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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:8-6 Word版含解析]


课时作业(五十三)
一、选择题 y2 x2 1.(2013· 吉林市期中复习检测)设双曲线 9 -a2=1(a>0)的渐近线 方程为 3x± 4y=0,则双曲线的离心率为( 5 A.4 7 C. 4 5 B.3 D. 7 )

解析:由双曲线的渐近线方程为 3x± 4y=0 知 a2=16,双曲线的 离心率为 e= 答案:B 2.(2013·

北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点,一个焦 点为 F1(- 5,0),点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为(0,2), 则此双曲线的方程是( x2 2 A. 4 -y =1 x2 y 2 C. 2 - 3 =1 ) y2 B.x - 4 =1
2

9+16 5 3 =3,故选 B.

x2 y2 D. 3 - 2 =1

解析:由题可知 c= 5,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),画图可得 y2 P( 5,4),故可得双曲线方程为 x - 4 =1.
2

答案:B x2 2 3. (2013· 湖北武汉高三调研测试)已知椭圆m+y =1(m>1)和双曲 x2 2 线 n -y =1(n>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是它们的一个交点,则△

F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:

) B.直角三角形 D.随 m、n 变化而变化

x2 2 如图,对椭圆m +y =1(m>1),c2=m-1,|PF1|+|PF2|=2 m, x2 2 对双曲线 n -y =1,c2=n+1,|PF1|-|PF2|=2 n, ∴|PF1|= m+ n,|PF2|= m- n,(2c)2=2(m+n), 而|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=(2c)2, ∴△F1PF2 是直角三角形.选 B. 答案:B 4.(2013· 山东滨州模拟)圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线 C 的 离心率为( 2 3 A.3或2 1 C.2或 2 ) 2 B.3或 2 1 3 D.2或2

解析: 不妨设|PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x, 若此曲线为椭圆,

2c 3 x 则有|PF1|+|PF2|=6x=2a, |F1F2|=3x=2c, 所以离心率为 e=2a=6x= 1 2c ,若此曲线为双曲线,则有 | PF 1|-|PF2|=2x=2a,此时离心率 e= 2 2a 3x 3 =2x=2,故选 D. 答案:D x2 y 2 5.(2013· 马鞍山第一次质检)斜率为 3的直线与双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( A.[2,+∞) C.(1, 3) B.( 3,+∞) D.(2,+∞) )

b 解析:由双曲线的性质知a> 3,即得 c2-a2>3a2,e>2. 答案:D x2 y2 6.(2014· 河北沧州质量监测)已知双曲线的方程为m - 4 =1,且 2 右顶点到直线 y=x-4 的距离为 2 ,则双曲线的离心率等于( 13 A. 3 5 21 C. 3 或 5 29 B. 5 13 29 D. 3 或 5 )

解析:双曲线的右顶点为( m,0),它到 y=x-4 的距离为 d= | m-0-4| 2 c 13 29 = 2 ,解得 m=25 或 9.∴a=5 或 3,∴e=a= 3 或 5 . 2 答案:D

x2 y2 7.(2013· 郑州第二次质量预测)如图所示,F1,F2 是双曲线a2-b2 =1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆 与该双曲线的左支的两个交点分别为 A, B, 且△F2AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为( ) 2+1 3+1 D. 2 2

A. 2+1 B. 3+1 C.

解析:连接 OA,AF1,|OA|=|OF2|=c,因△AF2B 为等边三角形, ∴∠AF2O=∠F2AO=30° ,∠AOF2=120° ,|AF2|= 3c,△AF1O 为 c 等边三角形,∴|AF1|=c,|AF2|-|AF1|= 3c-c=2a,∴e=a= = 3+1,选 B. 答案:B x2 y2 8.(2013· 重庆市模拟)已知 A 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左 顶点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是 → → △PF1F2 的重心,若GA=λPF1,则双曲线的离心率为( A.2 C.4 B.3 D.与 λ 的取值有关 ) 2 3-1

→ → OG 解析:由已知GA=λPF1知 GA∥PF1,即△OAG∽△OF1P,得 OP OA a 1 c =OF =c =3得 e=a=3,故选 B.
1

答案:B 二、填空题 9.(2013· 茂名市第一次模拟)已知双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点 是( 5,0),则其渐近线方程为________. 1 1 1 解析:由方程知 a2=1,b2=k ,∴c2=5=1+k,∴k=4,即 b2 b =4,∴渐近线方程为 y=± 2 x. ax=± 答案:y=± 2x x2 y2 10.(2013· 浙江五校第二次联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的渐近线与圆 x2+y2-4x+2=0 有交点, 则该双曲线的离心率的取值 范围是________. b 解析:渐近线与圆有交点,即圆心(2,0)到直线 y=ax 的距离小于 等于半径 r,则 d= 答案:(1, 2] 11. (2013· 温州市高三第二次适应性测试)已知 F1, F2 分别是双曲 y2 线 x -b2=1 的左、 右焦点, A 是双曲线上在第一象限内的点, 若|AF2|
2

2b 2 2 2 2≤ 2?c ≤2a ?1<e≤ a +b

2.

=2 且∠F1AF2=45° .延长 AF2 交双曲线右支于点 B, 则△F1AB 的面积 等于________. 解析:

由题知 a=1,根据双曲线定义|AF1|-|AF2|=2a 所以|AF1|=4,|BF1|-|BF2|=2,∴|BF1|=2+|BF2| 由图知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|∴|BA|=|BF1|,△ABF1 为等腰 三角形,又因∠F1AF2=45° ,所以∠ABF1=90° ,则△ABF1 为等腰直 1 角三角形,所以|AB|=|BF1|=2 2.所以 S△F1AB=2×2 2×2 2=4. 答案:4 三、解答题 12.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心 率为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; → → (2)求证:MF1· MF2=0; (3)求△F1MF2 面积. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3,

∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2 =-3+m2, ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, → → ∴MF1· MF2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,由(2)知 m=± 3. ∴△F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. 13.(2013· 江西红色六校高三第二次联考)如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC,∠C=90° ,B、C 在 x 轴上且关于原点 O 对 称,D 在边 BC 上,BD=3DC,△ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B、C 为焦点,且经过 A、D 两点.

(1) 求双曲线 E 的方程; (2) 若一过点 P(m,0)(m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于 → → 不同于双曲线顶点的两点 M、N ,且MP=λPN,问在 x 轴上是否存

→ → → 在定点 G,使BC⊥(GM-λGN)?若存在,求出所有这样定点 G 的坐 标;若不存在,请说明理由. x2 y2 解:(1)设双曲线 E 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则 B(-c,0), D(a,0),C(c,0). 由 BD=3DC,得 c+a=3(c-a),得 c=2a. |AB| -|AC| =16a , ? ? ∴?|AB|+|AC|=12-4a, ? ?|AB|-|AC|=2a. 解之得 a=1,∴c=2,b= 3. y2 ∴双曲线 E 的方程为 x - 3 =1.
2 2 2 2

→ → → (2)设在 x 轴上存在定点 G(t,0),使BC⊥(GM-λGN). 设直线 l 的方程为 x-m=ky,M(x1,y1),N(x2,y2).

→ → 由MP=λPN,得 y1+λy2=0. y1 即 λ=-y ①
2

→ → → ∵BC=(4,0),GM-λGN=(x1-t-λx2+λt,y1-λy2), → → → ∴BC⊥(GM-λGN)?x1-t=λ(x2-t). 即 ky1+m-t=λ(ky2+m-t).② 把①代入②,得 2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③ y2 把 x-m=ky 代入 x - 3 =1 并整理得(3k2-1)y2+6kmy+3(m2-
2

1)=0 1 其中 3k2-1≠0 且 Δ>0,即 k2≠3且 3k2+m2>1. -6km 3?m2-1? y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . 3 k -1 3k -1 6k?m2-1? 6km?m-t? 代入③,得 - =0, 3k2-1 3k2-1 1 化简得 kmt=k,当 t=m时,上式恒成立. → → → ?1 ? 因此,在 x 轴上存在定点 G?m,0?,使BC⊥(GM-λGN). ? ? [热点预测] x2 y2 14.(1)(2013· 南平质检)已知双曲线 Γ:a2-b2=1(a>0,b>0)的离 心率为 2,过双曲线 Γ 的左焦点 F 作圆 O:x2+y2=a2 的两条切线, 切点分别为 A、B,则∠AFB=( )

A.45° B.60° C.90° D.120° x2 y2 (2)(2013· 石家庄质检(二))F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1 的左、 右焦点, 过 F1 的直线 l 与双曲线的左、 右两支分别交于 A、 B 两点. 若 △ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )

A.2 B. 7 C. 13 D. 15 解析:(1)双曲线的离心率为 2,所以 c=2a,由题可得如图,所 以∠AFB=60° .

(2)画出图形,由双曲线的定义得 |BF1| - |BF2|= 2a, |AF2|- |AF1| =2a, 又∵△ABF2 为等边三角形, ∴|AF1|=2a, |AF2|=4a, |BF2|=|BA| =4a,|BF1|=6a,△BF1F2 中|F1F2|=2c,∠F1BF2=60° .

1 ∴由余弦定理可得 4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×2,离心率 e= c a= 7,故选 B.

答案:(1)B (2)B


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