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2012年第一学期高三年级第三次模拟考试数学试卷


2012 年第一学期高三年级第三次模拟考试数学试卷(理)
[注意:本试卷共有 23 小题,满分 150 分,时间 120 分钟] 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若

a ? 1 ? bi ,其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则

a ? bi =________. 1? i
1 2
x

2.函数 f ( x) ? ( ) ? 1 ? ( ) 的值域是________.
x

1 2

2 3.已知全集 U ? ??2, ?1, 0,1, 2? ,集合 A ? ? x log 2 ( x ? ) ? ?1, x ? R ? ,

? ?

1 2

? ?

B ? x 4 x ? 3 ? 2 x ? 2 ? 0, x ? R ,则 A ? (CU B) ? ________.
4. ?ABC 中, a ? 5 , b ? 3 , sin C ? 2sin A ,则 cosC ? _______. 5.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ax ( a ? R ),且 f (2) ? 6 ,则
2

?

?

a ? _________.
6.函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 7.已知函数 f ( x) ? x ?

?
3

,0) 成中心对称,则 ? 的最小正值为________.


a ( x ? 2 )的图像过点 A(3,7) ,则此函数的最小值是 x?2
n ???

a 8.等比数列 ? an ? 中, 1 ? cos x, x ? (0, ? ) ,公比 q ? sin x , lim ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? ? 若
则 x ? ________. 9.数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , 3an an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 ( n ? 2, n ? N ),,则 a10 ? __________.
?

3,

10.若对任意的 2 ? x ? 5 ,不等式 11.已知 cos( x ?

x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2



?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? ________. 3 3

12.若正实数 x , y 满足:

1 1 1 ? ? ,则 x y 的取值范围为_________. 1? x 1? y 2

13.设 f ? x ? 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ? ?1,1? 上,

?ax ? 1 ? 1 ? x ? 0 ? f ? x ? ? ? bx ? 2 ,其中 a, b ? R ,若 ? x ?1 0 ? x ? 1 ?

?1? ?3? f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 2b 的值为 ?2? ?2?

1

_________. 14.若 f ( x) ?

则 f ?1? ? f ?2? ? … ? f ? 2012? ? f1 ?1? ? f 2 ?1? ? ? ? f 2012 ?1? =

x , , f1 ( x) ? f ( x) , f n(x) ? f n ?1 ? f ? x ?? ? n ? 2 n ? N* ? , x ?1


二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a 为非零实数,则关于函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 , x ? R 的以下性质中,错误的是 ..
2

(A) 函数 f ( x ) 一定是个偶函数 (C) 区间 ?0, ? ? ? 一定是 f ( x ) 的单调递增区间 16.关于数列{an}有以下命题,其中错误的命题为

(B) 函数 f ( x ) 一定没有最大值 (D) 函数 f ( x ) 不可能有三个零点

(A) 若 n ? 2 且 an?1 ? an?1 ? 2an ,则 {an } 是等差数列 (B) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 2S n ? 1 ? an ,则数列 {an } 的通项 an ? (?1) (C) 若 n ? 2 且 an?1an?1 ? an ,则 {an } 是等比数列
2
n ?1

? (D) 若 {an } 是等比数列,且 m,n,k ? N , m ? n ? 2k ,则 am an ? ak

2

17.如图,连结 ?ABC 的各边中点得到一个新的 ?A1 B1 C1 ,又

?A1 B1C1

y

的各边中点得到一个新的 ?A2 B2 C 2 ,如此无限继续下去,得到一系列
B1

C C2 A1 B2 C1 B x

三角形, ?A1 B1 C1 , ?A2 B2 C 2 , ?A3 B3C3 , ?, 这一系列三角形趋 向于一个点 M 。已知 A?0,0?, B?3,0?, C ?2,2? ,则点 M 的坐标是 (A) ( , )

A2 A o

5 2 3 3

(B) ( ,1)
2

5 3

(C) ( ,1)

2 3

(D) (1, )

2 3

18.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c( a ? 0) ,且方程 f ( x) ? x 无实数根。现有四个命题①方程

f ? f ( x)? ? x 也一定没有实数根; ②若 a ? 0 , 则不等式 f ? f ( x) ? ? x 一切 x ? R 成立;
③若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 使不等式 f ? f ( x0 ) ? ? x0 成立;若 a ? b ? c ? 0 ,则不等 式 f ? f ( x) ? ? x 对一切 x ? R 成立,其中真命题的个数是 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤.

2

19.(本大题满分 12 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 6 分.

1 π? ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ? (1) 设 x 0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,求 g ( x0 ) 的值; (2) 求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.
已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? 20.(本大题满分 12 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知奇函数 f ( x) ? log 2 (a ? x) ? log 2 (a ? x)(a ? 0) ,定义域为 (b, b ? 2) (定义域是指 使表达式有意义的实数 x 的集合). (1) 求实数 a 和 b 的值,并证明函数 f (x) 在其定义域上是增函数; (2) 设 f (x) 的反函数为 f 数 m 的取值范围.
?1

( x) ,若不等式 f ?1 ( x) ? m ? 2 x 对于 x ? [1,2] 恒成立,求实

21.(本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 设 a ? 1 ,函数 f (x) 的图像与函数 y ? 4 ? a (1) 求函数 f (x) 的解析式; (2) 若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (3) 设函数 g ( x) ? f (? x) , x ?[?2, ??) , g (x) 满足如下性质:若存在最大(小)值,则最 大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.
x ?2

? 2 ? a x ? 2 的图像关于点 A(1, 2) 对称.

22.(本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n .已知向量 a ? (cos

?

n? n? ? sin ,1), (n ? N ? ) , 3 3

? ? ? n? n? b ? (an , cos ? sin ), (n ? N ? ) 满足 a / / b . 3 3
(1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 求 S3n ; (3) 设 bn ? 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn .
n

3

23.(本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 8 分. 已知函数 f ? x ? ? x ? b (常数 k , b ? R )的图像过点 ? 4, 2 ? 、 ?16, 4 ? 两点。
k

(1) 求 f ? x ? 的解析式; (2) 若函数 g ? x ? 的图像与函数 f ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,若不等式

g ? x ? ? g ? x ? 2 ? ? 2ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3) 若 P , P , P , ???P , ??? 是函数 f ? x ? 图像上的点列,Q1 , Q2 , Q3 , ???Qn , ??? 是 x 正半轴上 1 2 3 n 的点列, O 为坐标原点, ?OQ1 P , ?Q1Q2 P , ???, ?Qn ?1Qn Pn , ??? 是一系列正三角形, 1 2 记它们的边长是 a1 , a2 , a3 , ???an , ??? ,探求数列 ? an ? 的通项公式,并说明理由。

4


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