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一道竞赛试题的源与流


1 2 0  

数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



道 竞赛试题的源 与流 
杨苍洲  
( 福建省惠安高级中学 , 3 6 2 1 0 0 )  

1 . 题目  

/>但 冥 买 质 郡 是 小 等 式  ≥ l 十 X的 应 用 ,F面冉 举  


( 2 0 1 1 年 福建 省数 学竞赛 暨 2 0 1 1 年 全 国高 中 

例.  

数 学联赛 福建 省赛 区预赛 试题 )已知  (  )一   ~  
z一 1 ( e 为 自然对数 的底 数) .   ( 1 ) 求证 : 厂 (  ) ≥ 0恒成立 ;  

例  设 函数 厂 (  )一 
( 1 )求 , ( z ) 的极 值 ;  

+1 n z .  

( 2 )求 证 :  
(   ) n<   .  

+(   )  + 

厶 

+ … 十 

( 2 )求证 1+ 1 + 1 + … +  < l n  < l - F  


1 +  1  

1+



+ 

( ”∈ N   且  ≥ 2 ) .  

证明   ( 1 ) 厂( z ) 一   一1 , 当z> 0 时 厂(   )  
> 0 , 所以 厂 (  )在 ( O , +C × 。 ) 单调递增 ; 当 z< 0  

解析  ( 1 ) 厂 (   )的极 小 值 为 厂 ( 1 )一 0 , 过 
程 略.  

时, 厂( z ) <0 , 所 以厂 (   ) 在( 一。 。 , o ) 单调递减. 所 
以 厂( z )一  一 z一 1≥ 厂( O )一 0 .  

( 2 )由( 1 )得 1 n z≥ 1 一   当  ≥ 2时 , 在 ① 式 中令 z一  


0  , 得 

( 2 )因为  一 z一 1 ≥ 0 , 所以 1 + z≤  , 所 

l 

以( 1 + )  ≤ P  , 当且仅 当 z一 0时 , 等 号成 立.  
所 以(   ) n: ( 1 一  )  < P 一 告( 忌一 1 , 3 ,  

i n  

> 

.  

5 , …, 2  一 1 ) , 所 以 
(   +(   +(   )  + … + (   )  

所 以   n 手 > 丢 ,   n 号 > ÷ ,   n  > 丢 , … ,  
? n   >  >  ,  

<  ÷+  号+ … + P 一   ÷一 P —   .   g 吉一 e 一  
,  

把 上面 的式 子相 加得 :  
1 n   >  1 十  1 十  1+


——『 二  = 广
2 . 源 

一 — 

一 < 、  

‘  

+  (   ∈ N  且  ≥ 2 ) .  


当  ≥ 2时 , 在 ① 式 中令 z一 型
I n   <  .  

得 

本题 源 于普 通高 中课 程标 准 实验 教科 书数 学 
选修 2 —2 ( 人教 A版 ) 习题 1 . 3   B组第 1 题( 3 ) : 利 

用 函数 的单 调性 , 证 明不等式  > l +x ( x≠ 0 ) .   由于课 本是 知 识 与 方 法 的重 要 载 体 , 也 是 各 

所以 l n   T 2< 1


1 n 号 < 丢 , l n  < 告 , … ,  
<  ,  

种 考试试题 的 主要 题 源 , 在 近 年 的高 考 或 者 竞 赛  试题 中有 相 当数量 的基本 题 、 创 新题 源 于课 本 . 在  上 题 的不 等式 的证 明 中 , 其结 构 简 洁 、 证 明思 路简  洁, 且容 易掌 握 , 因此 以此 为背 景设 计 导数 与 不等 
式 的相关 试题 显 得 自然 和谐.  
3 . 流 

- n  

< 

把 上面 的式子相加 得 : l n  < 1 +  1十   1十  1  
+ … + 


(   ∈ N  且   ≥ 2 ) .  
1 

因 此. 不 等式得 证.  

由不等式  ≥ 1 + z可 以衍 生 出许 许 多多 的  不 等式 , 如 l n ( x+ 1 ) ≤ z, l n x≤ z— l , l n x≥ 1 一  



( 收稿 日期 : 2 0 1 1 —0 9 —2 4 )  



( 1 +z ) ÷≤ 等 . 虽然不 等式 的形式 有所 不 同 ,  


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