当前位置:首页 >> 数学 >>

精品 解三角形知识点总结及典型例题


授课主题 教学目的

解三角形 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题及与测量和几何 有关的实际问题 教学内容

一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

()a ? 2R sin

A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式) 1
(2) A ? sin a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式 (1) S ?ABC ?
1 ? 底?高 ; 2

1

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论

(2) S?ABC ?

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) ( 3 ) 在 △ ABC 中 , A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

二、典型例题
题型 1 边角互化 [例 1 ]在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则角 C 的度数为 【解析】 由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7, a、 c 依次为 3、 7, cosC= ,令 b、 5、 则
2 因为 0 ? C ? ? ,所以 C= ? 3 1 a 2 ? b 2 ? c 2 32 ? 52 ? 7 2 = =? 2 2 ? 3? 5 2ab

[例 2 ] 若 a 、b 、c 是 ?ABC 的三边, f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ,则函数 f (x ) 的图象与 x 轴【 】 A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点

【解析】由余弦定理得 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,所以

f ( x) ? b2 x2 ? 2bc cos A?x ? c2 = (bx ? c cos A)2 ? c2 ? c2 cos2 A ,因为 cos 2 A ? 1,所以 c2 ? c2 cos2 A ? 0,因
此 f ( x) ? 0 恒成立,所以其图像与 X 轴没有交点。 题型 2 三角形解的个数 [例 3]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ; 题型 3 面积问题 [例 4] ?ABC 的一个内角为 120°,并且三边构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为 【解析】设△ABC 的三边分别:x-4、x、x+4, ∠C=120° ,∴由余弦定理得:﹙x+4﹚? =﹙x-4﹚? -2× +x? ﹙x-4﹚× cos120° 解得:x=10 x× , ∴△ABC 三边分别为 6、10、14。
1 1 3 ? S? ABC ? ab sin C ? ? 6 ?10 ? ? 15 3 2 2 2



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60? 。

题型 4 判断三角形形状 [例 5] 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

2

方法一: a2[sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b2[? sin( A ? B) ? sin( A ? B)]
? 2a2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A

由正弦定理,即知 sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A
?sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0
? sin 2 A ? sin 2 B

由 0 ? 2 A, 2B ? 2? ,得 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B 即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:同上可得 2a 2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2a 由正、余弦定理,即得: a 2b 2bc 2ac

? a2 (b2 ? c2 ? a2 ) ? b2 (a2 ? c2 ? b2 )
即 (a2 ? b2 )(c2 ? a2 ? b2 ) ? 0
? a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2

即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通 过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状; (角化边) 二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三 角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角) 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用
1 [例 6]在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且 sin A ? sin C ? p sin B( p ? R) 且 ac ? b 2 4 5 (1)当 p ? , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。 5 1 1 1 【解析】 (1)由题设并由正弦定理,得 a ? c ? , ac ? ,解得, a ? 1, c ? 或 a ? , c ? 1 4 4 4 4 1 1 (2)由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B = (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B 2 2

即 p2 ?

3 1 3 6 ? cos B ,因为 0 ? cos B ? 1 ,所以 p 2 ? ( , 2) ,由题设知 p ? 0 ,所以 ? p? 2 2 2 2 2

题型 6、解三角形的实际应用 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
3

【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角.本题应先利用 S ? vt 求出边长,再进行进一步分析.
[解析]如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , 北

20 A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2 , 60

120?

A2 A1

? A1 A2 ? A2 B1 ,
又 ∠A A2 B2 ? 180? ?120? ? 60? , 1

B2 B1


105?



?△A1 A2 B2 是等边三角形,

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A B1 ? 20 , ∠B1 A B2 ? 105? ? 60? ? 45? , 1 1
2 2 在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理, B1B2 ? A B12 ? A B2 ? 2 A B2 ?A B2 ? 45? cos 1 1 1 1

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 .? B1B2 ? 10 2 . 2

因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

【点拨】解三角形时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,此时应直接 利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形 优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

三、课堂练习:
1、满足 A ? 45? ,c= 6 ,a=2 的 ?ABC 的个数为 m,则 a m 为

2、已知 a=5,b= 5 3 , A ? 30? ,解三角形。

4

3、在 ?ABC 中,已知 a ? 4 cm , b ? x cm , A ? 60? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值 范围是【 A、 x ? 4 】 B、 0 ? x ≤ 4 C、 4 ≤ x ≤
8 3 3

D、 4 ? x ?

8 3 3

1 2 2 2 4、在 ?ABC 中,若 S ? 4 (a ? b ? c ), 则角 C=

5、设 R 是 ?ABC 外接圆的半径,且 2R(sin2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,试求 ?ABC 面积的最大值。

6、在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=33, sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD。 13 5

5

7、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,若

a cos B ? ,试确定 ?ABC 形状。 b cos A

8、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,已知
sin C ; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2, 求 ?ABC 的面积。 4

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

(1)求

四、课后作业
1、在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sin A ? 2 sin B cos C ,则 ?ABC 是 A、等边三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰直角三角形

1 2、△ABC 中若面积 S= ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) 则角 C= 4

3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔 AB ,在塔顶 A 处测得山下水平面上一点 C 的俯角为 ? , 在塔底 B 处测得点 C 的俯角为 ? ,若铁塔的高为 h m ,则清源山的高度为
6

m。

A、 C、

h sin ? cos ? sin(? ? ? ) h sin ? sin ? sin(? ? ? )

B、 D、

h cos? sin ? sin(? ? ? ) h cos? cos ? sin(? ? ? )
B?C 取得最大值,并求出这个最大 2

4、 ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 值。

5、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小

? (2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4

7


相关文章:
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的_数学_高中教育_教育专区。一、 知识...教学总结精品范文 小学五年级英语教学工作总结 大学教师个人工作总结 小学英语教学...
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中...
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的_数学_高中教育_教育专区。解三角形知识点总结及典型例题一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R ...
解三角形知识点汇总和典型例题
点 参考教材 熟练掌握三角形六元素之间的关系,会解三角形 灵活解斜三角形 人教版必修 5 第一章教学流程及授课详案 解三角形的必备知识典型例题及详解一、知识...
解三角形知识点汇总和典型例题
解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90°...
解三角形知识点汇总和典型例题
解三角形知识点汇总典型例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。家教材料,超经典,拿来就用 中小学 1 对 1 课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导教案讲义授课对象 ...
教案解三角形知识点汇总和典型例题
教案解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 教案解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区。海纳...
解三角形知识点汇总和典型例题
解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形讲义...
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题_数学_高中教育_教育专区。解三角形知识点总结及经典习题 必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题 (数学教研组) 一...
解三角形知识点汇总和典型例题 2
解三角形知识点汇总典型例题 2_数学_高中教育_教育专区。经典之作解三角形的...教学总结精品范文 小学五年级英语教学工作总结 大学教师个人工作总结 小学英语教学...
更多相关标签:
解三角形典型例题 | 高中解三角形典型例题 | 有理数知识点典型例题 | 解三角形例题 | 解三角形经典例题 | 解三角形知识点总结 | 解三角形知识点 | 高中解三角形知识点 |