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直线与平面垂直的判定优秀公开课


2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的判定
教学内容:
一、理解直线与平面垂直的定义; 二、探究、归纳直线与平面垂直的判定 定理及应用。

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
回顾知识:

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?
(1)直线在平面内,

r />
(2)直线与平面平行,
(3)直线与平面相交 (垂直)

大漠孤烟直

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
A

B B1 C1 C

直线与平面垂直的定义:
文字表示: 如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直, l ?? 则称这条直线与这个平面垂直.记作
平面α的垂线
王新敞
奎屯 新疆

l
直线l的垂面

图形表示:

α

P
垂足

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b a
α

知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理
提出问题:除定义外,有没有比较方便可行的方法来 判断一条直线与一个平面垂直呢?

探究活动:请同学们拿出一块
三角形的纸片,做如图所示的 试验: 过△ABC的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD,将翻折后的纸片 A 竖起放置在桌面上(BD、DC与 桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直? B D C
D A

?

B D

C

A

l
?
C B D

m

C

α

O

n

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. 关键:线不在多,相交则行

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? l ? m? ? l ?n ? ?

线线垂直

线面垂直

l

α

m

P

n

例题示范,巩固新知
例1.在下图的长方体中,请列举与平面ABCD垂直的直 线。并说明这些直线有怎样的位置关系?
C′

D′

A′
D

B′

C

A

B

例题示范,巩固新知
例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α. 分析:在平面内作两条相交直线, 由直线与平面垂直的定义可知, 直线a与这两条相交直线是垂直的, 又由b平行a,可证b与这两条相交 直线也垂直,从而可证直线与平面 垂直。

a

b

?

a

b

例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

n

证明: 在平面?内作两条相交直线m,n. 因为直线a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n . (线面垂直 线线垂直) 又因为 b//a 所以 b ? m, b ? n. 又因为m ? ? ,n ? ? , m, n是两条相交直线, 线面垂直) 所以 b ? ? (线线垂直

?

m

练习:
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA=VC, AB=BC,K是AC的中点. A 求证:AC⊥平面VKB. 求证:AC ⊥ VB

V
K

C B

V
K

变式:
⑴在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点,试判断EF与平面 VKB的位置关系.
A E

C F B

例1 如图,已知OA、OB、OC两两垂直 (1)求证:OA⊥平面OBC (2)求证:OA⊥BC
分析:(1)要证OA⊥平面OBC, 必须在平面OBC中找出两条 与OA垂直的相交直线。因 为OA、OB、OC两两垂直 B OA⊥OB、OA⊥OC. OA⊥OC,且OB∩OC=O. (2)OA⊥平面OBC,OA 垂直平面内任意一条直线.

A

O C

作业 书本P67 练习1 书本P62 第6题

? 2.3.1 垂直关系 《预习案》答案 ? 1、B 2. D 3.C 4.B 5.A 6.A

知识小结
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

知识小结
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

作业
书本上的P67练习1,P74 B组 第2题.
2.如图,已知:α ∩β =l ,PA⊥α 于 Α ,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q, 求证:BQ⊥l . 提示: 欲证BQ⊥l ?l⊥平面BPQ ? l⊥PQ ?l⊥平面PAQ
l Q B P

?

A

?

练习:
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA=VC, AB=BC,K是AC的中点. A 求证:AC⊥平面VKB.

V
K

C B

变式:
在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点,试判断EF与平面 VKB的位置关系.
A E

V
K

C F B

知识小结
?1. ?2.

?3

作业
书本P67练习1,
书本P74 B组 第2题.

2.3.1直线与平面垂直的判定
1、教学目的
通过联系生活,使学生理解直线与平面垂直的定义, 通过折纸试验,使学生归纳和确认直线与平面垂直 的判定定理,并能简单应用定义和判定定理;

2、教学重点、难点
探究、归纳直线与平面垂直的判定定理, 体会定义和定理中所包含的转化思想.

线面垂直的定义

线线垂直
线面垂直的判定定理

线面垂直

关键:线不在多

相交则行

α 内过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A

B

α

B1 C1

C

观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。

观察实例,发现新知

大桥的桥柱与水面的位置关 系,给人以直线与平面垂直 的形象。

直线与平面垂直的定义: 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作:l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面平行时,通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
l P

α

三点说明:

①“任何”表示所有(提问:若直线与平面内的 无数条直线垂直,则直线垂直与平面吗?如不是, 直线与平面的位置关系如何?) ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线m?α,都有a⊥m.

利用定义,我们得到了判定线面 垂直的最基本方法,同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.

探究
提出问题:有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢? 师生活动:请同学们准备一 块三角形的纸片,我们一起 来做如图所示的试验:过 △ABC的顶点A翻折纸片, A 得到折痕AD,将翻折后的 A 纸片竖起放置在桌面上 (BD、DC与桌面接触), B ? D 问:折痕AD与桌面垂直吗? 如何翻折才能保证折痕 C B D AD C 与桌面所在平面垂直?

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则这条直线垂直于这个平面.

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? α ? l ? m ? l ?n ? 线线垂直 ?

l m

P

n

线面垂直

例题示范,巩固新知 例1、一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的 两点(与旗杆脚不在同一条直线上)。如果这两 点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什 么? 解:如图,旗杆PO=8,两绳子长PA= PB=10,OA=OB=6,A,O,B三点不 共线 因此A,O,B三点确定平面α , 因为PO2+AO2=PA2,PO2+BO2=PB2, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB 又OA∩OB=O 所以OP⊥α ,因此旗杆与地面垂直。

例题示范,巩固新知 例2、如图,已知a∥b,a⊥α 。 求证:b⊥α 。 分析:在平面内作两条相交直线, ? 由直线与平面垂直的定义可知, 直线a与这两条相交直线是垂直的, 又由b平行a,可证b与这两条相交 直线也垂直,从而可证直线与平 面垂直。

a

b

阅读P66页的证明过程.

巩固练习 1.平行四边形ABCD所在平面?外有一点P,且 PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交 P 点O的连线PO垂直于AB、AD.
A
O

D
C

B

巩固练习 2.过?ABC所在平面?外一点P, 作PO ? ? , 垂足

为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC, ?C ? 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0

2).若PA ? PB ? PC, 则O是?ABC的 _____心. 3).若PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA, 则O是?ABC 的 _____心.
A B V

C

归纳小结

今天这节课,我们学习了直线和平面垂直的定义, 这个定义最初用在判定定理的证明上,但用得较 多的则是,如果直线l垂直于平面?,那么l就垂 直于?内的任何一条直线;对于判定定理,判定 线、面垂直,实质是转化成线、线垂直,从中不 难发现立体几何问题解决的一般思路
王新敞
奎屯 新疆

作业布置

P67页练习第1题,P74页B组2题

复习引入 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α 的任意一条直线都垂直,我 们就说直线l与平面α 互相垂直,记作l⊥α . 2.直线与平面垂直的判定定 理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 V 3.作业讲评:P67页 练习第1题
A

C

B

引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?

如图,若一条直线PA和一个 平面α 相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。

斜线 P A

?

斜足

斜线

如图,过斜线上斜足以外的 斜足 一点向平面引垂线PO,过垂 足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影. 垂足 射影 平面的一条斜线和它在平面 垂线 上的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的 规定 角 : 一条直线垂直于平面,我们说它所成的 角是直角;一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它所成的角是00的角。 想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?


例题示范,巩固新知

例1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。
D1 A1 C1 B1

O
D C B

阅读教科书P67上的解答过程

A

巩固练习 1.判断下列说法是否正确
(1)两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 一定是相交直线 ( ( ) ) ) (2)两条相交直线在同一平面内的射影 (3)两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线,要么是相交直线 ( (4)若斜线段长相等,则它们在平面内 的射影长也相等 ( )

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

线段B1O

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D
O

C B

A

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E

线段B1E
D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1

线段C1D
C1 B1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角 0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角

A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E

C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

30o

D A B

C

归纳小结
1.直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 3.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直于平面内任意一条直线
? ? ? ? 范围: 0 , 90 ? ?

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题


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