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2014届高考数学一轮复习讲义:3.1导数的概念及其运算


一轮复习讲义

导数的概念及其运算

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要点梳理
1.平均变化率

忆一忆知识要点

函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为

f(x2)-f(x1) x2-x1 ,
Δy Δx

若 Δx=x2-

x1, Δy=f(x2)-f(x1), 则平均变化率可表示为
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义

.

设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0?(a,b),若 Δx f(x0+Δx)-f(x0) Δy 无限趋近于 0 时,比值 = 无限趋近于 Δx Δx 一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处 可导 ,并称该常数 A 为 函数 f(x)在 x=x0 处的 导数 ,记作 f′(x0) .

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要点梳理
(2)几何意义

忆一忆知识要点

函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率.相应地,切线方程为

y-y0=f′(x0)(x-x0) .
3.函数 f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导 数也随着自变量 x 的变化而变化,因而也是自变量 x 的函 数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f′(x) .

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要点梳理
原函数 f(x)=C (C 为常数) f(x)=xα (α 为常数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x

忆一忆知识要点

4.基本初等函数的导数公式 导函数 f′(x)= 0 f′(x)= αxα 1 f′(x)= cos x


f′(x)= -sin x
x f′(x)= a ln a

x f′(x)= e

f′(x)=

1 xln a

1 f′(x)= x

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要点梳理
5.导数运算法则

忆一忆知识要点

g′(x) (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)± ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ? f(x) ? [g(x)]2 (3)?g(x)?′= (g(x)≠0).
? ?

6.复合函数的导数 若 y=f(u), u=ax+b, y′x=y′u· x, y′x=y′u· 则 u′ 即 a.

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[难点正本

疑点清源]

1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数” 的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数, 是针对某一区间内任意点 x 而言 的.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点 x 都可导,是 指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确 定的导数 f′(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新 函数, 就是函数 f(x)的导函数 f′(x). 在不产生混淆的情况 下,导函数也简称导数.

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2.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0) 的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线 斜率为 k=f′(x0)的切线,是惟一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,0)的切线, y 是指切线经过 P 点. 点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有 多条.

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利用导数的定义求函数的导数
例 1 求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率.

Δy f(x0+Δx)-f(x0) 紧扣定义 = 进行计算. Δx Δx
解 ∵Δy= (x0+Δx)2+1- x2+1 0

2 (x0+Δx)2+1-x0-1 = 2 (x0+Δx)2+1+ x0+1

2x0Δx+(Δx)2 = , 2 2 (x0+Δx) +1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴ = . 2 Δx (x0+Δx)2+1+ x0+1

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探究提高
求函数 f(x)平均变化率的步骤: ①求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1); Δf f(x2)-f(x1) ②计算平均变化率 = . Δx x2-x1 解这类题目仅仅是简单套用公式,解答过程相对简单,只要注 意运算过程就可以了.

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变式训练 1
利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数; x 1 (2)f(x)= . x+2 Δy f(1+Δx)-f(1) 解 (1) = Δx Δx
1 -1 1+Δx = Δx
1- 1+Δx 1-(1+Δx) = = Δx 1+Δx Δx 1+Δx(1+ 1+Δx)

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-Δx = Δx( 1+Δx+1+Δx)
-1 = , 1+Δx+1+Δx
Δy 1 从而,当 Δx→0 时, →- , Δx 2
1 所以 f′(1)=- . 2
Δy f(x+Δx)-f(x) (2) = Δx Δx
1 1 - x+2+Δx x+2 = Δx (x+2)-(x+2+Δx) = Δx(x+2)(x+2+Δx)

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-1 = , (x+2)(x+2+Δx) Δy 1 从而,当 Δx→0 时, →- , Δx (x+2)2
1 所以 f′(x)=- . (x+2)2

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导数的运算
例 2 求下列函数的导数: (1)y=ex· x; ln ? 1 1? 2 (2)y=x?x +x+x3?; ? ? x x (3)y=x-sin cos ; 2 2 ? 1 ? ? (4)y=( x+1)? -1?. ? ? x ?

若式子能化简,可先化简,再利用公式和运算法则求导.

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1 解 (1)y′=(e · x)′=e ln x+e · ln x 1 x =e (ln x+x). 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x
x x x

(3)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2 ? ? 1 1 1 ?x- sin x?′=x′- (sin x)′=1- cos x. ∴y′= 2 2 2 ? ? 1 1 1 1 (4)先化简,y= x· - x+ -1=-x 2 +x- , 2 x x 1 ?1 1 ?3 1 ? 1? ?1+ ? . ∴y′=- x 2- x 2 =- 2 2 2 x? x?

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探究提高
(1)求导之前, 应利用代数、 三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用 代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以 避免使用商的求导法则,减少运算量.

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变式训练 2
求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ; x2 (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); ? x? 2x (3)y=-sin ?1-2cos 4?; 2? ? 1 1 (4)y= + ; 1- x 1+ x cos 2x (5)y= . sin x+cos x

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5 (1)∵ y x ? x ? sin x ? x ? 2 ? x 3 ? sin x , x2 x2 3

1 2

∴y′=(x )′+(x3)′+(x-2sin x)′ 3 ?5 =- x 2 +3x2-2x- 3sin x+x-2cos x. 2 (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,

?

3 2

∴y′=3x2+12x+11.
方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.

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x? 1 x? (3)∵y=-sin ?-cos 2?= sin x, 2? ? 2 ?1 ? 1 1 ? sin x?′= (sin x)′= cos x. ∴y′= 2 2 2 ? ?
1 1 2 (4)∵y= + = , 1- x 1+ x 1-x ? 2 ? -2(1-x)′ 2 ? ? ∴y′=?1-x?′= = . (1-x)2 (1-x)2 ? ?
cos 2x (5)y= =cos x-sin x, sin x+cos x ∴y′=-sin x-cos x.

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例 3 求下列复合函数的导数: (1)y=(2x-3)5; (2)y= 3-x; π? (3)y=sin 2x+3 ?; ? ?
2?

?

(4)y=ln(2x+5).

先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而 成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每 一步对谁求导,不能混淆.

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(1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5 由 y=u5 与 u=2x-3 复合

而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2 =10u4=10(2x-3)4.
(2)设 u=3-x,则 y= 3-x由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 1 1 ?1 ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u 2 )′(3-x)′= u 2 (-1) 2 3-x 1 ?1 1 =- u 2 =- = . 2 2x-6 2 3-x
1 2

π (3)设 y=u2,u=sin v,v=2x+ , 3 则 y′x=y′u· v· x=2u· v· u′ v′ cos 2 ? ? ? π? π? 2π? =4sin?2x+3 ?· ?2x+3 ?=2sin?4x+ 3 ?. cos ? ? ? ? ? ?

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(4)设 y=ln u,u=2x+5,则 y′x=y′u· x, u′ 1 2 ∴y′= · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5

探究提高
由复合函数的定义可知, 中间变量的选择应是基本函数的结构, 解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外 层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干 个常见的基本函数,逐步确定复合过程.

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变式训练 3
求下列函数的导数: (1)y=(1+sin x)2;(2)y=ln x2+1; 1 1-cos x (3)y=xe ;(4)y= ; (1-3x)4 (5)y=x 1+x2.



(1)设 u=1+sin x,则 y=(1+sin x)2,

由 y=u2 与 u=1+sin x 复合而成. ∴y′=f′(u)· u′=2u· x cos =2(1+sin x)· x. cos

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(2)y′=(ln x2+1)′ 1 = 2 · x2+1)′ ( x +1 1 1 1 2 x 2 ? = 2 ·(x +1) 2 · +1)′= 2 . (x 2 x +1 x +1
(3)y′=(xe1-cos x)′=e1-cos x+x(e1-cos x)′ =e1
-cos

x

+x[e1

-cos

x

· (1-cos x)′]


=e1-cos x+xe1-cos x· x=(1+xsin x)e1-cos x. sin

(4)设 u=1-3x,y=u 4. 12 则 yx′=yu′·x′=-4u-5· u (-3)= 5. (1-3x)

(5)y′=(x 1+x2)′=x′· 1+x2+x( 1+x2)′ 1+2x2 x2 = 1+x2+ 2= 2. 1+x 1+x

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导数的几何意义
1 3 4 例 4 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程.

求曲线的切线方程方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再 通过点斜式得切线方程.

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1 3 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x2, 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.
1 3 4 (2) 设 曲 线 y = x + 与 过 点 P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3 ? 1 3 4? 2 A?x0,3x0+3?,则切线的斜率为 k=x0. ? ? ?1 4? 2 3 ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x0(x-x0), ? ? 2 3 4 2 即 y=x0· x0+ . x- 3 3

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∵点

2 3 4 2 P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3

3 2 即 x0-3x2+4=0,∴x3+x2-4x0+4=0, 0 0 0 2 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.
2 (3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为:x0=1,x0=± 1. ? 5? 切点为(-1,1)或?1,3?, ? ? 5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- =x-1, 3

即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0.

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探究提高
利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标 可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它 的公共点.

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变式训练 4 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处
与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值. 解 ∵y′=2ax+b,

∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上, ∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1.
?a=3, ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9. ? ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

① ② ③

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审题路线图
一审条件挖隐含
(14 分)设函数 y=x2-2x+2 的图象为 C1, 函数 y=-x2+ax+b 的 图象为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值.
审题路线图 C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数

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↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a ↓(等价转换) (2x0-2)(-2x0+a)=-1 ↓(交点(x0,y0)适合解析式 ?y =x2-2x +2 ? 0 0 0 ? ,即 2x2-(a+2)x0+2-b=0 0 2 ?y0=-x0+ax0+b ? 5 ↓(注意隐含条件方程①②同解)a+b= 2 ↓(消元) ?5 ? ? 5?2 25 ab=a?2-a?=-?a-4? + 16 ? ? ? ? 5 25 ↓当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16 ①



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规范解答 解 (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2, [1 分]
[2 分]

对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′=-2x+a,
设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x2-2(a+2)x0+2a-1=0 0 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
?y =x2-2x +2 ? 0 0 0 ? 故有 ?y0=-x2+ax0+b 0 ?

① [4 分]

?2x2-(a+2)x0+2-b=0 0

② [6 分]

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5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2 ?5 ? ? 5?2 25 ∴ab=a?2-a?=-?a-4? + . 16 ? ? ? ?
5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大= . 4 16

[8 分]

[12 分]

[14 分]

点评 本题的切入点是:两曲线有交点(x0,y0),交点处的切线互 相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.

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方法与技巧
1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与(f(x0))′ 是不一样的, f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值, 不一 定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是 一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导 时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则 对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等 价性,避免不必要的运算失误.

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失误与防范
1.利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别,这里的 x 是常量,Δx 是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与 乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直 线与二次曲线相切时有差别.

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例1.求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点 处的切线互相垂直. 证明:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中 一个交点处的切线互相垂直即可.
? x 2 ? y 2 ? 5, ? ? x ? 3, 解方程组 ? 2 得? 2 ? 4 x ? 9 y ? 72. ? ? y ? 2.

得P(3, 2).

不妨证明过P点的两条切线互相垂直. 3 x . 2-y2=5得, y ? x 2 ? 5, ? y? ? ? k1 ? y? | x ? 3 ? ; 由x 2 2 x ?5 同理由 4x2+9y2=72

所以两条切线互相垂直.

? k2 ? y? |x?3 ? ? 2 . ? k1 ? k2 ? ?1. 3
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y ? 8 ? 4 x 2 , ? y? ? ?4 x . ,得 9 9 8 ? 4 x2
9

例2.求抛物线 y=x2 过点 P ( 5 , 6)的切线方程.
2

解:设此切线过抛物线上的点( x0 , x ),
2 0

y

? f ?( x ) ? 2 x,
2 x0 ? 6 ? 2 x0 , ? k ? f ?( x0 ) ? 2 x0 , ? 5 x0 ? 2

解得 x0 ? 2或3.

P
O

即切点为(2, , , 4) (3 9).
所以切线方程分别为 y ? 4 x ? 4 和 y ? 6 x ? 9. x

“在某点处的切线”与“过某点的切线”意义不 同,注意审题,后者一定要先“设切点的坐标” .
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【1】求曲线 y ? 1 x 3 + 4 过 点P(2,4) 的切线方程.
解:设切线过曲线上的点( x0 , y0 ),
3 3
? y? ? ( 1 x 3 + 4 )? ? x 2 , 3 3 2

? k ? y? | x ? x0 ? x0 , 即切线的斜率是x02 .
2 3 即 y ? x0 ? x ? 2 x0 ? 4 . 3 3
3 2 y ? ( 1 x0 ? 4 ) ? x0 ( x ? x0 ), 所以切线方程为 3 3

又切线方程过点P(2, 4),
3 ? x0 ? 3 x0 2 ? 4 ? 0, 解得x0 ? 2 或 ? 1. ? k ? 4, 或1.

所以切线方程分别为 y ? 4 ? 4( x ? 2), y ? 4 ? ( x ? 2). y ? 4 x ? 4 和 y ? x ? 2. 化简得
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【2】曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程
y ? ? 1 x 或 y ? 2x 是————————. 4

解: f'(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k=f'(0)=2, 切线方程为 y=2x.

(2)当切点不是原点时,设切点是(x0, y0),
3 2 2 y0 ? x0 ? 3 x0 ? 2 x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3 x0 ? 6 x0 ? 2, ① 则有 y0 2 又k? ? x0 ? 3 x0 ? 2, ② x0 3 , k ? y0 ? ? 1 . 由①②得 x0 ? 2 x0 4 y ? ? 1 x. ∴所求曲线的切线方程为 4

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例 3.

k ? f ?(2) ? 13.

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例 3.

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例 3.

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例 3.

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【1】函数 f ( x ) = x( x - 1)( x - 2) 鬃 ( x - 50) 在 ?

( A) 解法一:?y ? x 51 ? ? ? (?1) ?2) ? (?50) x, .(A) 解法一:?yy? x51 ? ? ? ((?1) ??((?2)?????((?50) xx, ? ? x ?? ? ? ?50)
51

y ? 50! x x=0 处的切线方程为______________.
51

??y??? (51x50???? 50),, ? x ? ? ??y1) ?512)50 ? ? ? 50 , ( ? ? x ? ? ( ? 50 x ∴ y ?? xx??0 ? 50! 在原点处的切线方程为 y ? 50 x . ? 51x50 ? ?∴ 50 ,0? 50!.. 在原点处的切线方程为 y ? 50!!x . ? y
x? 0

? 50!. 在原点处的切线方程为 y ? 50! x . f (fx( x) ?(0) ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50 ) ? f f (0) ?(0) lim 解法二:f f?(0) ?? lim x0 0 ? x 0 0 ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50)] x ?0x ?0 x? x? ? f ( x) ? f (0) ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50)] ) ? lim x ?0 ? f?(0)? 50!.x ?050!. 在原点处的切线方程为 y !? 50! x . 在原点处的切线方程为 y ? 50 x . x ? 0 ? f ?(0) ?
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0) ? 50!. 在原点处的切线方程为 y ? 50! x .

【2】 对正整数 n , 设曲线 y ? x n (1 ? x ) 在 x ? 2 处的切线

an 与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 { } 的前 n 项和的公式 n?1
是____________. 2 ?2
n?1

y? ? nx n?1 ? (n ? 1) x n ? k ? y?

? ?2n?1 ( n ? 2). x?2

又切线过(2,

-2n),

? y ? 2n ? ?2n?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2).
n

an ? ? 2n . 令 x ? 0 ? an ? ( n ? 1)2 , n?1 2(1 ? 2n ) ? Sn ? ? 2n?1 ? 2. 1? 2
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【3】点P在曲线y=x3-x+2上移动时, 过点P [ 3π , π). 的曲线的切线的倾斜角的取值范围是 4
k ? 3 x ? 1 ≥ ?1
2

tan? ≥ ?1, ? ? [0, ? ),

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4. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的 值为 2 .
设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0, y0), 则 y0=1+x0, y0=ln(x0+a).
又 y? ? 1 , ? y? | ? 1 ? 1, x ? x0 x0 ? a x?a

即x0+a=1. 又y0=ln(x0+a), ? y0 ? 0, x0 ? ?1.

? a ? 2.

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5.P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, P 到直线
2

2 y ? x ? 2 的距离的最小值是_______.
9. 2

9.? 2 x ? 1 ? 由2 x ? 1 ,? 1,2 x ? ? 1. 切点为(1,1), 由 得 x 1 ? 1, 得 x ? 1. 切点为(1 ? 2 y, ? 2 x y

x

x

x

|1 ? 1 ? 2 | |1 ? 1 ? 2 | ? 2. 它到直线 y ? x ? d ? 它到直线 y ? x ? 2 的距离为2 的距离为 d ?? 2. 2 2

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6. 若曲线 y ? x

?1 2

在点 ( a , a

?1 2

) 处的切线与两个坐标围成
.

的三角形的面积为 18,则 a ?

64

1 ?1 3 3 3 1 ?3 1 ?3 1 ?3 1 x ? 2 ,? k ? ? 1 a ? 2 ,切线方程是 y ? a ? 2 ? ? 1 a ? 2 ( x ? a ) , y '' ? ? x 2 ,? k ? ? a 2 ,切线方程是 y ? a 2 ? ? a 2 (3x ? a ) , 1 y ? ? 2 1 ?3 ? 2 1 ?3 2 2 x 2 ,? k ? ? a 2 ,切线方程是 y ? a 2 ? ? 1 a ? 2 ( x ? a ) , 2 2 y' ? ? 2 2 2 1 3 ?1 令 x ? 0 , y ? 3 a ? 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a , 令 x ? 0 , y ? 2 a 2 ?,令 y ? 0 , x ? 3a , 3 1 2 令 x ? 0 , y ? a 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a , 2 1 1 3 ?1 1 ? 3a ? 3 a ? 2 ? 18 ,解得 a ? 64 . s? 所以三角形的面积是 Ss ? ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 . ? 1 2 3 ?1 所以三角形的面积是 S ? 2 2 s? ? 所以三角形的面积是 S ? ? 3a2 a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 . 2 2

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7.如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 A B C ,其中 A , , 的坐标分别为(0,4), BC
f (1 ? ?x) ? f (1) ?2 lim ? ____ . (2,0),(6,4),则 ?x?0 ?x

f (1 ? ?x ) ? f (1) ? f ?(1) ? ?2 lim ?x ? x ?0

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8.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数,有下列命题:

①存在函数 f ( x) ,使函数 y ? f ( x) ? f '( x) 为偶函数; ②存在函数 f ( x)( f '( x) ? 0) ,使 y ? f ( x)与y ? f '( x) 的图象相同; ③存在函数 f ( x)( f '( x) ? 0), 使y ? f ( x)与y ? f '( x) 的图象关于 x 轴对称. ①②③ 其中真命题的序号是____________.
2 2

12.①②③ 对于①,存在 f ( x ) ? x 2 ? 2 x , 则有 y ? x 2 ? 2 ; 12.①②③ 对于①,存在 f (2x ) ? x ? 2 x , 则有2 y ? x ? 2 ; 对于①,存在 f ( x ) ? x ? 2 x , 则有 y ? x ? 2 ; x x x 对于②,取 f ( x ) ? e x , 则 y ? e x与y ? e x 的图象相同; 对于②,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? e 的图象相同; 对于③,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? ? e 对于③,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? ? e 关于 x 轴对称. 关于 x 轴对称.
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?x ?x
?x ?x ?x 的图象 ?x

的图象

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1. (2008 辽宁) P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点, 设 且曲线 C 在点 P
2

[?1, ? .] 处切线倾斜角 ? 的取值范围是 [0, π ] ,则点 P 横坐标的取值范围是 2 4

1

解析 设切点 P 的横坐标为 x0 ,且

y ' ? 2 x0 ? 2 ? tan ? ,

0 ≤ 2 x0 ? 2 ≤ 1. ∴ x0 ?[?1, ? 1 ]. ? x0 ?[?1, ? 12 ]. 2

?? ?[0, π ], ? ∵ ? ?[0, 4 ] ,∴ 0 ≤ 2 x0 ? 2 ≤ 1 , 4

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2.(2009 陕西)设曲线 y ? x
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为

xn ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

-2

.

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ? ? ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 令y=0得切点的横坐标:xn ?

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3.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交 点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ? ? ? xn 解析: 对 y ? x
n ?1

1 的值为 n ?1

.

(n ? N * )求导得y ' ? (n ? 1) x n ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的

斜率 k ? n ? 1 ,在点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? k ( xn ? 1) ? (n ? 1)( xn ? 1) , 不 妨 设

y ? 0,

xn ?

n n ?1 则

x1 ? x2 ?? ? xn ?

1 2 3 n ?1 n 1 ? ? ? ... ? ? ? 2 3 4 n n ?1 n ?1

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e2 x ??

【阅后报告】 本题考查了求函数的导数 4.(2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y ? x 4 上, ? 为曲线在点 - e ? 1 3π 最值的求法, [ , π) 解题的难点是求 y′= x ?e + . P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 4 x 4x ?? 6.(D) y ? ? ? 2 x 4e 的范围,本题利用两次换元,也可利用下 , 4e 4 1 ? ? 1 4 x x y e 6.(D) ? 1 4e x ? 2e? ? ? ? ?4 ex ? 2 ? x,∵ex+ x≥2, 2 方法,y′=-? 2e x ? 1 y? ? ? 2 x e x 1 e x x e x e? 2 ? 解析 4e 4 e ? 2e ? 1 , e x ? 2 ? 1 + x+2 e x? ? x 4e 4 x ex e 1 ? 2x ? 2e ? 1 x x e?1 2 ? x ? ,4 ? x , ? ? ? e ?e ??1 ? 1 ≥ 2, ??1 ≤ y? ? 0 , e ? 2e e 1 x ≥ 2, 2 ∴0<≤ y? ? 0≤1,∴-1≤y′<0. ? ex x 1 ? x e e e +ex+2 ex

x

≥ 2, 1

ex an ? ? 0 ,?? ?[ 3π , π)? 3 . ). 4 ?1≤ tan ? ? 0 ,?? ?[ , ? 4
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?

??1 ≤ y?1≤ tan? ? 0 ,?? ?[ 3? , ? ) . ? , 即 ? ≤0 ? ? 0 , 即 ?1≤ tan ? ? 0 ,?? ?[ 3? , ? ≥ 2, ??1 y 4
4

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x -4ex -4exxx x 4 44 -4e x -4e 44 【解 【解 2】∵y=,∴y′= x 2】∵y= x .xx 解析 2x -4e ... 【解 2】∵y=exxx ,∴y′=?ex +1?222 . 【解 2】∵y= x+1 ,∴y′= x 2 2 e +1 e +1 ,∴y′= +1? 【解 2】∵y= x+1,∴y′=?e +1? 2 eexx+1 ?e +1??e x+1? ?e xx xx xxx xxx 且 t>1, 令 ex+1=t,则 e =t-1=t-1且 t>1, 令 ee+1=t,则 ee=t-1 且 t>1, 令 e e+1=t,则 e ex=t-1且 t>1, 令 +1=t,则 =t-1 且 t>1, 令 x+1=t,则 -4t+4 4 4 4 4 -4t+4 . 4 4 -4t+4 4 4 -4t+4 ∴y′= 2 ∴y′= -4t+4 2224 t ... 2 ∴y′= =22-=t2- t 4. ∴y′= tt22t 2 = t 2- t t = 2- t ∴y′= t 2 =t - t t t 1 11 0<m<1, 11 再令 t =m,则 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, ? ? 1???? 1????? ??2 11-1,m∈(0,1). 22 ∴y′=4m2-4m=4?m-2??m- 1???2?2? -1,m∈(0,1). ??? ? 222 ? ? ?? ∴y′=4m -4m=4????m-2???2?2-1,m∈(0,1). ∴y′=4m -4m=4???m-2? ?2?2-1,m∈(0,1). ∴y′=4m -4m=4 m- -1,m∈(0,1). ? ∴y′=4m2-4m=4? 2??? ? ??? ? ?? 2? 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 3 33 33 ∴-1≤tan α<0,得 π≤α<π. 4 ∴-1≤tan α<0,得 4π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 4 π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 4 π≤α<π. 4

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数学是人类最高超的成就, 也是人类心灵最独特的创新。 音乐能激发或抚慰情怀, 绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦, 哲学使人获得智慧, 科学可改善物质生活, 但数学能给予以上的一切。
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三、高中的解题方法和数学思想

(一).高中数学常用的解题方法。 1.换元法 2.待定系数法 3.定义法 4.数学归纳法 5.参数法 6.反证法 7.消去法 8.分析与综合法 9.特殊与一般法 10.类比与归纳法

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三、高中的解题方法和数学思想

(二).高中数学常用的数学思想 1.数形结合思想

2.分类讨论思想
3.函数与方程思想

4.转化(化归)思想

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三、高中的解题方法和数学思想

高中数学解题基本方法(简介) 1.配方法:配方法是对数学式子进行一种定向变形 (配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知 和未知的联系,从而化繁为简。合理运用“裂项” 与 “添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。 有时也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出 现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有 二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式 的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变 换等问题。 主页 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平

三、高中的解题方法和数学思想
2.换元法:
把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而 使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是 构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问 题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变 量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或 者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的 计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化 无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、 函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法:局部换元、三角换元、均值换元等。 主页

三、高中的解题方法和数学思想 3.待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列 出等式或方程。

应用范围:分解因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等, 使用待定系数法解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数 的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问 题得到解决。
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三、高中的解题方法和数学思想
4.定义法

所谓定义法,就是直接用数学定义解题。 数学中的定理、公式、性质和法则等,都是 由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内 涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事 物的本质属性来明确概念。 定义是基本概念对数学实体的高度抽象。 用定义法解题,是最直接的方法。例如判断 一个图像是否为函数,判断一个函数是否为 指数函数或对数函数等等。
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三、高中的解题方法和数学思想 5.数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维 方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关 的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着 广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,其 步骤为: (1)证明命题在n=1(或n)时成立; (2)假设在n=k时命题成立,证明n=k+1时命 题也成立。 运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自 然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、 数列问题、几何问题、整除性问题等等。
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三、高中的解题方法和数学思想
6.参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一 些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参 数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而 解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参 数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例 子。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟 通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的 信息,顺利地解答问题。

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三、高中的解题方法和数学思想
7.反证法 反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题 结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑 推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法 则或者已经证明为正确的命题等相矛,从而使命题 获得了证明。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推 理→否定”。实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系 列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题 成立。
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三、高中的解题方法和数学思想
1.数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹 数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不 等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知 识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数 形结合的知识,主要体现是解析几何。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学 语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题 与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几 何化,几何问题代数化。

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三、高中的解题方法和数学思想 2.分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情 况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然 后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一 种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是 一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零 为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思 想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高 考试题中占有重要的位置。

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三、高中的解题方法和数学思想

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分 类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、 法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如 等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。 这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同 取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a= 0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
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三、高中的解题方法和数学思想

进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类 的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复, 科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要 的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,其基本方法和步骤是: 1.要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围; 2.确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统 一、不漏不重、分类互斥(没有重复); 3.对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段 性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。

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三、高中的解题方法和数学思想 3.函数与方程的思想方法 函数思想,是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题 中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或 方程与不等式的混合组),然后通过解方程 (组)或不等式(组)来使问题获解。有时, 还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解 决问题的目的。

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三、高中的解题方法和数学思想
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、 应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中 考查的重点。 常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有 关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题, 利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问 题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数 关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数 学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等 知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项 和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以 用函数方法解决。
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三、高中的解题方法和数学思想
4.转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围 内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化, 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模 式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见, 我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解 决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过 程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原 问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结 论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根), 它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我 们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要 求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。 主页


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