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湖北省荆门市2012-2013学年度高三元月调研考试理科数学试卷


荆门市 2012-2013 学年度高三元月调研考试


注意:

学(理)

1、全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置;交卷时只交 答题卡. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

只 有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.设 f : x→ x 2 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不可能是 A、{-1} C、{1, 2 ,2}
x y 1 124.4 2 35 3 -74

B、{- 2 , 2 } D、{- 2 ,-1,1, 2 }
4 14.5 5 -56.7 6 -123.6

2.已知函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表

则函数 y ? f ( x) 在区间[1,6]上的零点至少有 A、2 个 3.复数 B、3 个 C、4 个 D、5 个

2?i 表示复平面内点位于 2?i

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4.已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,各项和为 210,则此等差数列的项 数是 A、5 B、6 C、7 D、8 5.由直线 x ? , x ? 2, y ? 0 ,及曲线 y ?

1 2

15 17 B、 4 4 x 6.命题“ ?x ? R,e ? x ”的否定是 A、 ?x ? R,e x>x C、 ?x ? R,e x ≥ x
A、

1 所围图形的面积为 x 1 C、 ln 2 2
B、 ?x ? R,e x ≥ x D、 ?x ? R,e x>x

D、 2ln2

? x ? y ≥1 ? 7.若 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1 且 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是 ?2 x ? y ≤ 2 ?
A、(-1,2) B、(-2,4) C、(-4,0] D、(-4,2)

?(1 ? 3a) x ? 10a( x ≤ 6) + 8.已知函数 f ( x) ? ? x ?7 若数列{an}满足 an= f (n) (n∈N )且{an}是递减 ?a ( x ? 6)
数列,则实数 a 的取值范围是 A、(

1 ,1) 3

B、(

1 1 , ) 3 2

C、(

1 5 , ) 3 8

D、(

5 ,1) 8

9.函数 y ? x ? sin x , x ? ?? π, π? 的大致图象是

A、

B、

C、

D、

10.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段。 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的 最大值为 A、2 2 B、2 3 C、4 D、2 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 1 OB 11. 已知 OA ? 1, ≤ 1 ,且 S?OAB ? ,则 OA 与 OB 夹角的取值范围是 ▲ .

4

12. 若在 ( 5 x ? )n 的展开式中,第 4 项是常数项,则 n= 13.曲线 y ?

1 x

▲ .

x 在点(1,1)处的切线方程为 2x ? 1
▲ .
2



14.下列命题中正确的是

①如果幂函数 y ? (m2 ? 3m ? 3) xm

? m? 2

的图象不过原点,则 m=1 或 m=2;

②定义域为 R 的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和; ③已知直线 a、b、c 两两异面,则与 a、b、c 同时相交的直线有无数条; ④方程

y ?1 y ?3 = 表示经过点 A(2,3)、B(-3,1)的直线; x?2 x?3

⑤方程

x2 y2 - =1 表示的曲线不可能是椭圆; 2 ? m m ?1
▲ .

15.定义在 R 上的函数 f ( x) , 对任意 x 均有 f (x)=f (x+2)+f (x-2)且 f (2013)=2013, f (2025) 则 =

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a(2cos2

x ? sin x) ? b 2

(1)若 a=-1,求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x??0, π? 时, f ( x) 的值域是[5,8],求 a,b 的值.

,) 2 ( 17. (本题满分 12 分) 已知命题 p: 函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数; 命题 q: x ?1 在
时,不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 恒成立,若 p∪q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5 ,且 an ?1 ? 2an ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ?an xn (n ? N ? ) ,求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan .

19.(本题满分 12 分) 在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2 2 a,BC=DE=a,∠EAB=∠ ABC=∠DEA=90° (1)求证:PA⊥平面 ABCDE; (2)求二面角 A-PD-E 的正弦值.

第 19 题图

20.(本题满分 13 分) 如图,已知直线 OP1,OP2 为双曲线 E:

27 x2 y 2 - 2 =1 的渐近线,△P1OP2 的面积为 , 2 4 a b

在双曲线 E 上存在点 P 为线段 P1P2 的一个三等分点,且双曲线 E 的离心率为

13 . 2

(1)若 P1、P2 点的横坐标分别为 x1、x2,则 x1、x2 之间满足怎样的关系?并证明你的结论; (2)求双曲线 E 的方程; (3)设双曲线 E 上的动点 M,两焦点 F1、F2,若∠F1MF2 为钝角,求 M 点横坐标 x 0 的取值 范围. y P1

O P2
第 20 题 图

P

x

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足对于 ?x ? R ,均有 f ( x) ? 2 f (? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a(a ? 1) 成立. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)证明: ( )n ? ( )n ? ? ?( )n ?

1 a

1 n

2 n

n n

e (n ? N ? ) . e ?1

荆门市 2012-2013 学年度高三元月调考

数学(理)参考答案及评分标准
命题人:钟祥一中 范德宪 邹斌 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。 ) 审题人:龙泉中学 刘灵力 市教研室 方延伟

CBABD BDCAC 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。 ) 11、 [ ,

π 5π ] 6 6

12、18

13、x+y-2=0

14、①②③

15、2013

三、解答题

π )+a+b 4 3 π π (1)当 a=-1 时,由 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + π 得 2 2 4 5 π 2kπ + ≤x≤2kπ + π 4 4 5 π ∴ f ( x) 的单调增区间为[2kπ + ,2kπ + π ](k∈z) 4 4 5 π π (2)∵0≤x≤π ∴ ≤x+ ≤ π 4 4 4
16、 f ( x) =a(1+cosx+sinx)+b= 2 asin(x+ ∴-

??2 分

??6 分

2 π ≤sin(x+ )≤1,依题意知 a≠0 4 2
? 2a ? a ? b ? 8 ?b ? 5 ?b ? 8 ? 2a ? a ? b ? 5
∴a=3( 2 -1),b=5 ??9 分

1°当 a>0 时 ?

2°当 a<0 时 ?

∴a=-3( 2 -1),b=8

综上所述:a=3 2 -3,b=5 或 a=3-3 2 ,b=8 17、p:∵函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数 ∴0<2a-5<1, 故有

??12 分

??3 分 ??4 分

5 <a<3 2

q:由 x2-ax+x<0 得 ax>x2+2,∵1<x<2, 且 a> 又x?

x2 ? 2 2 ? x ? 在 x∈(1,2)时恒成立, x x
2 ? 2 2, [ 3] x

??6 分

∴a≥3 p∪q 是真命题,故 p 真或 q 真,所以有

??9 分

5 <a<3 或 a≥3 2

??11 分

所以 a 的取值范围是 a> 18、 (1)∵ an +1 =2an +1 又 a1 +1=6

5 2

??12 分 ??2 分

∴ an +1 +1=2(an +1)

∴ ∴ ?an +1? 是以 6 为首项,2 为公式的等比数列 ∴ an =3 ? 2n- 1 ??5 分 ??7 分 ??9 分

∴ an +1=6 ? 2n-1

(2)∵ f ?(x)=a1 +2a2 x+?+nan xn-1 ∴ f ?(1)=a1 +2a2 +?+nan

=3(2+2 ? 22 +?+n ? 2n )-(1+2+?+n)
=3(n-1) ? 2n +1- n(n +1) +6 2
??12 分
P

19、 (1)在△PAB 中,PA=2a,PB=2 2 a,AB=2a ∴PB2=PA2+AB2 ∴PA⊥AB ??3 分 同理可证:PA⊥AE 又 AB∩AE=A,AB ? 平面 ABCDE,AE ? 平面 ABCDE

A D

E

∴PA⊥平面 ABCDE ??6 分 (2)过 E 作 EH⊥AD 于 H,EF⊥PD 于 F,连 FH,则 B C EH⊥平面 PAD,FH⊥PD 第 19 题图 ∴∠EFH 为二面角 A-PD-E 的平面角 ??8 分 又在 Rt△AED 和 Rt△POE 中,EH?AD=AE?DE,EF?PD=DE?PE ∴EH=

2 5

a

EF=

2 3

2a

∴sin∠EFH=

EH 3 = 10 10 EF 3 10 10
??12 分

故二面角 A-PD-E 的正弦值为

x2 y2 c 13 20、 (1)设双曲线方程为 2 - 2 =1,由已知得 = a 2 a b


b2 9 = 2 4 a

∴渐近线方程为 y=±

3 x 2

??????2 分

3 3 x1) P2(x2,- x2) 2 2 3 3 设渐近线 y= x 的倾斜角为θ ,则 tanθ = 2 2 3 2? 2 = 12 ∴sin2θ = 9 13 1? 4
则 P1(x1, ∴

27 1 1 = |OP1||OP2|sin2θ = 4 2 2

x12 ?

9 2 x1 4

2 x2 ?

9 2 12 x2 ? 13 4
??????5 分

∴x1?x2=

9 2

(2)不妨设 P 分 P P2 所成的比为λ =2,P(x,y) 则 1 x=

x1 ? 2 x 2 3

y=

y1 ? 2 y 2 x ? 2 x2 = 1 3 2
??????7 分

∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y ∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36 ∴

x2 y2 - =1 即为双曲线 E 的方程 4 9

??9 分

(3)由(2)知 C= 13 ,∴F1(- 13 ,0) F2( 13 ,0) 设 M(x0,y0)

9 2 x -9, MF1 =(- 13 -x0,-y0) MF2 =( 13 -x0,-y0) 4 0 13 2 2 2 ∴ MF1 ? MF2 =x 0 -13+y 0 = x 0 -22 ??????11 分 4 13 2 若∠F1MF2 为钝角,则 x 0 -22<0 4 2 ∴|x0|< 286 又|x0|>2 13 2 2 ∴x0 的范围为(- ??13 分 286 ,-2)∪(2, 286 ) 13 13
2 则 y0 =

1 x ? x ? f ( x) ? 2 f (? x) ? a ? 2( a ) ? x ln a ? 21、 (1)依题意得 ? ? f (? x) ? 2 f ( x) ? ( 1 ) x ? 2a x ? x ln a ? a ?

解之得 f ( x) ? a x ? x ln a (2) f ' ( x) ? a x ln a ? ln a ? (a x ? 1) ln a 当 x>0 时 f ?( x) ? 0 当 x<0 时 f ?( x) ? 0

??4 分

∴ f ( x) )在 (??,0) 上递减在 (0, ??) 上递增 ∴ f ( x) min =f (0) =1 (3)由(2)得 a x ? x ln a ≥1 恒成立,令 a=e, 在 e x ≥ x ? 1中令 x=-
? k ∴1- ≤ e n n k

??8 分 则 ex ≥ x ? 1

k (k=1,2,?n-1) n
k n

∴ (1 ? )n ≤ e?k

∴(1-

1 n -1 ) ≤e n

(1-

2 n -2 n ? 1 n -(n-1) n ) ≤e ?(1- ) ≤e , ( )n=1 n n n

n n n ?1 n n?2 n 1 - - - - ) +( ) +( ) +?+( )n≤1+e 1+e 2+?+e (n 1) n n n n 1 1 1 ? ( ) n e[1 ? ( ) n ] e ? e < e = ??14 分 1 e ?1 e -1 1? e
∴(


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