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2016年高考二卷新课标Ⅱ卷文科数学试题解析1(参考版)


一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

2,, 3} B ? {x | x2 ? 9} ,则 A ? B ? 1. 已知集合 A ? {1,
? 1,, 0 1,, 2 3} (A) { ? 2, ? 1,, 0 1, 2} (B) { ? 2, 2 3} (C) {1,, 2} (D

) {1,

【答案】D
2 【解析】由 x ? 9 得, ?3 ? x ? 3 ,所以 B ? {x | ?3 ? x ? 3} ,所以 A ? B ? {1, 2} ,故选 D.

2. 设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z = (A) ?1 ? 2i 【答案】C 【解析】由 z ? i ? 3 ? i 得, z ? 3 ? 2i ,故选 C. 3. 函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则 (B) 1 ? 2i (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

【答案】A

4. 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A) 12 ? 【答案】A
1

(B)

32 ? 3

(C) ??

(D) ??

【解析】因为正方体的体积为 8,所以正方体的体对角线长为 2 3 ,所以正方体的外接球的半径为 3 ,所 以球面的表面积为 4? ? ( 3)2 ? 12? ,故选 A. 5. 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (A)

1 2

(B)1

k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k= x 3 (C) 2

(D)2

【答案】D 【解析】 F (1, 0) ,又因为曲线 y ?

k k (k ? 0) 与 C 交于点 P , PF ? x 轴,所以 ? 2 ,所以 k ? 2 ,选 D. 1 x
3 4
(C) 3 (D)2

6. 圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a= (A)?

4 3

(B)?

【答案】A 【解析】圆心为 (1, 4) ,半径 r ? 2 ,所以

| a ? 4 ? 1|

4 ? 1 ,解得 a ? ? ,故选 A. 学.科.网 3 a 2 ? 12

7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π 【答案】C

(B)24π

(C)28π

(D)32π

【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为 S ? 28? ,故选 C. 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯 ,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 (A)

7 10

(B)

5 8

(C)

3 8

(D)

3 10

【答案】B 【解析】至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为

40 ? 15 5 ? ,故选 B. 40 8

9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17
2

(D)34

【答案】C 【解析】第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足 k>n; 第二次运算,a=2,s= 2 ? 2 ? 2 ? 6 ,k=2,不满足 k>n; 第三次运算,a=5,s= 6 ? 2 ? 5 ? 17 ,k=3,满足 k>n, 输出 s=17,故选 C.学.科.网 10. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 (A)y=x 【答案】D 【解析】 y ? 10
lg x

(B)y=lgx

(C)y=2x

(D) y ?

1 x

? x ,定义域与值域均为 ? 0, ?? ? ,只有 D 满足,故选 D.
π ? x) 的最大值为 2
(B)5 (C)6 (D)7

11. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6cos( (A)4 【答案】B

【解析】因为 f ( x) ? ?2(sin x ? ) 2 ?

3 2

11 ,而 sin x ?[?1,1] ,所以当 sin x ? 1 时,取最大值 5,选 B. 2

12. 已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为(x1,y1) ,(x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0 【答案】B 【解析】因为 y ? f (x), y ?| x 2 ? 2 x ? 3| 都关于 x ? 1 对称,所以它们交点也关于 x ? 1 对称,当 m 为偶数时,
3

?x =
i ?1 i

m

(B)m

(C) 2m

(D) 4m

其和为 2 ?

m m ?1 ? m ,当 m 为奇数时,其和为 2 ? ? 1 ? m ,因此选 B. 2 2

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________. 【答案】 ?6 【解析】因为 a∥b,所以 ?2m ? 4 ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?6 .

?x ? y ?1 ? 0 ? 14. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=x-2y 的最小值为__________. ?x ? 3 ? 0 ?
【答案】 ?5

15. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? 【答案】

4 5 ,cos C ? ,a=1,则 b=____________. 5 13

21 13

【解析】因为 cos A ?

4 5 3 12 , cos C ? ,且 A, C 为三角形内角,所以 sin A ? ,sin C ? , 5 13 5 13 13 a b a sin B 21 sin B ? sin( A ? C) ? sin A cos C ? cos A sin C ? ? ? . ,又因为 ,所以 b ? 65 sin A sin B sin A 13

16. 有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】 1 和 3 【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为 1 和 3,乙的卡片上数字为 2 和 3,丙卡片上数字为 1 和 2. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 (I)求{ an }的通项公式;

4

(II)设

bn =[ an ],求数列{ bn }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2

【试题分析】 (I)先设 ?an ? 的首项和公差,再利用已知条件可得 a1 和 d ,进而可得 ?an ? 的通项公式; (II) 根据 ?bn ? 的通项公式的特点,采用分组求和法,即可得数列 ?bn ? 的前 10 项和.

18. (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年 度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(I)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 P(B)的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值. 【试题分析】 (I)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数,进而可得 ? ? ?? 的估计值; (II) 由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%的频数, 进而可得 ? ? ? ? 的估计值; (III)计算出险次数的频率,进而可得续保人本年度的平均保费估计值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H, 将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置.
5

(I)证明: AC ? HD ' ; (II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

【试题分析】 (I)先证 ?C ? ?? , ?C ? ?D? ,再证 ?C ? 平面 ?? D? ,即可证 ?C ? ? D? ;(II)先 证 ?D? ? ?? ,进而可证 ?D? ? 平面 ?? CD ,再计算菱形 ?? CD 和 ??FD 的面积,进而可得五棱锥

D '? ABCEF 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) . (I)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (II)若当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围.

6

21. (本小题满分 12 分) 已知 A 是椭圆 E:

x2 y 2 MA ? NA . ? ? 1 的左顶点, 斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 与 A, M 两点, 点 N 在 E 上, 4 3

(I)当 AM ? AN 时,求 ? AMN 的面积 (II) 当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 【试题分析】 (I)设点 ? 的坐标,由已知条件可得点 ? 的坐标,进而可得 ???? 的面积.

请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
7

如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE, 垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

【试题分析】 (I)先证 ?DFC∽??DC ,再证 ?FDG∽?FC? ,进而可证 ? , C , G , F 四点共圆; (II) 先证 ?GF? ? ?GC? ,再计算 ?GC? 的面积,进而可得四边形 BCGF 的面积. 解析: (I)在正方形 ?? CD 中, ??DF ? ?DCF ,所以 ??DC ? ?FC? 因为 DF ? C? ,所以 ?DFC ? ??DC ? 90 ,所以 ?DFC∽??DC
?

1 1 1 1 C? ? CG ? ?1? ? 2 2 2 4 1 所以 S四边形?CGF ? 2 S ?GC? ? 2
所以 S ?GC? ? 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6)2 + y 2 = 25 . (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
ì ? ? x = t cos α, t (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 í ( 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点, AB = 10 ,求 l 的斜率. ? ? ? y = t sin α,

【试题分析】 (I)利用 ? ? x ? y , x ? ? cos? 可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 l 的参数方程化为
2 2 2

普通方程,再利用弦长公式可得 l 的斜率.
2 2 2 解析: (I)由 ? x ? 6 ? ? y ? 25 得 x ? y ? 12 x ? 11 ? 0 2

8

? ? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos?

? ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0
故 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 (II)由 ?

? x ? t cos ? ( t 为参数)得 y ? tan ? x ,即 tan ? x ? y ? 0 ? y ? t sin ?

圆心 C ? ?6,0? ,半径 r ? 5

? 10 ? ? ?? ? 3 10 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? r ? ? ? ? ? ? 5 ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?
2

2

2



?6 tan ? tan ? ? 1
2

?

15 15 3 10 ,解得 tan ? ? ? ,所以 l 的斜率为 ? . 3 3 2
1 1 + x + ,M 为不等式 f ( x) < 2 的解集. 2 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b ? M 时, a + b < 1 + ab .

1 1 1 1 ? x ? 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ? x ? 2 2 2 2 1 1 当 x ? 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,解得 x ? 1 ,所以 ? x ? 1 2 2
当? 所以 ? ? ? ?1,1?

9

(II) ? a ? b ? ? ?1 ? ab ? ? a ? 2ab ? b ? 1 ? 2ab ? a b
2 2 2 2

?

2 2

??a

2

? 1 ? b 2 ?1 ? a 2 ? ? ? a 2 ? 1??1 ? b 2 ?

? ?1 ? a ? 1 , ?1 ? b ? 1

? 0 ? a 2 ? 1 , 0 ? b2 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 , 1 ? b2 ? 0
? ? a ? b ? ? ?1 ? ab ?
2 2

即 a ? b ? 1 ? ab

10


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