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湖南省长沙市长郡中学2015届高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)


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湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9},则 A 等于()

A. {1,3}

B. {3,7,9}

C. {3,5,9}

D. {3,9}

2. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在上单调递增,a=f(3) , b=f( ) ,c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是() A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a

3. (5 分)已知 sinα = A.

,sin(α ﹣β )=﹣ C.

,α ,β 均为锐角,则 β 等于() D.

B.

4. (5 分)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=() A. 7 B. 15 C. 20 D. 25 5. (5 分)已知函数 f(x)=x +f′(2) (lnx﹣x) ,则 f′(1)=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,﹣π <φ <π )的部分图象如图 所示,则函数 f(x)的解析式为()
2

A.

B.

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. D.

7. (5 分) 某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元, 从第二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元.设 * 该设备使用了 n(n∈N )年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A. a+b≥2 B. C. D. a +b >2ab
2 2

9. (5 分)已知三个正数 a,b,c,满足 b<a+c≤2b,a<b+c≤2a,则 的取值范围是() A. ( , ) B. ( , ) C. (0, ) D. ( ,2)

10. (5 分)函数 范围是() A. B. C.

的图象经过四个象限,则实数 a 的取值

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在对应题号后的横线上. 11. (5 分)在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12=.

12. (5 分)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为.

13. (5 分)已知命题 P:? n∈N,2 >1000,则¬P 为. 14. (5 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 的对边, 在△ABC 中, b= 则角 A 的大小为. a, 且 sinB+cosB=0,

n

15. (5 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y=f(x)在上是增函数. 其中正确的命题的序号.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x ﹣5x+4≥0}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 a>0,且 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

17. (12 分)设向量 =(cos2A+1,cosA) , =(1,﹣ ) . (1)若 ∥ ,求 cosA 的值; (2)若 ⊥ ,求 tan( +A)的值.

18. (12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径.

19. (13 分)某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内 全部售完.该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果 如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系; 图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每 件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相 同) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t) 、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市 时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元? 20. (13 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)求证: .

x

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9},则 A 等于()

A. {1,3}

B. {3,7,9}

C. {3,5,9}

D. {3,9}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 分析: 由韦恩图可知,集合 A=(A∩B)∪(CUB∩A) ,直接写出结果即可. 解答: 解:因为 A∩B={3},所以 3∈A,又因为 CUB∩A={9},所以 9∈A,选 D.本题也可以 用 Venn 图的方法帮助理解. 故选 D. 点评: 本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集合问题的能力. 2. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在上单调递增,a=f(3) , b=f( ) ,c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是() A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据条件推断出函数为以 2 为周期的函数,根据 f(x)是偶函数,在上单调递增 推断出在上是减函数.减函数,进而利用周期性使 a=f(1) ,b=f(2﹣ ) ,c=f(2)=f(0) 进而利用自变量的大小求得函数的大小,则 a,b,c 的大小可知. 解答: 解:由条件 f(x+1)=﹣f(x) ,可以得: f(x+2)=f( (x+1)+1)=﹣f(x+1)=f(x) ,所以 f(x)是个周期函数.周期为 2. 又因为 f(x)是偶函数,所以图象在上是减函数. a=f(3)=f(1+2)=f(1) , b=f( )=f( ﹣2)=f(2﹣ ) c=f(2)=f(0) 0<2﹣ <1 所以 a<b<c 故选 D 点评: 本题主要考查了函数单调性,周期性和奇偶性的应用.考查了学生分析和推理的能 力.

3. (5 分)已知 sinα = A.

,sin(α ﹣β )=﹣ C.

,α ,β 均为锐角,则 β 等于() D.

B.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 先利用同角三角函数基本关系求得 cosa 和 cos(a﹣b) ,进而根据 sinb=sin 利用两 角和公式求得答案. 解答: 解:cosa= = ,cos(α ﹣β )= × ﹣ = × =

∴sinb=sin=sinacos(α ﹣β )﹣cosasin(α ﹣β )= ∵β 为锐角 ∴β =

故选 C 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式.属基础题. 4. (5 分)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=() A. 7 B. 15 C. 20 D. 25 考点: 专题: 分析: 论. 解答: 等差数列的性质. 计算题. 利用等差数列的性质,可得 a2+a4=a1+a5=6,再利用等差数列的求和公式,即可得到结 解:∵等差数列{an}中,a2=1,a4=5,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴a2+a4=a1+a5=6, ∴S5= (a1+a5)= 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查等差数列的求和公式,熟练运用性质是关键. 5. (5 分)已知函数 f(x)=x +f′(2) (lnx﹣x) ,则 f′(1)=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 专题: 分析: 解答: 导数的运算. 导数的概念及应用. f′(2)是一个常数,对函数 f(x)求导,能直接求出 f′(1)的值. 2 解:∵f(x)=x +f′(2) (lnx﹣x) ,
2

∴f′(x)=2x+f′(2) ( ﹣1) ; ∴f′(1)=2×1+f′(2)×(1﹣1)=2. 故选:B. 点评: 本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题,解题时应知 f′(2)是一个常数, 根据求导法则进行计算即可,是基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,﹣π <φ <π )的部分图象如图 所示,则函数 f(x)的解析式为()

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 通过函数的图象,求出 A,T,利用周期公式求出 ω ,根据函数图象经过( 求出 φ ,得到函数的解析式. 解答: 解:由函数的图象可知 A=2,T=4π .ω = , ∵函数的图象经过 , ) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴0=2sin( ∴φ = . . +φ ) ,

∴函数的解析式: 故选:B.

点评: 本题是基础题,考查函数的图象的应用,学生的审图能力,计算能力. 7. (5 分) 某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元, 从第二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元.设 * 该设备使用了 n(n∈N )年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据题意建立等差数列模型,利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论. 解答: 解:设该设备第 n 年的营运费为 an 万元,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公差的等差 数列,则 an=2n, 则该设备使用了 n 年的营运费用总和为 Tn=
2

=n +n,
2 2

2

设第 n 年的盈利总额为 Sn,则 Sn=11n﹣(n +n)﹣9=﹣n +10n﹣9=﹣(n﹣5) +16, ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值 16, 故选:B. 点评: 本题主要考查与数列有关的应用问题,根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利 总额的表达式是解决本题的关键. 8. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A. a+b≥2 B. C. D. a +b >2ab
2 2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 常规题型. 分析: 根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选 项.

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解答: 解:因为 ab>0,则 仅当 a=b 时,取“=”,故 D 错; 由于 ab>0,则 ,即



,则排除 A 与 B;由于 a +b ≥2ab 恒成立,当且

2

2

,所以选 C.

故答案为 C 点评: 本题考查不等式与不等关系,解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基 本不等式适用的范围.

9. (5 分)已知三个正数 a,b,c,满足 b<a+c≤2b,a<b+c≤2a,则 的取值范围是() A. ( , ) B. ( , ) C. (0, ) D. ( ,2)

考点: 其他不等式的解法;简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将不等式进行转化,利用不等式的性质建立关于 的不等式关系,即可得到结论. 解答: 解:∵三个正数 a,b,c,满足 b<a+c≤2b,a<b+c≤2a, ∴ 即 不等式的两边同时相加得 , , , ,

则等价为







即 即

, ,

故选:A. 点评: 本题主要考查不等式的解法,利用不等式的性质将不等式进行转化是解决本题的关 键.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分)函数 范围是() A. B. C. D. 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 压轴题. 分析: 求函数的极值,要使图象经过四个象限只要两极值符号不同 2 解答: 解:f′(x)=ax +ax﹣2a=a(x+2) (x﹣1) 令 f′(x)=a(x+2) (x﹣1)=0 得 x=﹣2 或 x=1 x∈(﹣∞,﹣2)时 f′(x)的符号与 x∈(﹣2,1)时 f′(x)的符号相反,x∈(﹣2,1) 时 f′(x)的符号与 x∈(1,+∞)时 f′(x)的符号相反 ∴f(﹣2)= ∵图象经过四个象限 ∴f(﹣2)?f(1)<0 即( 解得 故答案为 B 点评: 本题考查导数求函数的极值,及函数的单调性及其图象 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在对应题号后的横线上. 11. (5 分)在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12=63. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 S4,S8﹣S4,S12﹣S8 仍成等比数列,代入数据计算可得. 解答: 解:由等比数列的性质可得 S4,S8﹣S4,S12﹣S8 仍成等比数列, 2 2 ∴(S8﹣S4) =S4(S12﹣S8) ,即(60﹣48) =48(S12﹣60) , 解得 S12=63 故答案为:63 点评: 本题考查等比数列的性质,得出 S4,S8﹣S4,S12﹣S8 仍成等比数列是解决问题的关键, 属基础题. ) ( )<0 = 和 f(1)= = 为极值,

12. (5 分)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为

3. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间( , )上,由此我们不

难判断出满足约束条件

的平面区域的形状,再根据目标函数 z=x+5y 在直线 y=mx 与

直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此构造出关于 m 的方程,解方程即可求出 m 的取值范围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

目标函数 z=x+5y 可看做斜率为﹣ 的动直线,其纵截距越大 z 越大, 由 当 x= 可得 A 点( ,y= 时, ; , )

目标函数 z=x+5y 取最大值为 4,即 解得 m=3. 故答案为:3.

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数 z=x+my 在 点取得最大值,并由此构造出关于 m 的方程是解答本题的关键.

13. (5 分)已知命题 P:? n∈N,2 >1000,则¬P 为? x∈N,2 ≤1000. 考点: 命题的否定. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 含有量词“存在”的命题,其否定形式应该是先改量词为“任意”,再将结论否定, 由此即可得到本题的答案. n n 解答: 解:命题 p: ? n∈N,2 >1 000,它的含义是存在使 2 >1000 的自然数 n. n 由此可得它的否定应该是:不存在使 2 >1000 的自然数,换句话说

n

n

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 就是对任意的自然数 n,都有 2 ≤1000 成立 n 由此可得,命题 p 的否定﹁p 为:? x∈N,2 ≤1000 n 故答案为:? x∈N,2 ≤1000 点评: 本题给出存在性命题,要求我们找出它的否定形式,着重考查了含有量词的命题的 否定的知识,属于基础题. 14. (5 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 的对边, 在△ABC 中, b= 则角 A 的大小为 . a, 且 sinB+cosB=0,
n

考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 首先,根据 sinB+cosB=0,得到 B= 从而,确定角 A 的大小. 解答: 解:∵sinB+cosB=0, ∴tanB=﹣1, ∵B∈(0,π ) , ∴B= ∵ ∴sinA= , , = , ,然后,结合正弦定理,得到 sinA= = ,

∵A∈(0,π ) , ∴A= . .

故答案为:

点评: 本题属于中档题,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键,熟练应用正弦定理进行 求解角度问题,是考试的热点问题.

15. (5 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y=f(x)在上是增函数. 其中正确的命题的序号①②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 压轴题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 本题为新定义问题,因为 m 为整数,故可取 m 为几个特殊的整数进行研究. 解答: 解:由题意 x﹣{x}=x﹣m,f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣m|, m=0 时,﹣ <x≤ ,f(x)=|x|, m=1 时,1﹣ <x≤1+ ,f(x)=|x﹣1|, m=2 时,2﹣ <x≤2+ ,f(x)=|x﹣2|, 由图象可知正确命题为①②③, 故答案为:①②③.

点评: 本题是新定义问题,考查函数的性质,可结合图象进行研究,体现数形结合思想. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x ﹣5x+4≥0}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 a>0,且 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;集合关系中的参数取值问题;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)当 a=3 时,我们先分别化简集合 A,B,再求 A∩B; (2)A∩B=?,也就是,集合 A,B 没有公共元素,这样,就可以建立不等关系,从而可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=3 时,A={﹣1≤x≤5},B={x≤1 或 x≥4} ∴A∩B={﹣1≤x≤1 或 4≤x≤5} (2)∵A∩B=?,A={x|2﹣a≤x≤2+a}(a>0) ,B={x≤1 或 x≥4} ∴ ∴a<1 ∵a>0 ∴0<a<1 点评: 解答集合之间的关系的关键是理解集合的运算,建立不等关系,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17. (12 分)设向量 =(cos2A+1,cosA) , =(1,﹣ ) . (1)若 ∥ ,求 cosA 的值; (2)若 ⊥ ,求 tan( +A)的值.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量共线定理、倍角公式即可得出. (2)由 ⊥ ,可得 =0,再利用倍角公式可得 cosA=0 或 cosA= .再利用同角三角函数

基本关系式、正切公式即可得出. 解答: 解: (1)∵ ∥ , ∴ ∴ +cosA=0, . =0,

∴cosA=0 或 cosA= (2)∵ ⊥ , ∴cos2A+1﹣ cosA=0, ∴

cosA=0,∴cosA=0 或 cosA= . , = , =﹣1.

①当 cosA=0 时,A= ∴tan( +A)=

②当 cosA= 时, ∴ ∴tan( . +A)=

=7 或 .

点评: 本题考查了向量共线定理、倍角公式、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基 本关系式、正切公式,考查了计算能力,属于基础题. 18. (12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径.

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考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)连结 BD,由于 A+C=180°,则 cosA=﹣cosC,在△BCD 中,和在△ABD 中分别 应用余弦定理即可求得 BD 和角 C; (Ⅱ)由于 A+C=180°,则 sinA=sinC,由四边形 ABCD 的面积为 S△ABD+S△BCD,应用面积公式, 即可得到面积,再由正弦定理,得到比值为外接圆的直径,即可得到半径. 解答: 解: (Ⅰ)连结 BD,由于 A+C=180°,则 cosA=﹣cosC, 由题设及余弦定理得, 2 2 2 在△BCD 中,BD =BC +CD ﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC,?① 2 2 2 在△ABD 中,BD =AB +DA ﹣2AB?DAcosA=5+4cosC,?② 由①②得 ,故 C=60°,

则 . (Ⅱ)由于 A+C=180°,则 sinA=sinC, 由(Ⅰ)的结果及题设,可知四边形 ABCD 的面积

=

. .

由正弦定理,可得四边形 ABCD 的外接圆的半径

点评: 本题考查余弦定理以及应用,三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直 径,考查运算能力,属于中档题. 19. (13 分)某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内 全部售完.该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果 如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系; 图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每 件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 同) .

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t) 、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市 时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由图一中国外市场的日销售量 f(t)是一个分段函数,图二中在两段上均为一 次函数,国内市场的日销售量 g(t)是二次函数,利用选定系数法易求出国外市场的日销售 量 f(t) 、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式; (2)由图三中产品 A 的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系,我们可求出家公司的日销售利 润为 F(t)的解析式,分析函数的单调性后,结合函数的单调性可得第一批产品 A 上市后的 哪几天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元. 解答: 解: (1) , (0≤t≤40)

(2)每件产品 A 的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 设这家公司的日销售利润为 F(t) , 则 F(t)

=

=

当 0≤t≤20 时,



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故 F(t)在上单调递增,此时 F(t)的最大值是 F=6000<6300; 当 20<x≤30 时,令 60(﹣ 当 30<x≤40 时,F(t)=60( )>6300,解得 )<60( ; )=6300;

答:第一批产品 A 上市后,在第 24,25,26,27,28,29 天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元. 点评: 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用,其中根据函数图象,求出各个函数的 解析式,是解答本题的关键. 20. (13 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关 于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数列 的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出 的公比 q 写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,利用对数的运算 性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{
2 2 2 2

的通项

}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 故数列{an}的通项式为 an= .

(Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +?+

+

+?+ =﹣2( ﹣

=﹣(1+2+?+n)=﹣ )



=﹣2=﹣

, .

所以数列{

}的前 n 项和为﹣

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差 数列的前 n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)求证: .
x

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 分析: (Ⅰ)求导数,利用导数的正负,即可求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,a﹣alna﹣1≥0 对 a>0 恒成立,即可求实数 a 的 值; (Ⅲ)方法一:要证原不等式成立,只需证: ,即证:

;方法二:n≥2 时,

=

=

,即可证明结论成立. 解答: (Ⅰ)解:f′(x)=e ﹣a(1 分) ∴a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在 R 上单调递增. (2 分) a>0 时,x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈(lna,+∞)时,f′(x) >0,f(x)单调递增. (4 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,a>0 时,f(x)min=f(lna) ,∴f(lna)≥0(5 分) 即 a﹣alna﹣1≥0,记 g(a)=a﹣alna﹣1(a>0)∵g′(a)=1﹣(lna+1)=﹣lna∴g(a) 在(0,1)上增,在(1,+∞)上递减∴g(a)≤g(1)=0 故 g(a)=0,得 a=1(18 分) x (Ⅲ)证明:方法一:由(Ⅱ)e ≥x+1,即 ln(1+x)≤x(x>﹣1) ,则 x>0 时,ln(1+x) <x 要证原不等式成立,只需证: ,即证:
x

下证

①(9 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ?4(3 ﹣2?3 +1)≥3?3 ﹣4?3 +1?3 ﹣4?3 +3≥0?(3 ﹣1) (3 ﹣3)≥0 ①中令 k=1,2,?,n,各式相加,得
2k k 2k k 2k k k k

= 故原不等式成立. 方法二:n=1 时, n≥2 时, = ,

<1 成立, (14 分)

=



n≥2 时,

<2

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,函数的最值,考查不等式的证明, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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