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2011-2014年福建高中数学联赛预赛试题举例之导数及其应用


2011-2014 年福建高中数学竞赛预赛试题举例之导数及其应用 2011 年.已知 f ( x) ? e x ? x ? 1(为自然对数的底数) (1)求证: f ( x) ? 0 恒成立;
1 ? ? 3? ? 5 ? e ? 2n ? 1 ? (2)求证: ? 对一切正整数 n 均成立. ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? e ?1 ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ?
n n n n

2013 年.已知 f ( x) ? 2 ln(x ? 1) ?

1 ?1。 x( x ? 1)

(1)求 f ( x) 在区间上 [1,??) 上的最小值; (2)利用函数 f ( x) 的性质求证: ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ?
2 2 2 2

(n ? 1) 2 (n ? N * , 且n ? 2) ; 2n

(n ? 1) 4 (n ? N * , 且n ? 2) (3)求证: ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 3 4n

1

2014 年.已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 ? 3x ? 1。 x ?1

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; ( 2 )求证: 成立。
2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1 ? n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切正整数 n 均 2 4 ? n ?1 4

2011

2

2013

3

2014【解答】
a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 。 ? ?3? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上为增

(1) f ?( x) ?

函数。 ∴ x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 。 a ? ?2 符合要求。 ………… 5 分 若 a ? ?2 , 则方程 3x2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根, 设这两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? 0 ? x2 。 ∴ 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 。 f ( x) 在区间 ?0 , x2 ? 上为减函数, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 。 ∴ ∴
a ? ?2 不符合要求。

? ?? 。 a 的取值范围为 ??2 ,

……… 10 分
1 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立。 x ?1

(2)由(1)知, x ? 0 时,不等式 ?2 ln( x ? 1) ? ∴
x ? 0 时,

1 ? 3x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) 恒成立。 x ?1 2 1 2 2 令x? ( k ? N* ) ,得 ? 3? ? 1 ? 2ln( ? 1) , 2 2k ? 1 2 k ? 1 2 k ? 1 ?1 2k ? 1 8k ? 8 2k ? 1 ? 2 ln 整理得 。 ………… 15 分 2 4k ? 1 2k ? 1 k ?1 1 k 2? 1 ? ln ∴ 。令 k ? 1 ,2,3,…, n ,得 2 4k ? 1 4 2 k ? 1 2 1 3 3 1 5 4 1 7 n ?1 1 2n ? 1 ? ln , ? ln , ? ln ,…, ? ln 。 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 1 4 ? 2 ?1 4 3 4 ? 3 ?1 4 5 4 ? n ? 1 4 2n ? 1

将上述 n 个不等式的左右两边分别相加,得
2 3 4 n ?1 1 3 5 7 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ln( ? ? ? ? ) ? ln(2n ? 1) 。 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 3 ? 1 4 ? n ?1 4 1 3 5 2n ? 1 4 2 3 4 n? 1 1 ? ? ? ? ? ln( 2 n ?1) ∴ 对一切正整数 n 均成 2 2 2 2 4 ? 1 ? 1 4? 2 ? 1 4? 3 ? 1 4? n ?1 4

立。 ……………… 20 分

4



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