b+a的取值范围问题 时,要注意分类讨论.

[例 8 ]

2 设函数 f(x)=x-x-aln x(a∈R).

(1)当 a=3 时,求 f(x)的极值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [尝试解答]

[易错分析]

本题的易错点是在讨论函数 y =f(x)的单

调性时,因缺乏分类讨论意识,导致解题错误;或者有分类 讨论意识,但分类标准模糊导致分类不全致误.
[解答] (1)函数 f (x )的定义域为(0,+∞). x 2-3x +2 2 3 当 a = 3 时 , f ′ (x ) = 1 + x 2 - x = = x2 ?x -1??x -2? ,令 f ′(x )=0,解得 x 1=1,x 2=2. x2 f ′(x )与 f (x )随 x 的变化如下表:

x f ′(x ) f (x )

(0,1) + 递增

1 0

(1,2) -

2 0 极小值

(2,+∞) + 递增

极大值 递减

所以 f (x )在 x =1 处取得极大值 f (1)=-1; 在 x =2 处取得极小值,f (2)=1-3ln 2.
2 2 a x -ax +2 (2)f ′(x )=1+x 2-x = . x2

令 g(x )=x 2-ax +2,其判别式 Δ =a2-8,

①当|a|≤2 2时,Δ ≤0,f ′(x )≥0,故 f (x )在(0,+∞) 上单调递增; ②当 a<-2 2时,Δ >0,g(x )=0 的两根都小于 0,所 以在(0,+∞)上,f ′(x )>0,故 f (x )在(0,+∞)上单调递增; a- a2-8 ③当 a>2 2时, Δ >0, g(x )=0 的两根为 x 1= , 2 a+ a2-8 x 2= ,且都大于 0, 2 f ′(x )与 f (x )随 x 的变化如下表:

x f ′(x ) f (x )

(0,x 1) + 递增

x1 0 极大值

(x 1, x 2) - 递减

x2 0 极小值

(x 2,+∞) + 递增



? ? a- ? f (x )在?0, ?

2 ? ? ? ?a+ ? a2-8? a - 8 ?,? ?上单 ,+ ∞ ? ? ? 2 2 ? ? ?

? ?a- 调递增,在? ? ?

? a2-8 a+ a2-8? ?上单调递减. , ? 2 2 ?

综上,当 a≤2 2时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当

a>2

? a- 2时,f(x)在? ?0, ?

2 ? ? a2-8? a + a - 8 ? ? ? ,+ ∞ ?,? ?上单调 2 2 ? ? ?

? a- 递增,在? ? ?

a2-8 a+ a2-8? ? , ?上单调递减. 2 2 ?

判断含参数的单调性问题应注意: 先树立分类讨论的思 想意识,做题时应先对问题作深入的研究,明确其分类的标 准,如本题中要讨论函数 f (x )的单调性,应讨论 f ′(x )的符 号,即讨论 x 2-ax +2 的符号,从而应分 Δ ≤0 与 Δ >0 两种 情况讨论;由于考虑到函数的定义域为 (0,+∞),应讨论 f ′(x ) = 0 的两根与定义域的关系,故再次分 a< - 2 2 和 a>2 2两种情况.一般地,与 y =ax 2+bx +c 有关的讨论有 三种依据:a 取值,Δ 取值,根的大小.

问题五
[例 9]

作图用图要准确
(2014· 滨州模拟)函数
? ?4x-4,x≤1, f(x)=? ?x2-4x+3,x>1 ?

的图像和函数 g(x)=log2 x 的图像的交点个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 [尝试解答]

)

[易错分析]

不能准确作出两函数在相应区间的图像以

及两函数图像的相对位置关系,只是想当然、没有依据地乱 作图像,很容易导致错误.

[解答]

分别在同一坐标系内作出两函数的图像.如图

所示,观察易知两函数图像有且仅有 3 个交点.

[答案] B

在判断函数图象交点的个数或利用函数图象判断方程 解的个数时,一定要注意函数图象的相对位置关系,可以取 1 特殊值验证一下,如取 x =2时,4x -4<log2x ,即此时对函 数图象上的点应在相应直线的上侧,因此我们可以通过取特 殊值的方法相对准确地确定两函数图象的相对位置关系.

[例 10]

已知函数 f(x)=ax2+bx-1(a,b∈R 且 a>0)有

b 两个零点,其中一个零点在区间(1,2)内,则 的取值范围 a+1 为( ) A.(-∞,1) C.(-2,1] [尝试解答] B.(-∞,1] D.(-2,1)

[易错分析]

不能根据函数解析式的特点以及零点所在

区间确定 a,b 所满足的条件,导致找不到解决问题的突破 口,或者忽视 a>0 的限制条件,导致错解.

[解答] 因为 a>0,所以二次函数 f(x)的图像开口向上, 又因为 f(0)=-1,所以要使函数 f(x)的一个零点在区间(1,2)
?a>0, ? ? f?1?<0, 内,则有? ? ?f?2?>0, ? ?a>0, ? ? a+b-1<0, 即? ? ?4a+2b-1>0. ?

如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区 b 域,式子 表示平面区域内的点 P(a,b)与点 Q(-1,0)连 a+1 1-0 线的斜率.而直线 QA 的斜率 k= =1,直线 4a+2b 0-?-1? -1=0 的斜率为-2,显然不等式组所表示的平面区域不包 括边界,所以 P,Q 连线的斜率的取值范围为(-2,1). [答案] D

本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问 题,先结合函数图象确定函数在指定区间存在零点的条件, 再确定不等式组所表示的平面区域,将目标函数转化为平面 区域内的点与定点连线的斜率,根据图形判断其取值范 围.在作图时要注意不等式组中各个不等式是否带有等号, 否则很容易忽视边界值而导致错解.

问题六
[例 11]

等价转化要严谨
曲线 y = 1-x2与直线 y =x+b 没有公共点,

则实数 b 的取值范围为________. [尝试解答]

[易错分析]

本题易直接联立 y =

1-x 2与 y =x +b,

整理为 2x 2 + 2bx + b2 - 1 = 0 ,然后错误地认为曲线 y = 1-x 2与直线 y =x +b 没有公共点等价于方程 2x 2+2bx + b2-1=0 无解,从而导致解题错误.

[正解]

如图,根据图像可知:当 b> 2或 b<-1 时, 无解,即曲线 y= 1-x2与直线 y=x

2 ? ?y= 1-x , 方程组? ?y=x+b ?

+b 没有交点.故 b 的取值范围为(-∞,-1)∪( 2,+∞).

[答案]

(-∞,-1)∪( 2,+∞)

在研究直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点的个数时, 通常联立直线与曲线的方程,通过方程组解的个数来判 断.但是在解决此类问题时,一定要注意圆或圆锥曲线是否 为完整的圆或圆锥曲线,否则应画出图形,利用数形结合法 解决, 如本例中曲线 y = 1-x 2表示的图形为半圆而不是整

个圆,故应采用数形结合的方法求解.

[例 12] ________.

1 若 sin x+sin y =3, 则 sin y -cos2x 的最大值为

[尝试解答]
?1 转化为? ?3-sin ? ? x? ?- ?

[易错分析]
2 2

本题易将 sin y-cos x

2

2 cos x=sin x-sin x-3,误认为 sin x∈[-1,1],致使问题转 化不等价而导致解题错误.

1 [ 解答 ] 由已知条件有 sin y = 3 - sin x ,且 sin y = ?1 ? 2 ? ? - sin x ?3 ?∈[-1,1],结合 sin x∈[-1,1],得- ≤sin x≤1, 3 ? ? 1 2 2 2 2 而 sin y-cos x=3-sin x-cos x=sin x-sin x-3, ? ? 2 ? 令 t=sin x?-3≤t≤1? ?, ? ? ? 1? 2 2 ? 11? ? ?2 ? 2 则原式=t -t-3=?t-2? -12?-3≤t≤1? ?, ? ? ? ? 1 2 2 因为对称轴为 t=2,故当 t=-3,即 sin x=-3时,原 4 式取得最大值9. 4 [答案] 9

在利用换元法解决问题时, 要注意换元后自变量取值范 围的变化,当题目条件中出现多个变元时,要注意变元之间 1 的相互约束条件,如本例中易忽视等式 sin x +sin y =3中两 个变量的相互制约,即由于-1≤sin y ≤1,所以 sin x 必须 1 满足-1≤3-sin x ≤1 这个隐含的约束条件.

问题七:推理论证要严谨
[例 13] (2014· 徐州模拟)如图, 正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB= 2EF.

(1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:BF⊥BD. [尝试解答]

[易错分析]

本题易失分的原因有以下两点:

(1)推理论证不严谨,在使用线面位置关系的判定定理、 性质定理时忽视定理的使用条件, 如证明 BF∥平面 A CE 时, 易忽视指明 BF?平面 A CE; (2)线面位置关系的证明思路出错,缺乏转化意识,不知 道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的.

[解答] (1)设 A C 与 BD 交于 O 点,连接 EO.

在正方形 A BCD 中, 2BO=A B ,又因为 A B = 2EF, ∴BO=EF. 又∵EF∥BD, ∴四边形 EFBO 是平行四边形,∴BF∥EO, 又∵BF?平面 A CE,EO?平面 A CE, ∴BF∥平面 A CE.

(2)在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 又∵正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, BD?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE. ∵EO?平面 ACE,∴BD⊥EO. ∵EO∥BF,∴BF⊥BD.

证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据 线面平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间的转化, 如本题第(2)问是证明线线垂直, 但分析问题时不能只局限在 线上,要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平 行的直线归结到某个平面上),通过证明线面的垂直达到证 明线线垂直的目的,但证明线面垂直又要借助于线线垂直, 在不断的相互转化中达到最终目的.解决这类问题时要注意 推理严谨,使用定理时要找足条件,书写规范等.

[ 易错分析 ]

sin x1+sin x2 本题通过类比推理,易得 “ 2

x1+x2 >sin 2 ”的错误结论,其错误的原因是类比推理不严谨, 未真正读懂题意,未能把握两曲线之间相似的性质,导致得 出错误结论.

[解答]

运用类比推理与数形结合, 可知 y=sin x(x∈(0,

π)) 的 图 象 是 上 凸 的 , 因 此 线 段 CD 的 中 点 的 纵 坐 标 sin x1+sin x2 总是小于函数 y= sin x(x∈ (0 , π))图象上的点 2
?x +x sin x1+x2? 2 ? 1 ? , sin ? ?的纵坐标,即 2 2 ? ?

x1+sin x2 x1+x2 <sin 2 成立. 2

[答案]

sin x1+sin x2 x1+x2 <sin 2 2

类比推理是从特殊到特殊的推理,求解有关类比推理题 时,应找出两类事物之间的相似性和一致性,用一类事物的 性质去推测另一类事物的性质,得出一个正确的命题.类比 推理的关键是找到合适的类比对象,否则就失去了类比的意 义.

问题八
[例 15]

运算过程要合理
在△ABC 中,角 A 、B、C 所对的边分别为 a、

b、c,且 a=1,c= 3. π (1)若角 C=3,则角 A =________; π (2)若角 A =6,则 b=________. [尝试解答]

[易错分析]

在用正弦定理解三角形时,易出现丢解或

多解的错误,如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大,在求得 asin C 1 π 5π sin A = c =2后,得出角 A =6或 6 ;在第(2)问中又因为 csin A 3 没有考虑角 C 有两解,由 sin C= a = 2 ,只得出角 C π π =3,所以角 B =2,解得 b=2,这样就出现了丢解的错误.

a c asin C [解答] (1)由正弦定理sin A =sin C,得 sin A = c = 1 π 2,又 a<c,∴A <C,∴A =6. a c csin A 3 π 2π (2)由sin A =sin C, 得 sin C= a = 2 , 得 C=3或 3 . π π 当 C=3时,B =2,可得 b=2; 2π π 当 C= 3 时,B =6,此时得 b=1. π [答案] (1)6 (2)2 或 1

已知两边及其中一边的对角解三角形时,注意要对解的 情况进行讨论, 讨论的根据: 一是所求的正弦值是否大于 1, 当正弦值小于或等于 1 时, 还应判断各角之和与 180° 的关系; 二是两边的大小关系.

[例 16]

x2 y 2 双曲线 a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、

F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取 值范围为________. [尝试解答]

[易错分析]

本题容易因忽视特殊情况而出错.因为当

点 P 在右顶点处, ∠F1PF2=π, 所以 0<∠F1PF2≤π.如果忽视 特殊情况,就会出现 0<∠F1PF2<π 的错误.
[解答] 如图所示,设|PF2|=m ,∠F1PF2=θ(0<θ≤π), 当点 P 在右顶点处时,θ=π.

由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cos θ, 且||PF1|-|PF2||=m=2a. m2+?2m?2-4m2cos θ 2c 所以 e=2a= = 5-4cos θ. m 又-1≤cos θ<1,所以 e∈(1,3]. [答案] (1,3]

本题在求解中稍不注意,就会出现漏掉特殊情况的错 误.在平时的训练中应该加强对解题的监控,注意多研究问 题的各种情况,以形成全面思考,周密答题的良好习惯.这 对考生来说,是非常重要的.


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