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The End 复习课


第六章 多元函数积分学及其应用
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质
一、引例

第六章

二、多元数量值函数积分的概念
三、积分存在的条件和性质

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第二节 二重积分的计算
一、二重积分的几何意义

第六章

二、直角坐标系下二重积分的计算法 三、极坐标系下二重积分的计算法 四、曲线坐标下二重积分的计算法

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2.1 二重积分的几何意义
f ? C( D), D ? R2(有界闭区域) 设

二重积分: f ( x, y)d? ? lim? f (?k ,?k )?? k ?? ? ?0
( D) k ?1

n

其几何意义就是曲顶柱体的体积 底: xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面:以D的边界为准线 , 母线平 行于 z 轴的柱面. 求体积: 类似定积分解决问题的思想: “分, 匀, 合, 精”
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D

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二、直角坐标系下二重积分的计算法
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) ? 0 y y ? ? 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域

??1 ( x) ? y ? ? 2 ( x) D:? a? x?b ?


y ??1 ( y ) ? x ? ? 2 ( y ) d 若D为Y - 型区域 D : ? x ? ? 2 ( y) c? y?d ? x ? ?1 ( y) ? 2 ( y) d y 则 ?c d y?? 1 ( y) f ( x, y) dx c O x
1
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??D

f ( x, y ) d x d y ? ? d x ?? ( x) f ( x, y ) d y
a

b

? 2 ( x)

O a y ? ? ( x)b x 1

D x

说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
则有

??D f ( x, y) dx d y
? ? d x ??
b a

y

? 2 ( x)
1 ( x)

d

y ? ? 2 ( x)

f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x

x ? ?1 ( y)

? ? d y?
c

d

? 2 ( y)

? 1 ( y)

O a

y c

y ? ?1 ( x)

D

x ? ? 2 ( y)

x

bx

为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则

D2
2

D1 D3

??D ? ??D ? ??D
1

? ??

D3

O
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x
结束

三、利用极坐标计算二重积分

??D f ( x, y) d ? ? ??D f (r cos? , r sin ? ) r d r d?
广义极坐标变换.

四、曲线坐标下二重积分的计算法 ??x, y ? f ?x, y ?d? ? ?? f ?x?u, v ?, y?u, v ?? d? ? ??? ??u, v ? ?? ?? ? ?
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第三节 三重积分的计算
1、直角坐标系下 2、柱面坐标系下 3、球面坐标系下

第六章

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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的

物质, 密度函数为 ? ( x, y, z ) ? C ,求分布在 ? 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小(分), 常代变(匀), 近似和(合), 求极限(精)” 可得

?

?v k
(? k ,? k , ? k )
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M ? lim

? ? (? k ,?k ,? k )?vk ? ?0
k ?1

n

定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) ? Ω , 若对 ? 作任意分割:
任意取点 积和式” 极限
? ?0 k ?1

下列 “乘
记作

lim ? f (? k ,?k , ? k )?vk

n

???? f ( x, y, z)dv

存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在? 上的三重积分.

dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz.

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1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f ( x, y, z ) ? 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”)

方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.

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方法1. 投影法 (“先一后二” ) ? z1 ( x, y ) ? z ? z2 ( x, y ) Ω: ? ? ( x, y ) ? D

z ? z2 ( x, y )

z
z ? z1 ( x, y )

细长柱体微元的质量为

? z2 ( x, y ) f ( x, y, z )d z ? d xd y ? ? z ( x, y ) ? ? 1 ? 该物体的质量为

O

???? f ( x, y, z) d v ? z ( x, y ) f ( x, y, z )d z ? d xd y ? ?? ? ? ? D ? z ( x, y ) ? z ( x, y ) 记作 ??D d xd y ?z ( x, y ) f ( x, y, z)d z
2 1
2 1

x

D

y
d xd y

微元线密度≈

f ( x, y, z ) d xd y

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方法2. 截面法 (“先二后一”)

z b

以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为

z Dz a O x

?
y

面密度≈

f ( x, y , z ) d z
??

? ??D f ( x, y, z ) d x d y ? d z a
b
z

记作

?a dz ??D

b

f ( x, y, z )d xd y
z
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方法3. 三次积分法

z1 ( x, y) ? z ? z2 ( x, y)
设区域 ? :

? y1 ( x) ? y ? y2 ( x) ( x, y ) ? D : ? a? x?b ?

利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
b y2 ( x )
1

? ? dx
a

? y ( x ) d y ? z ( x, y )
1

z2 ( x, y )

f ( x, y, z )d z

投影法

? ?? d xd y ?
D

z2 ( x, y ) z1 ( x , y )

f ( x, y, z )d z
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2. 利用柱坐标计算三重积分

设 M ( x, y, z ) ? R , 将x, y用极坐标? , ?代替, 则 ? , ? , z) (
3

就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:

x ? ? cos ? y ? ? sin ? z?z

? 0 ? ? ? ?? ? ? ? 0 ?? ? 2π ? ? ? ?? ? z ? ?? ? ? ?

???? f ( x, y, z)dxd ydz
? d ? d ? dz

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3. 利用球坐标计算三重积分

设 M ( x, y, z ) ? R 3 , 其柱坐标为( ? , ? , z),令 OM ? r ,
? zOM ? ? , 则 (r, ? ,? ) 就称为点M 的球坐标.

直角坐标与球面坐标的关系

z z
?

x ? r sin ? cos ? y ? r sin ? sin ? z ? r cos?

? 0 ? r ? ?? ? ? ? 0 ?? ? 2π? ? ? 0 ?? ? π ? ? ?

r
?

M
y

O
x?

???? f ( x, y, z)dxd ydz
? ??? f (r sin ? cos ? , r sin ? sin ? , r cos ? )r 2 sin ? d r d ? d ?
?
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第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、物体的质心 三、物体的转动惯量 四、物体的引力

第六章

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1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法: —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 3. 解题要点:

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便

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一、立体体积
? 曲顶柱体的顶为连续曲面

则其体积为

V ? ?? f ( x, y )d xd y
D

? 占有空间有界域 ? 的立体的体积为

V ? ??? d xd yd z
?

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二、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 ( xk , yk , z k ) , 其质量分别 为 mk ( k ? 1, 2 , ?, n ) , 由力学知, 该质点系的质心坐标



x?

? x k mk
k ?1 n

n

? mk
k ?1

,

y?

? y k mk
k ?1 n

n

? mk
k ?1

, z?

? z k mk
k ?1 n

n

? mk
k ?1

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设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 采用 “分, 匀, 合, 精” 可导出其质心公式,即 : ???? x? ( x, y, z ) d x d y d z x? ??? ? ( x, y, z ) d x d y d z
?



???? y? ( x, y, z ) d x d y d z y? ???? ? ( x, y, z ) d x d y d z ???? z? ( x, y, z ) d x d y d z z? ???? ? ( x, y, z ) d x d y d z
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当? ( x, y, z ) ? 常数时, 则得形心坐标:
x? z?

???? xd x d y d z ????
V zd x d y d z V

, y?

???? yd x d y d z
V

,

? V ? ???? d x d y d z 为? 的体积 ?

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其面密度 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,
则它的质心坐标为

?? D x? ( x, y)d xd y M y x? ? ?? D ? ( x, y)d xd y M ?? D y? ( x, y)d xd y M x y? ? ?? D ? ( x, y)d xd y M
? ? 常数时, 得D 的形心坐标:
x?

??D x dxd y
A

, y?

??D ydxd y
A

( A 为D 的面积)
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三、物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数

? ( x, y, z ) . 该物体位于(x , y , z) 处的微
元 对 z 轴的转动惯量为

z

d I z ? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x, y , z ) d v
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:

?
O y

I z ? ??? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x, y, z ) d xd yd z
?
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x

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类似可得:
对 x 轴的转动惯量

I x ? ??? ( y 2 ? z 2 ) ? ( x, y, z ) d xd yd z ?
对 y 轴的转动惯量

(x2 ? z 2 )
对原点的转动惯量

I O ? ??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( x, y, z ) d xd yd z
?

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如果物体是平面薄片, 面密度为 ? ( x, y ), ( x, y) ? D
则转动惯量的表达式是二重积分.

y2

y

x2
I O ? ?? ( x ? y ) ? ( x, y ) d xd y D
2 2

D
O

x

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四、物体的引力
设物体占有空间区域 ?, 其密度函数 物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为

F ? ( Fx , Fy , Fz ), 引力元素在三坐标轴上分量为

d Fy ? G d Fz ? G

? ( x, y, z )( y ? y0 )
r3 ? ( x, y, z )( z ? z0 ) r
3

dv

dv

dF r O P0 y x

z

dv

其中 r ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2 ,G 为引力常数
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因此引力分量为

Fx ? G ???

? ( x, y, z )( x ? x0 )
r3 ? ( x, y, z )( y ? y0 ) r ? ( x, y, z )( z ? z0 )
3 3

?

dv dv

Fy ? G ??? Fz ? G ???

?

r 其中: r ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2

?

dv

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第六节 第一型线积分与面积分

第六章

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 三、对面积的曲面积分的概念与性质 四、对面积的曲面积分的计算法

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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为

B
Mk (? k ,?k , ? k ) ? s k M k ?1

为计算此构件的质量, 采用
“大化小(分), 常代变(匀), 近似和(合), 求极限(精)”

A

可得

M?

?

n

k ?1
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2.定义
设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线,

义在 ? 上的一个有界函数,若通过对 ? 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”

(? k ,?k , ? k )

? f (? k ,?k ,? k )?sk ?? ? ? ?0
lim
记作
k ?1

n

f ( x, y , z ) d s
在曲线

都存在, 则称此极限为函数

? 上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数, 称为积分弧段 . ?
曲线形构件的质量 M ? ? ? ( x, y, z ) ds
?
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Mk ? sk M k ?1

?

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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化

计算定积分

是定义在光滑曲线弧

上的连续函数, 则曲线积分



?L

f ( x, y ) d s ?

??

?

f [? (t ) ,? (t )] ? ?2 (t ) ? ? ?2 (t ) d t

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如果曲线 L 的方程为
b

则有

? ? f ( x,? ( x) ) 1 ? ? ?2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r ? r (? ) (? ? ? ? ? ), 则

? ? f (r (? ) cos? , r (? ) sin ? ) r 2 (? ) ? r ?2 (? ) d? ?
推广: 设空间曲线弧的参数方程为

?

? : x ? ? (t ), y ? ? (t ) , z ? ? (t ) (? ? t ? ? )


??

f ( x, y , z ) d s
?

? ? f (? (t ) ,? (t ),? (t ) ) ? ?2 (t ) ? ? ?2 (t ) ? ? ?2 (t ) d t ?
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小(分), 常代变(匀), 近 似和(合), 求极限(精)” 的方法, 可得 求质

(? k ,?k , ? k )

?

M?

?

n

O

y

k ?1

其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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x

定义: 设 ? 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一

个有界函数, 若对? 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
记作

?? f ( x, y, z )d S
?

都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, ? 叫做积分曲面. 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ? ?? ? ( x, y, z ) d S
?

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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面

z

?

f (x, y, z) 在 ? 上连续, 则曲面积分

???

O

y

f ( x, y, z ) dS 存在, 且有

x Dx y

? ??

Dx y

f ( x, y ,

)

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(补)曲面的面积
设光滑曲面



A ? ??

D

?z 2 ?z 2 1? ( ) ? ( ) d x d y ?x ?y

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第七节(1) 对坐标的(第二型)曲线积分

第六章

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法

三、两类曲线积分之间的联系

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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.

y

设一质点受如下变力作用

L A

B

F ( x, y) ? ( P( x, y) , Q( x, y))
动过程中变力所作的功W. 恒力沿直线所作的功

x
解决办法: “分” “匀” “合” “精”
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在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移

F
A

W ? F AB cos ?
B

?

? F ? AB

2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限

? ? P(? k , ?k )?xk ? Q(? k , ?k )? yk ? ? ?0
lim
k ?1

n

记作

?L P( x, y)d x ? Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上

都存在, 则称此极限为函数

对坐标的曲线积分, 或第二型曲线积分. 其中

称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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?L P( x, y)d x ? ?lim0 k?1 P(? k , ?k )?xk , ? ?
n k ?1

n

称为对 x 的曲线积分;

?L Q( x, y)d y ? ?lim0 ? Q(? k , ?k )? yk , ?

称为对 y 的曲线积分.

若记 d s ? (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作

?L F ? d s ? ?L P( x, y)dx ? Q( x, y)d y
类似地, 若 ? 为空间曲线弧 , 记 d s ? (d x , d y , d z )

F ( x, y, z ) ? ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))

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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则

?L P( x, y)d x ? Q( x, y)d y k ? ? ? P( x, y )d x ? Q( x, y )d y L i ?1
i

(2) 用L- 表示 L 的反向弧 , 则

? ? ? P( x, y )d x ? Q( x, y )d y
L

说明:
? 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

? 定积分是第二类曲线积分的特例.
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三、对坐标的曲线积分的计算法
在有向光滑弧 L 上有定义且 ? x ? ? (t ) t : ? ? ? , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 ? ? y ? ? (t ) 存在, 且有
?

定理:

?? ??
?

? P [? (t ), ? (t )] ? ?(t ) ? Q[? (t ), ? (t )]? ?(t ) ?d t ?
?

? P [? (t ), ? (t )] ? ?(t ) ?d t ? ?? { Q [? (t ), ? (t )] ? ?(t )?d t ?
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特别是, 如果 L 的方程为 y ? ? ( x), x : a ? b, 则

x ? ? (t ) 对空间光滑曲线弧 ? : y ? ? (t ) t : ? ? ? , 类似有 z ? ? (t )

??

? P [ x, ? ( x)] ? Q [ x, ? ( x)] ? ?(x)?d x a

b

??

? P [? (t ), ? (t ) , ? (t )]? ?(t ) ?

?

? ?(t )
? ?(t )
定理 目录 上页 下页 返回 结束

四、两类曲线积分之间的联系

?
C

Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ? P cos? ? Q cos ? ? R cos? ?ds
C

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第七节(2) 对坐标的(第二型)曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影

第六章

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、两类曲面积分的联系 四、对坐标的曲面积分的计算法
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一、有向曲面及曲面元素的投影
? 曲面分类

双侧曲面
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧

莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)

曲面分左侧和 右侧

曲面分上侧和 下侧

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? 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 :

方向余弦
侧的规定

cos ?

cos ?

cos ?

封闭曲面 外侧
内侧

> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧

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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为

求单位时间流过有向曲面? 的流量? .

n

v

?
S

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2. 定义:设? 为光滑的有向曲面, 在? 上定义了一个 向量场 A ? ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )), 若对? 的任 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
i ?1

??
? Q(? i ,?i , ? i )(?Si ) z x

n

则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作

??? Pd y d z ? Qd z d x ? Rdx d y
P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面.
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??? P d y d z 称为P 在有向曲面? 上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面? 上对 z, x 的曲面积分;

??? R d x d y 称为R 在有向曲面? 上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为
?

? ? ?? Pd y d z ? Qd z d x ? Rd x d y

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3. 性质

(1) 若

之间无公共内点, 则

??? A ? d S

??? i A ? d S

(2) 用? ? 表示 ? 的反向曲面, 则

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三、两类曲面积分的联系

??? Pd y d z ? Qdz d x ? Rdx d y
? ??

?Pcos ? ? Qcos ? ? Rcos ? ? d S ?

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四、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 ? 上的连续函数, 则

取上侧,

??? R( x, y, z ) d x d y ? ?? D

R( x, y, z ( x, y )) d x d y
xy

说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则

??? R( x, y, z ) d x d y ? ? ??Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y

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?若

则有

??? P( x, y, z ) d ydz ? ? ??Dy z P( x( y, z) , y, z ) d y d z
?若 则有

(前正后负)

??? Q( x, y, z ) d z d x ? ? ??Dz x Q (x, y( z, x) , z ) d z d x
(右正左负)

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第八节(1)

第六章

各种积分的联系 及其在场论中的应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件

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一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 复连通区域 ( 有“洞”区

L D

域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有

定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数

? ?Q ? P ? ?? ? ? x ? ? y ?d xd y ? ? Pd x ? Qd y ( 格林公式 ) ? D? L


??
D

? ?x

? ?y

P

Q

d xd y ? ? Pd x ? Qd y
L
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? ?Q ? P ? ? ? d xd y ? ? P d x ? Q d y 格林公式 ?? ? ?x ? y ? D? L
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A ? ? xd y ? y d x 2 L

? x ? a cos? (0 ? ? ? 2π) 所围面积 例如, 椭圆 L : ? ? y ? b sin ?

1 2π ? ? (ab cos 2 ? ? ab sin 2 ? ) d ? ? π ab 2 0
定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算
的分段光滑正向闭曲线.

其中L为一无重点且不过原点

解: 令

则当x 2 ? y 2 ? 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) ? D 时, 由格林公式知

y O
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L

x
结束

当(0,0) ? D 时, 在D 内作圆周 l : x 2 ? y 2 ? r 2 , 取逆时
针方向, 记 L 和 l ? 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得

y

xd y ? yd x ?? 2 l x ? y2 xd y ? yd x ?? ? 2 ? ?? 0 d xd y ? 0 2 L? l D1 x ?y

l
O D1

L

x

??

2π 0

r cos ? ? r sin ?
2 2 2 2

r

2
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d? ? 2 π
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 ? Pd x ? Qd y ? 0 .
L

在D 内

(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分? Pd x ? Qd y
L

与路径无关, 只与起止点有关.

(3)


在 D 内是某一函数

的全微分,

d u( x, y) ? P d x ? Q d y ? P ?Q ? . (4) 在 D 内每一点都有 ? y ?x
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第八节(2)

第六章

斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度

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一、 斯托克斯公式
定理1. 设光滑曲面? 的边界? 是分段光滑曲线, ? 的 侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

? ? P d x ? Q d y ? R d z (斯托克斯公式)
?

z

? n

?

?
y

x
简介 目录

o
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

??
?

d yd z d zd x d xd y ? ? ? ? ? Pd x ? Qd y ? Rd z ? ?x ?y ?z P Q R cos ? cos ? cos ? ? ? ? d S ? ? Pd x ? Qd y ? Rd z ? ?x ?y ?z P Q R

或用第一类曲面积分表示:

??
?

定理1

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注意: 如果? 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.

? ? Pd x ? Qd y ? Rd z
?

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二、 环量与旋度
斯托克斯公式

? ? Pd x ? Qd y ? Rd z
?

n ? (cos? , cos ? , cos ? ) 曲线 ? 的单位切向量为 ? ? (cos ? , cos ? , cos? )
设曲面 ? 的法向量为 则斯托克斯公式可写为

? ? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos? ) d s
?
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令 A ? ( P, Q, R) , 引进一个向量

? ? ? A 记作 rotA 于是得斯托克斯公式的向量形式 :

? ??x ??y ??z P Q R

i

j

k

??? rot A ? n d S ? ?? A ? ? d s


???

(rot A)n d S ? ? A? d s
?



定义:

沿有向闭曲线 ? 的环量. 旋度.

?? P d x ? Q d y ? R d z ? ?? A? d s 称为向量场 A
向量 rot A 称为向量场 A 的

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第八节 高斯公式
Green 公式
推广

第六章

通量与散度
Gauss 公式

一、高斯公式 二、通量与散度

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一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲

面? 所围成, ? 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在

? 上有连续的一阶偏导数 , 则有

? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

(Gauss 公式)

高斯

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二、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为

v( x, y, z ) ? P( x, y, z ) i ? Q( x, y, z ) j ? R( x, y, z ) k
设? 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面? 的流量为

? ? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

?

由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为

? ? ?? ? P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? ? d S
?

? ?? v ? n d S
?
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若? 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过? 的流量为

? ? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

n n

当? > 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 流出的, 表明? 内有源(泉);

当? < 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 表明

? 内有吸收流体的洞 ;
当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 根据高斯公式, 流量也可表为

?
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设? 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为? , 在?式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有
? ?M

lim

?
V

? P ?Q ? R ?M ?? ? ? ?x ? y ?z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, ? 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
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定义: 设有向量场

A( x, y, z ) ? P( x, y, z ) i ? Q( x, y, z ) j ? R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称 ??? A ? n d S 为向量场 A 通过

有向曲面 ? 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处

? P ?Q ? R 记作 ? ? div A ?x ? y ?z
称为向量场 A 在点 M 的散度. 显然 div A ? ? ? A
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