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高中数学3-5-3《对数函数》课件北师大版必修


1、对数函数 y = log a x ( a>0 且 a ≠1 ) 是 指数函数 y = a x ( a>0 且 a ≠1 ) 的反函数。

2、对数函数的图象与性质:
函数 y = log a x ( a>0 且 a≠1 )

底数
y

a>1
y

0<a<1

图象
o 1 x o

1 x

定义域 值域 定点 值分布 单调性 趋势

(0,+∞) R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 底数越大,图象越靠近 x 轴 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 在( 0 , + ∞ )上是减函数 底数越小,图象越靠近 x 轴

?? 0 ? lo ga N ?? 0 ?? 0 ?

a , N ? (0, 1 )或a , N ? ( 1 , ??) N ?1 a , N中一个在 (0, 1 ) , 另一个在 ( 1 , ?) 中

例1、比较下列各组数中两个数的大小:
(1)log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解:∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4

且 3 . 4 <8 . 5

∴ log 2 3 . 4 < log 2 8 . 5

3

2

1

2

3.4

4

6

8.5
8

10

-1

-2

y=log2x

-3

例1、比较下列各组数中两个数的大小: (2)log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解:∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
1.4

且 1 . 8 <2 . 7

∴ log 0 . 3 1 . 8 > log 0 . 3 2 . 7

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1.8
0.5 1 1.5 2

2.7
2.5 3 3.5

-0.5 -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

y=log0.3x

-1.4

例1、比较下列各组数中两个数的大小: (3)log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 ( 0<a<1 )

解:∵ y = log a x ( 0<a<1 ) 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
2.5

且 5 . 1 <5 . 9

∴ log a 5 . 1 > log a 5 . 9

2

1.5

1

0.5

5.1 5.9
1 2 3 4 5 6 7

-0.5

-1

-1.5

y=logax

例2:比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log 6 7 与 log 7 6 解:∵ log 6 7 > log 6 6 = 1 且 log 7 6 < log 7 7 = 1 ∴ log 6 7 > log 7 6 (2) log 3 π 与 log 2 0 . 8 解:∵ log 3 π > log 3 1 = 0 且 log 2 0 . 8 < log 2 1 = 0 ∴ log 3 π > log 2 0 . 8

例2:比较下列各组数中两个值的大小: (3) log 2 7 与 log 3 7 (4) log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8

解:∵ log 7 3 > log 7 2 >0
? 1 1 ? l og7 2 l og7 3

解:∵ log 0 . 8 0 . 2 > log 0 . 8 0 . 3
且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 >0
? 1 l og0.8 0.2 ? 1 l og0.8 0.3

∴ log 2 7 > log 3 7

∴ log 0 . 2 0 . 8 < log 0 . 3 0 . 8

例3、设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较
| log a ( 1-x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。 解: ∵ 0<x<1 ∴ 0<1-x<1<1 + x <2

? 0 ? (1 ? x )(1 ? x ) ? 1 ? x 2 ? 1
当0<a<1时,则有 | log a ( 1-x ) | - | log a ( 1 + x ) | =log a ( 1-x ) +log a ( 1 + x ) =log a ( 1-x ) ( 1 + x )

? loga (1 ? x ) ? 0
2

即 | log a ( 1-x ) | - | log a ( 1 + x ) | >0 ∴ | log a ( 1-x ) | > | log a ( 1 + x ) |

例3、设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较
| log a ( 1-x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。 解: ∵ 0<x<1 ∴ 0<1-x<1<1 + x <2

? 0 ? (1 ? x )(1 ? x ) ? 1 ? x 2 ? 1
当a>1时,则有 | log a ( 1-x ) | - | log a ( 1 + x ) | =-log a ( 1-x ) -log a ( 1 + x ) =-log a ( 1-x ) ( 1 + x )

? ? loga (1 ? x ) ? 0
2

即 | log a ( 1-x ) | - | log a ( 1 + x ) | >0 ∴ | log a ( 1-x ) | > | log a ( 1 + x ) |

例3、设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较
| log a ( 1-x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。 从以上分类讨论,得 当0<a<1时,有 当a>1时,有 | log a ( 1-x ) | > | log a ( 1 + x ) | | log a ( 1-x ) | > | log a ( 1 + x ) |

综上所述,对于0<x<1,a>0 且 a≠1的一切值总有 | log a ( 1-x ) | > | log a ( 1 + x ) |.

例4、求函数 y = log 2 ( 1-x 2 ) 的值域和单调区间。 2 ≤1 2 ≤1 即 0 < 1 - x 2 且 1 - x 解:∵ 1-x >0
∴y ≤0 故 函数的值域为 (-∞,0 ) 由于此函数的定义域为 (-1 , 1 ) 且 y = log 2 t 在 ( 0 , 1 ) 上是增函数 又 t = 1-x 2 (-1 <x<1 )的单调递增区间为 (-1,0 ], 单调递减区间为 [ 0 ,1 ) 故此函数的单调递增区间为 (-1,0 ] 单调递减区间为 [ 0 ,1 )

例5、已知 f ( x ) = lg ( a x -b x )
(1)求 f ( x ) 的定义域;

( a>1>b>0 )

解:由题 a x -b x >0 得 a x > b x

a x a 0 ? ( ) ?1? ( ) b b
∵ a>1>b>0 ∴

a ?1 b

∴ x >0 故 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ∞ )

例5、已知 f ( x ) = lg ( a x -b x )
(2)判断 f ( x ) 的单调性。 解:设 0<x 1<x
2

( a>1>b>0 )

< + ∞,

则 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) = ∵ a>1>b>0

a x1 ? b x1 l g x2 a ? b x2
即a x1 ? a x2 ,?b x1 ? ?b x2

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2
? 0 ? a x1 ? b x1 ? a x2 ? b x2

a x1 ? b x1 ? 0 ? x2 ?1 x2 a ?b ∴ f ( x 1) < f ( x 2 )

即 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) <0

故 f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数

例5、已知 f ( x ) = lg ( a x -b x )

( a>1>b>0 )

(3)此函数的图象上不存在不同两点,使过两点直线平行 于 x 轴。 证:设 A ( x 1 , y 1 )、B ( x 2 , y 2 ) 且 x 1 ≠ x 2 ∵ f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 ∴ 当x 1 <x 2时, 当x 1 >x 2时, ∴ y1 ≠ y2 故 过这两点的直线不平行于 x 轴。 则 y 1< y 2 则 y1 > y2

例5、已知 f ( x ) = lg ( a x -b x )

( a>1>b>0 )

(4)当 a、b 满足什么条件时,f ( x ) 在区间 [ 1 , + ∞) 上恒 为正。

解:∵ f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数
∴ f ( x ) min = f ( 1 ) = lg ( a -b ) 要使f ( x ) 在区间 [ 1 , + ∞) 上恒为正。 只要使 lg ( a -b ) > 0就可以了, 故满足 a -b >1

小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小时
1、当底数确定时,则可由函数的单调 性直接进行判断。 2、当底数不确定时,应对底数进 行分类讨论

(二)同真数的比较大小, 常借助函数图象
进行比较 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较

同学们 再见!


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