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专题二 三角函数、平面向量综合题的解答


专题二

三角函数、平面向量综合
题的解答

本节目录

专 题 探 究 突 破 热 点

知 能 演 练 轻 松 闯 关

专题探究突破热点
方法综述 三角函数作为一种重要的基本初等函数, 是中学数学的 重要内容,也是高考命题的热点之一.近几年对三角函 数的要求基本未作调整,主要考查三角函数的定义、图 象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、 和差角与倍角公式等.解答题主要考查三角函数的性 质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用,一般 出现在前两个解答题的位置.

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平面向量是连接代数与几何的桥梁,是高考的重要内
容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题,对平面 向量知识进行全面的考查,其分值约为10分,约占总 分的 7%. 近年高考中平面向量与解三角形的试题是难 易适中的基础题或中档题,一是直接考查向量的概念、

性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦
定理在代数、几何问题中的应用.

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专题探究

专题1 三角函数的化简与求值
三角函数的化简与求值是高考考查的重点内容.近 几年高考解答题单独考查逐渐减少,多在某一问中 进行考查,解此类题应根据考题的特点灵活地正用、 逆用、变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进

行化简、求值.

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π? 2 ? 例1 设函数 f(x)= cos?2x+ 3 ?+ sin x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 ?C? (2)设 A,B,C 为△ ABC 的三个内角,若 cosB= ,f? 2 ?= 3 1 - ,且 C 为锐角,求 sinA. 4 π π 1-cos2x 【解】 (1)f(x)=cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2

1 3 1 1 = cos2x- sin2x+ - cos2x 2 2 2 2 1 3 = - sin2x. 2 2
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π π 所以,当 2x=- + 2kπ,即 x=- +kπ(k∈ Z)时, 2 4 1+ 3 f(x)取得最大值, f(x)最大值= , 2 2π f(x)的最小正周期 T= = π, 2 1+ 3 故函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2 C? 1 1 3 1 3 ? (2)f? 2 ?=- ,即 - sinC=- ,解得 sinC= , 4 2 2 4 2 π 又 C 为锐角,所以 C= . 3
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1 2 2 由 cosB= 得 sinB= . 3 3 因此 sinA= sin[π- (B+ C)]= sin(B+ C) = sinBcosC+ cosBsinC 2 2 1 1 3 2 2+ 3 = × + × = . 3 2 3 2 6

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专题2 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点,其中图 象的变换是重中之重,函数的各种变换,都是对自 变量x与函数值y进行的变换.准确作出三角函数的图 象,可以帮助我们迅速而又准确地求解相关问题.

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π? ? ωx - 例2 (2012· 高考重庆卷)设函数 f(x)= 4cos sinωx 6 ?· ? - cos(2ωx+ π),其中 ω>0. (1)求函数 y= f(x)的值域; 3π π ? ? - , 上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间 2 2? ? 3 1 【解】 (1)f(x)= 4? cosωx+ sinωx?sinωx+ cos2ωx ?2 2 ?
= 2 3sinωxcosωx+ 2sin2ωx+ 1-2sin2ωx = 3sin2ωx+ 1, 因为-1≤ sin2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的值域为 [1- 3, 1+ 3].
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π π? ? (2)因为 y= sinx 在每个闭区间 2kπ- 2 , 2kπ+2 (k∈ Z)上为 ? ? 增 函 数 , 故 f(x) = 3 sin2ωx + 1(ω > 0) 在 每 个 闭 区 间

?kπ- π ,kπ+ π ? (k ∈ Z) 上为增函数.依题意知?-3π,π ? ? ω 4ω ω 4ω ? ? 2 2?
kπ π kπ π ? ? ? - , + ? ω 4ω ω 4ω ?对某个 k∈ Z 成立,此时必有 k= 0,于

? 是? π π ?2≤4ω,

3π π - ≥- , 2 4ω

1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 . 6 6

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专题3

三角形中的三角函数

此类题主要考查三角函数在三角形中的应用.解三角形
的关键是在转化与化归数学思想的指导下,正确、灵活 地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内 角和等公式及定理解题.

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例3 (2012· 高考江西卷)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分
π π π ? ? ? 别为 a,b, c.已知 A= , bsin 4+ C - csin 4+ B ?= a. 4 ? ? ? ? π (1)求证: B- C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. π π ? ? ? 【解】 (1)证明:由 bsin 4+ C - csin 4+ B ?= a, ? ? ? ?
应用正弦定理,得 π π ? ? ? sinBsin 4+ C - sinCsin 4+ B ?= sinA, ? ? ? ?

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2 2 2 2 2 ? ? ? ? sinB sinC+ cosC - sinC sinB+ cosB = 2 , ?2 2 ? ?2 2 ? 整理得 sinBcosC- cosBsinC= 1,即 sin(B- C)=1, 3 π 由于 0< B, C< π,从而 B- C= . 4 2 3π 5π π (2)B+ C= π- A= ,因此 B= , C= . 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2, A= ,得 b= = 2sin , c= = 2sin , 4 8 8 sinA sinA 1 5π π π π 1 所以△ ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2

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专题4

平面向量与三角函数

此类题型主要表现为两种综合方式: (1) 三角函数与向
量的数量积直接联系; (2) 利用三角函数与向量的夹角 交汇,达到与数量积的综合.解答时首先利用向量进行 转化,再利用三角函数知识求解.

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A 例4 (2012· 高考山东卷)已知向量 m= (sinx,1), n=( 3Acosx, 2 cos2x)(A> 0),函数 f(x)=m· n 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y= f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上 12 1 各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y= g(x) 2 5π ? ? 的图象,求 g(x)在 0,24 上的值域. ? ?

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【解】

(1)f(x)= m· n

A 3 1 = 3Asinxcosx+ cos2x= A? sin2x+ cos2x? 2 ?2 2 ? π? ? = Asin 2x+ 6 .因为 A> 0,由题意知 A= 6. ? ? π? ? (2)由 (1)知 f(x)=6sin 2x+ 6 . ? ? π 将函数 y= f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

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π ? π? π? ? ? ? y= 6sin 2?x+12?+6 = 6sin 2x+ 3 的图象; ? ? ? ? 1 再将得到图象上的各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 2 π? ? 不变,得到 y=6sin 4x+ 3 的图象. ? ? π? 5π ? ? ? 因此 g(x)=6sin 4x+3 .因为 x∈ 0,24 , ? ? ? ? π ?π 7π? 所以 4x+ ∈ 3, 6 , 3 ? ? 5π ? ? 故 g(x)在 0,24 上的值域为 [-3,6]. ? ?
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知能演练轻松闯关

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