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数列求和专题


数列求和专题

授课人:徐基光

一、公式法求和
1.等差数列的前 n 项和公式
n?n-1? n?a1+an? na1+ 2 d ; Sn= = 2

2.等比数列的前 n 项和公式
?na1,q=1, ? a1?1-qn? Sn=?a1-anq 1- q = ,q≠1. ? ? 1-q

3.一些常见数列的前 n 项和公式
n?n+1? (1)1+2+3+4+…+n= ; 2
(2)1+3+5+7+…+2n-1=

n2 ;

2 n (3)2+4+6+8+…+2n= +n . n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 (4)12+22+32+42+…+n 2= ;

n( n ? 1) 2 ] (5)13+23+33+43+…+n 3= [ 2 ;

二、并项求和法
[典例分析] 若 S n =1-2+3-4+5-6+…+(-1) -25 则 S 50=________.
n -1

·n ,

一个数列的前 n 项和,可两两(或若干项)结合求解, 则称之为并项求和.形如 an=(-1)n f (n )类型,可采用 两项合并求解.

[针对训练]
1、若数列{an}的通项公式是 an =(-1)n·(3n -2), 则 a1+a2+…+a10= ( A.15
zxxk

D

)

B.12
2 2

C .-12 D.-15
2 2 n?1

2、Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? (?1)
3

?n

2

130

三、分组求和法
[典例分析]

若数列{an }的通项公式为 an =2n +n 2-1, 则数列{an }的前 n
[针对训练]
n(n ? 1)( 2n ? 1) n ?1 2 ? n ? ?2 项和为________. 6

求值: (a ? 1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n)
2 n

感悟高考
(2014湖南文科16题)
n2 ? n ?an ?的前n项和Sn ? 已知数列 , n ? N *. 2 (1)求数列?an ? 的通项公式;

(2)设bn ? 2 an ? (?1) n an , 求数列?bn ? 的前2n项和。

感悟高考
[典例] (2013· 安徽高考)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4= 8,且对任意 n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x -an+2sin x 满足
?π? f′?2?=0. ? ?

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
? 1? bn=2?an+2an?,求数列{bn}的前 ? ?

n 项和 Sn.

四、裂项相消法求和(一)
1、已知等比数列{an }中,a1=3,a4=81,若数列{bn }满足 bn =

n 1 n +1 log3an ,则数列 bnbn +1 的前 n 项和 S n =________.

2、等比数列{an }中,a1>0,n ∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式;
学.科.网

(2)设 bn =log4an ,数列{bn}的前 n 项和为 S n ,是否存在正整 1 1 1 1 数 k ,使得 + + +…+ <k 对任意 n ∈N*恒成立.若 S1 S2 S3 Sn 存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由.

四、裂项相消法求和(二)
1、数列{an}的通项公式是 an= 等于( ,前 n 项和为 9,则 n n + n +1 1

B

) B.99

学科网

A.9

C .10

D.100

2.(2014· 江南十校联考)已知函数 f(x)=xa 的图像过点(4,2),令 1 an= ,n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 f?n+1?+f?n? S2 013= A. 2 012-1 C. 2 014-1 B. 2 013-1 D. 2 014+1 (

C

)

常用的拆项方法 1 ? 1 1? ?1 ? (1) = ?n- n?n+k? k ? n+k? ? 1 1 (2) = ( n+k- n) n+k+ n k 1 ? 1 1? ? 1 ? - (3) = ? ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? ?
? 1 1 1 1? ? ? - (4) = ? n?n+1??n+2? 2?n?n+1? ?n+1??n+2?? ?

五、错位相减法求和
[典例](2013·湖南高考) 设 S n 为数列{an }的前 n 项和,已知 a1≠0,2an -a1=S 1·S n , n ∈N*.

(1)求 a1,a2,并求数列{an }的通项公式;

(2)求数列{nan }的前 n 项和.

[练习]

(2013·山东高考)

设等差数列{an}的前 n 项和为 S n,且 S 4=4S 2, a2n=2an +1.

(1)求数列{an }的通项公式;
b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn }满足 + +…+ =1- n ,n ∈N*, a1 a2 an 2 求{bn}的前 n 项和 T n.

13

作业: 完成三维设计《第四节 数列求和》 相应的课堂练通考点及A、B本作业
zxxk



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