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抛物线知识点


1. 抛物线定义: 平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 不在定直线 上。 叫

做抛物线的焦点,直线 叫做抛物线的准线,定点 2. 抛物线的标准方程有四种形式, 参数 掌握不同形式方程的几何性质(如下表):

的几何意义, 是焦点到准线的距离,

其中

为抛物线上任一

点。

3. 对于抛物线

上的点的坐标可设为 的焦点 的斜率分别为

,以简化运算。 的直线与抛物线交 ,直线 的倾斜角为

4. 抛物线的焦点弦: 设过抛物线 于 ,直线 与

,则有















抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及 几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方 法,分值大约是5分。 考查通常分为四个层次: 层次一:考查抛物线定义的应用; 层次二:考查抛物线标准方程的求法; 层次三:考查抛物线的几何性质的应用; 层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论 法、等价转化法。 【典型例题分析】 例 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 轴,且与圆 公共弦长等于 ,求此抛物线的方程。 或 相交的

解析:设所求抛物线的方程为 设交点 则 ∴点 在 ,∴ 上, (y1>0) ,代入 在

得 上





,∴ 或 的焦点为 。 ,经过 的直线交抛物线于 经过原点。 两

故所求抛物线方程为 例 2. 设抛物线

点,点 在抛物线的准线上,且

∥ 轴,证明直线

解析:由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点

的直线

的方程为

由 设

,消去 得 ,则



∥ 轴,且

在准线





点坐标为

于是直线

的方程为

要证明 注意到

经过原点,只需证明

,即证 知上式成立,故直线 经过原点。 的焦点, 为抛物

例 3. (2006 江西)设 线上一点,若 A. 答案:B B.

为坐标原点, ,则点

为抛物线 )

的坐标为( C.

D. ,则 ,

解析:解法一:设点 坐标为

解得



(舍),代入抛物线可得点

的坐标为



解法二:由题意设

,则



即 。



,求得

,∴点

的坐标为

例 4. (2006 安徽) 若抛物线 则 的值为( A. -2 答案:D 的焦点为

的焦点与椭圆

的右焦点重合,

)(本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系) B. 2 解析:椭圆 ,则 。 C. -4 D. 4 的右焦点为 ,所以抛物线


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