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双曲线参数方程


圆锥曲线的参数方程

双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设 M ( x, y )

y
a A o B
B'

?

?M
A' x

在 ? O A A '中 , x ?
| O

A ' |? | OA | co s ? ?

b cos ?

?

b ? sec ? ,

b

在 ? O B B '中 , y ? | B B ' |? | O B | ? tan ? ? b ? tan ? .
? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (? 为 参 数 ) ? y ? b ta n ?
消去参数后,得 x a
2 2

-

y b

2 2

=1,

这 是 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。

双曲线的参数方程
x a
2 2

y a

-

y b

2 2

?
AB' o B

=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 :

?M
A' x

? x ? a sec ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? b tan ?

通 常 规 定 ? ? [ o , 2? ) 且 ? ?

?
2

,? ?

3? 2

b



⑴ 这里参数? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
2 2

说明:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 与三角恒等式

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数

方程的实质是三角代换.

a b O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现什么结论?
解: 双曲线的渐近线方程为 y ? ? b x . 不妨设M为双曲 线右支上一点, 其坐标为(a sec ? , b tan ? a , 则直线MA的方程为 ) b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ) a b 将 y ? x 代入上式, 解得点A的 a a 横坐标为 x A ? (sec ? ? tan ? ) 2 同理, 得点B的横坐标为 a x B ? (sec ? ? tan ? ). 2

例1. 如图, 设 M 为双曲线

x

2 2

?

y

2 2

? 1(a, b ? 0)上任意一点,

设 ?AOx ? ? , 则 tan ? ?
所以, MAOB 的面积为

b a

,

S ?| OA | ? | OB | sin 2? ?
?
?

xA

cos ? cos ?

?

xB

? sin 2?

a (sec ? ? tan ? )
2 2 2

4 cos ?
2

? sin 2?
ab 2 .

a

2

? tan ? ?

a

2

?

b a

?

2

2

由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点 M 在 双曲线上的位置无关.

练习:
1、求双曲线 {

x ? 2 3 sec ? y ? 4 3 tan ?

的两个焦点坐标。

( ? 2 15 , 0 )
2、双曲线 { x ? 3 sec ? y ? tan ? (? 为参数 )的渐近线 方程为 __________ ____

y ? ?

1 3

x

例 2: 知 已 圆
2 2

O : x ? ( y ? 2 ) ? 1上 点 一
2 2

P与 曲 双 线

x ? y ? 1上 点 一

Q, P、 Q两 距 的 小 求 点 离 最 值

解 设 曲 上 的 : 双 线 点 坐 先 圆 到 曲 上 求 心 双 线 点 OQ
2 2

标 Q (sec ? , tan ? ) 为 的 小 离 最 距
2

? sec ? ? (tan ? ? 2 )
2 2

? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2 (tan ? ? 1) ? 3
2

? 当 tan ? ? 1, 即 ? ? ? PQ ? 3 ?1

?
4



5? 4

时 , OQ

min

?

3

min

? x ? e t ? e ?t ? 1.参数方程 ? ( t 为参数)表示的曲线是 t ?t ?y ? e ? e ?
A、双曲线 B、双曲线的下支
2

练习:

C

C、双曲线的上支
2

D、圆

2.已知定点 A(0,4) 和双曲线 x

? 4 y ? 16 上的动点 B,点 P

分有向线段 AB 的比为 1:3,则 P 点的轨迹方程为

? x ? sec ? ? (?为 数 ) 参 ? 1 ? y ? 3 ? tan ? 2 ?


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