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2004年上海市IT杯高二年级数学竞赛


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3  2

中 等 数 学 

2 4 上 市T杯 二 级 学 赛 0 年 海 I高 年 数 竞   0
个 人 赛 




填空题( 1 4题各 6 第 5 8 第 — 分, — 
, 2

、3    

5使得不等式 9 +1 <1 .   0   1  成立的正  整数n的最小值是— — .   6将 s 204 )化为 s . i   2 。 n( 0   i n口( 9。   一 0<
a 0)则 口=— — . ≤9o,   7 已 知  、Y . 、2∈ R,xz = l y ,且 

题各 9 共 6 分) 分, 0  

1 . 方程  + =I l的一个正根是      
、   【,  

+ + =. Y z 0则这三个数中最大数的最小值 
是— — .  

( 精确到 0001, 中 7是圆周率, .  )其 c 0   e 278 8 = .   …是 自然对数的底 . 12   2某乡改革开放后, 民生活水平普遍  . 农 提高 . 经调查, 该乡有洗衣机、 冰箱、 彩电的农  户分别占全 乡农户总数的 7%、 %、1   7 8 9 %; 0 又知拥有冰箱和洗衣机、 彩电和洗衣机 、   彩电 和冰箱的农户分别 占全乡农户总数的 5 %、 8   7 %、 %; 、 0 7 冰箱 洗衣机、 2 彩电都没有的仅 占   1 则该乡农户 中, %. 冰箱、 彩电、 洗衣机都有  的占— — %.   3公元前 20 . 4 年左右, 古希腊数学家埃  拉托色尼住在亚历山大城 ( 1 图 中的点 A . )   据测量夏至正午太 阳光偏离该地铅垂方 向   72; . 他又了解到 , o 该城正南 80 m处的塞尼  0  k 城( 1中的点  ) 图 夏至正午太阳正好悬在头  顶. 由此, 出了地球经线的周长和半径 . 他算   请你 计算 一下 , 球 经线 的周长 为— —   地 k, m 半径为— — k ( m 精确到 1 m .   ) k  

8如 图 3在建造一个截面为抛物线形  . , 隧道时, 用了三种  规格 的正方 形支  M  架. 如果抛物线方 
程 为 Y: 一 +     C 正 方 形 A C  , BD
, 

的边 长与 正方 形  E G 的边 长之 比  FH 为 5 1则正方形  :, M P 的 边 长 为  NQ 二 (0分 ) 图  2 如



 

D  D  

C ’ r j  

图3  

4 已知 (0 中的弦 A   A , 三 ) B   将圆分 成 面积为 1 3 : 

塞尼城 
图 1   蜀2  

4幂函数 Y   , a . = 。 当 取不同的正数时,   在区间[,] 0 1上它们的图像是一族美丽 的曲   线( 如图 2 . )设点 A 1 )B 0 1, ( , 、 ( ,)联结 A   0 B, 线段 仙 恰好被其 中的两个幂 函数 Y= ,  。   Y   的图像 三等分 , : 即有 B =P M I N:N . A  那么 , +8 — — , = — ( a I =   — 要求精确 
到 00 1 . . ) 0  

的 弓 形. 圆 心 角 求   A B的大小( O 要求精  确到 1 001   . 弧度) 或 0 .   图4   三、2 分) 1 , (0 把 ,   2 2 0 这 2 0 个正整数随意放置在一个   4  4 0 0 圆周上 , 统计所有相邻 3 个数的奇偶性得知,   3 个数全是奇数的有 60 恰好有 2 0 组, 个奇数  的有 50 . 恰好有 1 0 组 问: 个奇数的有几组?   全部不是奇数的有几组?   四、 0 集合  ( 分) 2 A ( YI +   1 一6 + 1 0, ={ )  ,   Y 一 0 1 8 < } x y  




B={ Y l≥l —t + } ( )y     8 .  ,   l  

() An ≠f, 实数 t 1若    2 求 j 的取值范 
围;  

() 2设点 P t ) , (, ∈A 集合 A   所表示  8 、 的两个平面 区域的边 界相交 于点 肘、 求  Ⅳ.

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20 年第 3 05 期 

3  3

I I P   一 。   朋 +INI 。    的最小值 . 一
团 体 赛  (0 已知  2 分) 厂 =( (  )  一1( 2 … ?(   4 . )  一 ) ?  一2 o ) 0   问: 有多少个实数 , l )=1 使得   I 7 (   二、2 分) ( 0 集合 M={ , , 1 02. 1 2 …, 00 }   2     问: 能否把集合  分拆成 2 个非空子集 A  、 B 同时 , , 满足 


三、 设恰好有 1 个奇数的有 组. 则全部不是奇 
数的有 2 0 — 0 — 0 一 94 .   4 60 50  = 0 一   0 将圆周上的数从某个数开始 , 依次记为 。 , ,    


, 2科  



令  f , 当 毛 为奇数时 , —l  



Y 【 , 当 为 数时  i l   偶 .  .  
贝 Y +y +…  Y = , ⅡI 2 2 0且   
A   Y Y + Y +  l+ i l+ i2

r 3 当 五、 。 2 一,  +、 全为奇数时 ,  +  


() 1AUB=M, AnB= ;    

l l  、+  ̄2 好 个 数   — ,当   。f 恰 有2 奇 时, 、+ i ll 当 毛lf2 有1   ,  、 +  ̄ 恰好 个奇数时,   、* i  
L3  
,  

当 、   +全为偶数时 .    +、 2  

() A与集合B的元素和相等. 2集合   (2 l   .   科+ = )   若可能 , 指出具体的分法, 并给出证明;   则 0 (l 2 =3Y +y+… +Y ) 2     若不能 , 说明理由.   = AI A2+ … + A2o +  4 o  三、 ( 如图 5 有 2 (} 2 分) , 个长方形的金属  =一 × 0 —50  + ( 4  ) 3 60 0 + 39 一 . o   片零件 A C 和 E F BD C G放在直角 坐标平 面   解得  = 0 ,0 一 68  2694  = 9 . 因此, 恰好有 1 个奇数的有 26 全部不是奇  0 组, 上, 从原点 0发出的激光将对零件作切割.   数 的有 68 . 9组   如果激光( ) Z一次 
从 2个 长方形 上  切割下 的 2个 金 
四、1 () 集合 
A={ , I 5  , )<(  )} ( , ( )+(,   2   .  , )  一 一8   当射线 Y  —t 8 ≥t与  = +( ) 圆(  一5 ) Y )=(  )  +( 一8  2  相切时 , 有 
图5  
— —— — _ —— — — ;: — 一

属零件 ( 均在 Z 上  方) 的面积恰好相  等, 激光 ( ) 求 Z 所  在的直线方程.  

I 5—8一t +8  , I '   √  2

= ZV .    

解得 t 或 t ( =l =9舍去) .   当射线 Y — + ( ) =t  8 ≤t与  圆( )+( 一 )=(  )  一5  Y 8  2   相切时, 有 
I 5+8一t 一8  , I '  
— —— —= —— 一 — — ? — = V     .  

参 考 答 案 
个 人 赛 




1 3 1 16 2 5   3 4  0   6 3 6 4  . .4     .1 .00 0  6   .

309  55 6 一 6 7 或 1 8  8  .  l . . 3 ̄   7   .7 5 4 .


√   2

2 0069 或 .   0   二、 0O 的半径 为 r 为 劣弧  上 一点 , 设 ,    

解得 t ( =l舍去) t 9  或 =. 所以, 的取值范围是 l < . t <t 9 

m循的弧度为 a则  .
|弓   = |囊 0^ s 形^“ s 形 IB一 | 伽   n E s △
1 口/2 .
一  

1 2    

 ̄ n r sl 口

.  

() 2如图 6设集  , 合 A所表示的圆与  轴平行的直径为 C   D, 的延长线 与圆的  另一个交点为  . 则 
l   l  

  I



 

。  



 

则 a r   /   吉/ 1s = 丌即 .  - 12 2 2a . 一   ̄ n ,
丌  口 一  .   = sn 口 ? l  

I f   I。I 』     VI P

≥ ,  杀  ,  
2  

D  

f5   

令 = 一 ,Ⅱ = 0   a  贝   c  . s 利用计算器算得 一 . 91 O 3 弧度. 7  

图6  

√P P   M- N'
2  


从 a + 2 l 度 . 而,= 罢一.( ) 3弧  



/ .D - p  -  ̄

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中 等 数 学 
≥ 


=  


= 

4  
.  

2  

当 £5 , = 时 上式等号成立 .   故  + 丽1 的最小值为 
.  

团 体 赛 




如图 7画出函数  ) , 的草图.  
J  

图8  

J  ,

因为 . t =. , , s   s - 而  △   G

1  

|  /
、 f    

f  l

厂  3 一 主0 ,   0 

《}   

R t△ A  D G   △ G G . 。 O Rt    

故 R △ ACD R △ GFG. t  '  t  '  

D  /3 4   2 0   2o-  q2  f  l   2 o/ /4 0  


由9 G ,{一: 7 以 /:F得 4 ( ' 7  一. , 所  

】  / /U   u\    V
图7  

.2 了号. } 3   1  【,) = 了 ( k .k即 ≤< 时设 与  2 o 1 o 导 . ,22 ) e} F 1 当 ≤< }  
个金属片零件的边界分别交于点  、 、 、 (       如 

由图像知, 1 2 O 之间的每 2 在 ~  4 O 个相邻整数 
之间 , 2 有 个实数使得 l )=1   l .  

图) 知 4k T4 7k 8易  (4, 4) ,) , ,) ,, 7,  (  (  
B (0 1k .  1 , ) 0   由 .r.=.边 s c s   △ D 口
1  

在(,) 2 O, 01及( O4 +*)   中各有 1 个实数 ,   使
得 l ) =1   l .   因此 , 203 2 +1 4 0 个实数 , 共有   × +1 =   8 0 0 使  得 1( l 1 厂  ) = .  


得 

I—(4=[ 7+—k3 T44k÷( k(1] 4 )-) 6 )6o? — ),  



6k 一 8 7   6k+1 = . 6 0  

二、 结论是肯定的.  
因为 1 +     2 +… +1 0    0 O

解得  =  


06426 030 6 . .4  或 .7  9 5 6  

言  0 10× 13 30,  10× 120=38 0 0 0 0 335  
所以 , 3   5 0 3 3 — 83 0 3






1 69 6 7 0   6   1  5 .

而 1+     2 +… + 92 6 1 70 73 <16 6 5  9   <1 +     2 +… + 92 6  075 7 4=1 1   . 77 4 

易 . 【,) 时可 . 知。 号了. 不能 } 1 , 3此   芒   ( ‰ .k即 .号 ,22 3 <<E  << 时 与  ) 1o 当 } 1 设 }
个金属 片零 件的边界分别交 于点 A 、 、 (      如图 

则 1710 4 —16 1 70 6 7  5 6  6 5  7 9 


8易  ,) ( ,,(,.  ) 知A4k 、 4  11) , (4 ,   1 00. T/ 4  1 }
由 . r_=. 边 脚 粥, s ℃D s 形 △ 五 得 
Sa- z%, s , , s边 嘲 o:. 形 四 一. 矿 - . s     △ c

2 39 5 0  +3  +5 . 5  9 =5 3 1   

取 A 1, , 7 } { ,1 53} ={ 2 …,  2 舛2 、 5 3 , 2 , 2  0   B={ 5, 6, 1 0 } 5,  53} 7  7 2…,00 U{ 3 , 2. 9 9      1 0   则这样的 A B满足题设条件. 、  

三 知 =, 号 号‰ 号 有 、 ‰  =, ,= . 易  =  
设直线 2 的方程为 '   . , =  

则 (—( 4 丢T 44k 4 )—)   = (一 ) . ) 6 1T(1 . 一 04 1一   04 }
2k 一 1 + : . 9  3k 8 0  

解   =专 翌 03或. . 得     一.  03 65 4  3 5

(当 ≤≤ 即 .粤 , 与  1  .‰, 1 时设22 ) 1  ≤≤ } }
个金属片零件的边界分别交于点 A、 、 , (    G、 如   

只后 有=  
,= 2缄 ,   ,了 , ;

∈ ,) ( 号. 詈  
.  

综上所述, 欲求的直线方程为 

图 ) 知A4k GT4 G7k 8易  ,),4) ,,) . (4, (,, (7,   (,. 睾6 )  

( 顾鸿达 提供)  


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