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人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程(2)教案


椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

学习过程
一 、课前预习 (预习教材理 P41~ P42,文 P34~ P36 找出疑惑之处) x2 y 2 复习 1:椭圆上 ? ? 1 一点 P 到椭圆的左焦点 F1 的距离为 3 ,则 P 到椭圆右焦点 F2 的距 25 9

离是 . 复习 2: 在椭圆的标准方程中, a ? 6 , b ? 35 ,则椭圆的标准是 . 复习 3:椭圆方程的求法 (1)已知 a, b ; (2)已知椭圆过一点及及焦点坐标; (3)已知椭圆过两点,这时设椭圆方 程为 mx ? nx ? 1, (m>0,n>0)。 复习 4:求曲线方程的常用方法 (1)直接法; (2)定义法; (3)相关法即代入法; (4)参数法。 二、课中探究学案 探究点一 定义法求轨迹方程 例 1 如图,P 为圆 B:(x+2)2+y2=36 上一动点,点 A 坐标为 (2,0), 线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q, 求点 Q 的轨迹方程.
2 2

跟踪训练 1 已知圆 A:(x+3) +y =100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 且与圆 A 内切, 求圆心 P 的轨迹方程. 探究点二 相关点法求轨迹方程 例 2 如图,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线 段 PD,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹 是什么?为什么?

2

2

问题 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗? DM 3 ? ,则点 M 的轨迹又是什么? 变式: 若点 M 在 DP 的延长线上,且 DP 2

小结 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时, 一般利用相关点的方法求解. 用

相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点:设所求轨迹上动点坐标 P(x,y),已知曲线上动点坐标 Q(x1,y1).
? ?x1=g?x,y?, (2)求关系式:用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标,即得关系式? ?y1=h?x,y?, ?

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化 简即可.

探究点三 直接法求轨迹方程 例 3 如图,设点 A,B 的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的 4 斜率之积是- ,求点 M 的轨迹方程. 9

4 问题 若将例 3 中的- 改为 a (a<0),曲线形状如何? 9 小结 通过例 3 的学习, 体会椭圆的另一种生成方法: 一个动点到两个定点连线的斜率之积 是一个负常数(不等于-1),轨迹即为椭圆,但要注意除去不符合题意的点. 变式:点 A, B 的坐标是 ? ?1,0 ? , ?1,0 ? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率与直线

BM 的斜率的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?
→ → → 跟踪训练 3 已知 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足MN· =6|NP|.求动点 P 的轨迹 C 的方程. MP

三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;
②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的关系,然后消去 x0 , y0 ,得到点 M 的轨迹 方程.

※ 知识拓展
求到定点 A ? 2,0 ? 与到定直线 x ? 8 的距离之比为
2 的动点的轨迹方程. 2

椭圆的第二定义: 到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点; 定直线 l 是椭圆的准线; 常数 e 是椭圆的离心率.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在( ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A(?4,0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为 ( ) . x2 y 2 y 2 x2 x2 y 2 A. B. C. ? ?1 ? ? 1 ( y ? 0) ? ? 1 ( y ? 0) 25 9 25 9 16 9 x2 y 2 D. ? ? 1 ( y ? 0) 25 9 4 3.设定点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? m ? (m ? 0) ,则点 P 的轨 m 迹是( ) . A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 4 . 与 y 轴 相 切 且 和 半 圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 . 5. 设 F1 , F2 为定点,| F1 F2 |= 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是 .

课后作业
1.已知三角形 ? ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程. 2 一动圆与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨 迹方程式,并说明它是什么曲线. 3.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1: 2 ,求点的轨迹方程式, 并说明轨迹是什么图形.


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