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2013高考数学三轮押题冲刺


空间中的平行关系
【考点导读】 1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定 定理和性质定理。 2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理多 是不可逆的。 3.要能灵活的对“线线平行”“线面平行”和“面面平行”进行转化。 、 【基础练习】 1.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 2.给出下列四个命题: ①

垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 4 个。 . 3.对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l 异面或相交 。

垂直



4. m 和 n 是分别在两个互相垂直的面 α 、β 内的两条直线,α 与 β 交于 l,m 和 n 与 l 既不垂直,也不平行,那么 m 和 n 的位置关系是 既不可能垂直,也不可能平行 。 5 . 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α 、β 、r 是三个不重合的平面,下面六个命题: ①a∥c,b∥c ? a∥b;②a∥r,b∥r ? a∥b;③α ∥c,β ∥c ? α ∥β ; ④α ∥r,β ∥r ? α ∥β ;⑤a∥c,α ∥c ? a∥α ;⑥a∥r,α ∥r ? a∥α . 其中正确的命题是 ①④ 。

【范例导析】 例1. 空间四边形 ABCD 中,P、Q、R 分别 AB、AD、CD 的中点,平面 PQR 交 BC 于 S , 求证:四边形 P QRS 为平行四边形。 证明:∵PQ 为 AB、AD 中点 ∴PQ//BD 又 PQ ? 平面 BCD ,BD ? 平面 BCD ∴ PQ//平面 BCD 又平面 PQR∩平面 BCD=RS , PQ ? 平面 RQR ∴ PQ//RS ∵R 为DC 中点,∴ S 为 BC 中点, ∴PQ// RS 且 PQ= RS ∴ PQRS 为平行四边形 点评:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行”与“线面平行”的转化是证 平行关系的常用方法。 变式题:如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH是平行四边形. 求证:AB∥平面 EFG. 证明 :∵面 EFGH 是截面.

∴点 E,F,G,H 分别在 BC,BD,DA,AC 上 . ∴EH 面 ABC,GF 面 ABD, 由已知,E H∥GF.∴EH∥面 ABD. 又 ∵EH 面 BAC,面 ABC∩面 ABD=AB ∴EH∥AB. ∴AB∥面 EFG. 例 2. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,并且 CM=DN. 求证:MN∥平面 AA1B1B. 分析: “线线平行”“线面平行”“面面平行”是可以 、 、 互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。 简证:法 1:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。 A A1 1 D N E F B D1 1 B1 1 C1 1 M C

即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,如图所示作平行线即可。 法 2:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P, 连 B1P,就是所找直线,然后再设法证明 MN∥B1P. 法 3:把证“线面平行”转化为证“面面平行” 。 过 M 作 MQ//BB1 交 BC 于 B1,连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1 平行, 从而证得 MN∥平面 ABB1A1. 点评:证明线面或面 面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。 例 3.已知:a、b 是异面直线,a ? 平面 ? ,b ? 平面 ? ,a∥ ? ,b∥ ? .

求证:

? ∥? .

证法 1:在 a 上任取点 P, 显然点 P 不在直线 b 上.于是 b 和点 P 确定平面 ? ?. 且 ? 与 ? 有公共点 P ∴ ? ∩ ? =b′且 b′和 a 交于 P,

b′

∵ b∥ ? , ∴ b∥b′ ∴ b′∥ ? , 而 a∥ ? ?

这样 ? 内相交直线 a 和 b′都平行于 ? ?



? ∥? .

证法 2:设 AB 是 a、b 的公垂线段,过 AB 和 b 作平面 ? , 则 ? ∩ ? =b′,过 AB 和 a 作平面 ? , 则 ? ∩ ? =a′.

a∥ ? ? a∥a′ b∥ ? ? b∥b′ ∴AB⊥a ? AB⊥a′,AB⊥b ? AB ⊥b′ 于是 AB⊥ ? ?? 且 AB⊥ ? ?,∴

? ∥? .

【反馈演练】 1. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: ①M、 都垂直于平面 Q; ②M、 都平行于平面 Q; ③ N N M 内不共线的三点到 N 的距离相等; ④ l, M 内的两条直线, 且 l // M, m // N; ⑤ l, m 是异面直线,且 l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件 的 个数是: 2 个 。 2.对于平面 ? 和 共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 (3) 。 (1)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥? (3)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n (2)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n (4)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

3. 设 a 、b 是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是 (2) 。 (1)经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b (2)经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b (3)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 (4 )存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 4.关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是(4) 。 (1)若 a∥M,b∥M,则 a∥b (2)若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M (3)若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M (4)若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N 5. “任意的 a ? ? ,均有 a // ? ”是“任意 b ? ? ,均有 b // ? ”的 充要条件 。

6.在正方体 AC1 中,过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD . 7.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点, 则四边形 EBFD!的形状为 平行四边形 。 8.正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的一个动点, 且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹为 双曲线 。

9.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体 10 20 10 20 正视图 的体积是 20 侧视图 20 俯视图

8000 3 cm 。 3

10. 已 知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD∥平面MAC. 证明 连AC交BD于O,连MO, 则MO为△PBD的中位线, ∴PD∥MO,∵PD ? 平面MAC,MO平面MAC, ∴PD∥平面MAC. 11.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中 点(1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与

MN 所成的角的大小
略证: (1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

? NH // DC , NH ?

1 DC 2

P H N

? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形
? MN // AH , MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD
A

D B

C

M

(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平行且等 于 PA 的一半,所以 ?ONM 就是异 面直线 PA 与 MN 所成的角,由 MN ? BC ? 4 ,

PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3
所以 ?ONM ? 30 0 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 0 的角 12.两个全等的正方形 ABCD 和 A BEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证: MN ∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足, C D 则 MP∥AB,NQ∥AB。 M P ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° A B ∴Rt△M CP≌Rt△NBQ N Q ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 F E ∴MN∥ PQ ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。

证法二:如 图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC,

D M

C

AM AH ? ∴ AC AB
连结 NH,由 BF =AC,FN=AM,得

FN AH ? BF AB
F

A N

H E

B

∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE。


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