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第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷附答案


2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
总分 200 分 考试时间 180 分钟
一、 (20 分,每小题 10 分) 1、如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与球 B 之间用线相连。球 B 与 球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC,弹簧与线的质量均可不计。开始时它 们都处在静

止状态。现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。

2、两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极如图所示。开始时平板及磁铁皆处于水平 位置,且静止不动。 (i)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触) ,并使之停在 A′B′处,结果发现 两个条形磁铁碰在一起。 (ii)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移,并使之停在 A″B″位置处,结果发现两条形磁铁也碰 在一起。 试定性地解释上述现象。

二、 (20 分,每 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 (i)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路 示意图。 (ii)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在示意图 2 中画 出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。 (iii)300 度的老花镜的焦距 f= m。

2、 有两个凸透镜, 它们的焦距分别为 f1 和 f2, 还有两个凹透镜, 它们的焦距分别为 f3 和 f4。 已知,1>f2>|f3|>|f4|。 f 如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的正 立的像,则应选焦距为 的透镜作为物镜,应选焦距为 的透镜作为目镜。

三、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、如图所示,电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处,电荷量为 q2 的正点电荷固定在 x 轴上,两 电荷相距 l。已知 q2=2q1。 (i)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (ii)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动和被 限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。

2、有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变化的图线如图 1 所示。试在图 2 中画出该静电场 的场强 E 随 x 变化的图线 (设场强 沿 x 轴正方向时取正值,场强沿 x 轴负方向时取负值) 。

四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处在 大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如图 所示。假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细 管中的气体泄出。当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管 的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。

五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负 电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件,即 mrv=n

h 式中 n 称为量子数,可取整数 2?

值 1,2,3,…;h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。

六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1 轮的辐条 长为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半 径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕 足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P。当 P 下落时,通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。转动过程 中,A1、A2 保持接触,无相对滑 动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与 转轴平行。现将 P 释放,试求 P 匀速下落时的速度。

七、 (25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的轴线在 O 处。圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B。筒壁的 H 处开有 小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒 的半径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P 与 筒壁碰撞是弹性的,P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少, 问: 1、P 的速率应为多少? 2、P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

八、 (25 分)图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水平的,截面的边长都是 l。一 根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球,初始时,手持小球,将绳 拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0,使小球与 CB 边无接触地向下运 动,当 v02 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?
2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl 2 2、 v0 ? 2(3 3 ? 11 gl )

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

九、 (25 分)从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用 的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=- G Mm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量。
2a

1、假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之 间的夹角表示) 。 2、若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? 3、试导出 E=-G Mm 。 2a

06 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准
一、参考答案 1、线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1) 弹簧 S2 的弹力 F2=mcg (2) 在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变化,但线的拉力 消失。设此时 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC, 则有 F1-mAg=mAaA(3) F2+mBg=mBaB(4) F2-mCg=mCaC(5) 解以上有关各式得 aA=

mB ? mC m ? mC g,方向竖直向上(6);aB= B g,方向竖直向下(7);aC=0(8) mA mB

2、开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 (i)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加速移动,板与 磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在 这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小, 最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板 相向运动并吸在一起。接着,磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直线停在 A′B′处。 在这过程中,磁铁对板的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的 弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 (ii)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初,板和磁铁一起作加速 度方向向上、速度向上的运动。在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每个磁铁的磁力 与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动。接着,磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向 上的运动,直线停在 A″B″处。在这过程中,磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小,向下的加 速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小 到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准: (本题 20 分) 1、10 分, 、 、 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2、10 分, (i)5 分, (ii)5 分, (必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不给 分) 。 二、参考答案

1、 (i)

(ii)

(iii)

1 3

2、f1,f4

评分标准: (本题 20 分)1、12 分, (i)4 分, (ii)4 分, (iii)4 分。 给这 8 分,否则 0 分。 三、参考答案

2、8 分。两个空格都填对,才

1、 (i)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标为 x0,

则有 k

q1 q2 =k 2 x0 (l ? x0 ) 2

(1)

已知 q2=2q1 (2)

由(1)(2)两式解得 x0= ( 2 ? 1)l (3) 、 (ii)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分别为 E10= k

q1 2 x0

E20= k

q2 ,且有 E10=E20,二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零,故 P 点 (l ? x0 ) 2

是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 x=x0+△x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为 E′1= k

q1 q2 <E10 方向沿 x 轴正方向 E′2= k >E20 方向沿 x 轴负方向 2 ( x0 ? ?x) (l ? x0 ? ?x) 2 q1 q2 >E10 方向沿 x 轴正方向 E″2= k <E20 方向沿 2 ( x0 ? ?x) (l ? x0 ? ?x) 2

由于 E′2>E′1,x=x0+△x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 x=x0-△x 处,q1、 q2 的场强的大小分别为 E″1= k

x 轴负方向 由于 E″2<E″1,x=x0-△x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。 由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向都指向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两侧附近,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的主向都背离 P 点, 因而带正电的点电荷在 P 点附近受到沿垂 直 x 轴的分量的电场力都背离 P 点。所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2、如图 评分标准: (本题 20 分) 1、12 分, (i)2 分 (ii)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时, 正确论证 q0>0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 3 分;正确论 证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平 衡位置,占 3 分。 (未列公式,定性分析正确的同样给分)当 q0 被限制在垂直于 x 轴方向运动时,正确论 证 q0>0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 2 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分。 2、8 分。纵坐标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标的数值、图线与参考解答不同,正确的同样给分。 四、参考解答: 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后,气柱将因水银柱 压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x),根据玻意耳定律,此时空气柱长度 L′ =

HL H?x

(1)

空气柱上表面与管口的距离 d=L-L′=

L x H?x

(2)

开始时 x 很小,由于 L>H,故

d >1 H?x

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止。何时水银 柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论。

1、水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管,此时水银柱的长度 x≤l, 由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL (3) 由(3)式可得 x=L-H (4) 由此可知,当 l≥L-H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值 xmax=L-H(5) 2、 水银柱表面与管口相平时, 一部分水银进入水平管, 此时注入水银柱的长度 x>l, 由玻意耳定律有(H+l)(L -x)=HL (6) x=

Ll H ?l

(7)

l<x=

Ll (8) H ?l

由(8)式得 l<L-H 或 L>H+l (9)

x=L-H

L <L-H (10) H ?l

即当 l<L-H 时,注入水银柱的最大长度 x<xmax。 由上讨论表明,当 l≥L-H 时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为 xmax,即(5)式。 评分标准: (本题 20 分) 正确论证当 l≥L-H 时,可注入的水银量最大,占 13 分。求出最大水银量占 7 分,若论证的办法与参考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子间的库仑力是 2
(1)

电子作圆周运动所需的向心力,即 k

e2 v2 ?m (r / 2) r2

正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有 Ek+=Ek-=

1 2 mv (2) 2
(4)

e2 正、负电子间相互作用的势能 Ep=- k r

(3) 电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep

1 e2 h 由(1)(2)(3)(4)各式得 E=- k 、 、 、 (5) 根据量子化条件 mrv=n n 2 r 2?

n=1,2,3,… (6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关。由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为 rn=

n2h2 2? 2 ke 2 m

n=1,2,3,…… (7)

n2k 2e4m 代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 En= n2h2

n=1,2,3,…… (8)

n2k 2e4m n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为 E1=- h2 3 n 2k 2e4m n=2 是第一激发态,与基态的能量差△E= 4 h2
(10)

(9)

评分标准: (本题 20 分) (2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答:

P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过两个轮子之间 无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线,所以在 A1 产生由 周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭合电路。A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力。不难看出,安培力产生的电磁力矩是阻 力矩,使 A1、A2 加速转动的势头减缓。A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电 磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动, 此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度 ?1 ?

v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度ω 2 与 A1 的角速度ω 1 之间的关系为ω 1a1=ω 2a2 (2) A1 中每根辐条产生的感应电动势均为 ? 1 ?

1 2 Ba1 ?1 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为 ? 2 ?

1 2 Ba 2 ? 2 (4) 2

A1 中, 每根辐条的电阻为 R1, 轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联, 其数值为 RA1= (5) 值为 RA2=

R1 4

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数

R2 (6) 4

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为 I=

?1 ? ? 2
R ? R A1 ? R A2

(7)

1 ) Ba1 (a1 ? a 2 )v 2a 0 以(1)至(6)式代入(7)式,得 I= (8) R1 R2 R?( )?( ) 4 4 (
当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即

R R mgv=I (R+ 1 + 2 ) 4 4
2

(9)

以(8)式代入(9)式得 v=

m g(4 R ? R1 ? R2 )a0 B 2 a1 (a1 ? a 2 ) 2
2

2

(10)

评分标准: (本题 25 分) (1)(2)式各 2 分, 、 、 (3)(4)式各 3 分, 、 、 (5)(6)(7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10)式 3 分。 七、参考解答: 1、如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒子 P 带正电,其速率为 v。P 从小孔射入 圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞,是不可能从小孔射出圆筒的。但 与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出。在此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、 MN 和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN,如图 2 所示,由于 P 沿筒的半径方向入射,OM 和 ON 均与

轨道相切,两者的夹角 ? ?

2 ? (1) 3

设圆弧的圆半径为 r,则有 qvB=m

v2 (2) r

圆弧对轨道圆心 O′所张的圆心角 ? ?

?
3

(3)

由几何关系得 r=Rcot

? (4) 2

解(2)(3)(4)式得 v= 3qBR (5) 、 、 m 2、P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 s=β r(6) ,经历时间为 t1=

s (7) v
(9)

P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 t=3t1 (8)

由以上有关各式得 t=

?m qB

评分标准: (本题 25 分)1、17 分, 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 3 分, (5)式 5 分。2、8 分, 、 、 、 (6)(7)(8)(9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后, 由于细绳处于松弛状态, 故从 C 点开始,小球沿竖直方向作初速度为 v0、加速度为 g 的匀 加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点时,绳刚被拉直,匀 加速直线运动终止。此时绳与竖直方向的夹角为α =30?。 在这过程中,小球下落的距离 s=l+2lcosα =l(1+ 3 ) (1) 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:v12=v22+2gs (2) 在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的,故小球沿细绳方向的分速度 v1cosα 变 为零,而与绳垂直的分速度保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度 v1′=v1sinα =

1 v1 (3) 2

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示,由(1)(2) (3)式得 、 、 v12=

1 2 1 v0 ? gl (1 ? 3 ) 4 2

(4)

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角 为θ ,由能量关系有

1 1 ? mv1 2 ? mv 2 ? mg ( 3l ? 2l s i n ) (5) ? 2 2
用 FT 表示绳对小球的拉力,有 FT+mgsinθ = m

v2 2l

(6)

2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl

设在θ =θ 1 时(见图 2) ,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v=u1。以此代 入(5)(6)两式得 、

? v1 2 ? u12 ? 2g ( 3l ? 2l s i n 1 ) ?

(7)

mgsinθ 1=

u12 (8) 2l
(9) u1=

由(4)(7)(8)式和题设 v0 的数值可求得θ 1=45° 、 、

2 gl

(10)

即在θ 1=45°时,绳开始松弛,以 N1 表示此时小球在圆周上的位置,此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以 大小为 u1,方向与水平方向成 45°角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平向右,y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处抛出的 时刻作为计时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为 x=u1cos45°t=

2 u1t (11) 2

y= u1sin45°t-

1 2 2 1 gt = u1t- gt2 (12) 2 2 2

x2 x2 由(11)(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:y=x-g 2 =x- 、 (13) u1 2l
AD 面的横坐标为 x=2lcos45°= 2 l (14)

由(13)(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 (15) 、 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为 y=-(2lsin45°-l)=-( 2 -1)l(16) 把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l (17) 撞击点与 D 点的距离为△l=x-2lcos45°=0.35l (18) 2、v02=2(3 3 +11)gl 设在θ =θ 2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v=u2。以此代替(5)(6)式中的θ 1、 、
2 ? u1,得 v1 2 ? u2 ? 2g ( 3l ? 2l sin ? 2 )

(19)

msinθ 2=

2 u2 (20) 2l

以 v02=2(3 3 +11)gl3 代入(4)式,与(19)(20)式联立,可解得θ 2=90° (21) 、

u2= 2gl (22)

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中的拉力不 断增加,拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力,小球将绕以 D 点为圆心,l 为 半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, 、 (5)(6)式各 1 分, 、 (9)(10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边上,给 3 分,得出小球能打在 DC 边上,给 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分。求出 (21)(22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再给 2 分。 、 如果学生直接从抛物线方程和 y=-(2lsin45°-l)=-( x=1.75l,同样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考答案:

2 -1)l 求出

1、这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动。 如果导弹能打到 N 点,则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发 射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因此导弹的发射速度 (初速度 v)必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性,注 意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长辆是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质 量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球构 成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-

GMm (1) 2a

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦点到椭圆上任 一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径 R,只要位于长轴上的另一 焦点到 C 点的距离最小。该椭圆的半长轴就最小。显然,当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2a=R+

2 R (2) 2
(3)

设发射时导弹的速度为 v,则有 E=

1 2 GMm mv - 2 R
(4)

解(1)(2)(3)式得 v= 、 、

2GM ( 2 ? 1) R



GMm =mg (5) R2
(7)

比较(4)(5)两式得 v= 2 Rg ( 2 ? 1) 、

(6)

代入有关数据得 v=7.2km/s

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线,平分两焦点到该 点连线的夹角∠OCP,从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角θ =90?-

1 ×45?=67.5? (8) 2 2?R T
(9)

2、由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 vC=

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故 vC=0.46km/s (10) C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC, 为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)(8)两式的要求,导弹相对于地面(C 点)的发射 、 速度应有一大小等于 vC、方向与 vC 相反的分速度,以使导弹在此方向相对于地心的速度为零,导弹的速 度的大小为 v′= v ? vC
2 2

(11) 代入有关数据得 v′=7.4km/s (12)

它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)(8)两式。 、 3、质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近地点和远地点 有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm = m v2 ? m v1 ? 2 r1 2 r2

(13)

1 1 r1 v1 = r2 v 2 2 2

(14)

式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将(14)式中

1 2 r22 GMm 的 v1 代入(13)式,经整理得 mv2 ( 2 ? 1) ? (r2 ? r1 ) 2 r1r2 r1

(15)

注意到 r1+r2=2a

(16)



1 2 GMm r1 (17) m v2 ? 2 2a r2
GMm 2a
(19)

因 E=

1 2 GMm m v2 ? 2 r2

(18)

由(16)(17)(18)式得 E=- 、 、

评分标准: (本题 25 分) 1、14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, 、 (6)(7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2、6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3、5 分。 (13)(14)式各 1 分, 、 (19)式 3 分。


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