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第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷附答案


2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 总分 200 分 考试时间 180 分钟

一、 (20 分,每小题 10 分) 1、如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与球 B 之间 用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC, 弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在

静止状态。现将 A、B 间的线突然剪 断,求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。

三、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、 如图所示, 电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处, 电荷量为 q2 的正点电荷固定在 x 轴上, 两电荷相距 l。已知 q2=2q1。 (i)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (ii)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动 和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。 2、有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变 化的图线如图 1 所示。试在 图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线(设场强 沿 x 轴正方向时取正值,场 强沿 x 轴负方向时取负值) 。

2、两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极 如图所示。开始时平板及磁铁皆处于水平位置,且静止不动。 (i)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互 接触) ,并使之停在 A′B′处,结果发现两个条形磁铁碰在 一起。 (ii)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移,并使之停在 A″B″位置处,结果发现两条形磁铁 也碰在一起。 试定性地解释上述现象。

二、 (20 分,每 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 (i)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路示意图。 (ii)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视 距离处的物体 P,试在示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的 光路示意图。 (iii)300 度的老花镜的焦距 f= m。 2、有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4。已知, f1>f2>|f3|>|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放 大倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为 的透镜作为物镜,应选焦距为 的 透镜作为目镜。

四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封 闭,一端开口,处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等,已 知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如图所示。假定细管被弯曲时,管长和管的内径 都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管 弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值? 给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。

五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电 子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。 假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素, 电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件,即 mrv=n

h 式中 n 称为 2?

量子数,可取整数值 1,2,3,…;h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激 发态与基态能量之差。

七、 (25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的轴线在 O 处。 圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B。筒壁的 H 处开有小孔,整个装 置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射 入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P 与筒壁碰 撞是弹性的, P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。 若要使 P 与筒壁碰撞的次数 最少,问: 1、P 的速率应为多少? 2、P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮 面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平 放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1 轮的辐条长为 a1、 电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度 与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。 一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后,悬 挂一质量为 m 的重物 P。 当 P 下落时, 通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转 动。转动过程中,A1、A2 保持接触,无相对滑动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;两细轴 通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计。 整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行。现将 P 释放,试求 P 匀速下落 时的速度。

八、 (25 分)图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水平的,截面的边长都是 l。 一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球,初始时,手持小球, 将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0,使小球与 CB 边无接触地 向下运动,当 v02 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?
2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl 2 2、 v0 ? 2(3 3 ? 11) gl

九、 (25 分)从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发 射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km。 已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-G Mm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量。
2a

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

1、假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的 连线之间的夹角表示) 。 2、若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? 3、试导出 E=-G Mm 。 2a

06 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准
一、参考解答: 1、线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1) 弹簧 S2 的弹力 F2=mcg (2) 在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变化,但线 的拉力消失。设此时 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC,

则有 F1-mAg=mAaA(3) F2+mBg=mBaB(4)

m ? mC m ? mC 解以上有关各式得 aA= B g,方向竖直向上(6);aB= B g,方向竖直向下(7);aC=0(8) mA mB
2、开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 (i)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加速移动, 板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下 的运动。在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大,磁 铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于 磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着,磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下 的运动,直线停在 A′B′处。在这过程中,磁铁对板的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁 铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的 状态不再改变。 (ii)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初,板和磁铁一起 作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每 个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动。接着,磁铁和板一起作加速 度方向向下、速度向上的运动,直线停在 A″B″处。在这过程中,磁铁对板的正压力减小,最大静 摩擦力亦减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到 某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准: (本题 20 分) 1、10 分, (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2、10 分, (i)5 分, (ii)5 分, (必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则 不给分) 。 二、参考答案

F2-mCg=mCaC(5)

由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向都指 向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时,P 点是 q0 的稳定平 衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定 平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两侧附近, 点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的主向都背离 P 点, 因而带正电的点电荷在 P 点 附近受到沿垂直 x 轴的分量的电场力都背离 P 点。所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2、评分标准: (本题 20 分) 1、12 分, (i)2 分 (ii) 当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时, 正确论证 q0>0, P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 3 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分。 (未列公式,定性 分析正确的同样给分) 当 q0 被限制在垂直于 x 轴方向运动时,正确论 证 q0>0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 2 分;正确论 证 q0<0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分。 2、8 分。纵坐标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标 的数值、图线与参考解答不同,正确的同样给分。 四、参考解答: 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后,气柱将因 水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x),根据玻意耳定律,此时空 气柱长度 L′=

HL H?x

(1)

空气柱上表面与管口的距离 d=L-L′=

L x H?x

(2)

1、 (i)

(ii)

(iii)

1 3

开始时 x 很小,由于 L>H,故 2、f1,f4

d >1 H?x

评分标准: (本题 20 分)1、12 分, (i)4 分, (ii)4 分, (iii)4 分。 对,才给这 8 分,否则 0 分。 三、参考答案 1、

2、8 分。两个空格都填

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止。何 时水银柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论。 1、水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管,此时水银柱的长度 x≤l, 由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL (3) 由(3)式可得 x=L-H (4) 由此可知,当 l≥L-H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值 xmax=L-H(5) 2、水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管,此时注入水银柱的长度 x>l,由玻意耳定律 有(H+l)(L-x)=HL (6) x=

(i)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标 为 x0,则有 k

Ll H ?l

(7) x=L-H

l<x=

Ll (8) H ?l

q1 q2 =k 2 x0 (l ? x0 ) 2

(1)

已知 q2=2q1 (2)

由(8)式得 l<L-H 或 L>H+l (9)

L <L-H (10) H ?l

由(1) 、 (2)两式解得 x0= ( 2 ? 1)l (3) (ii)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小 分别为 E10= k

q1 2 x0

E20= k

q2 ,且有 E10=E20,二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为 (l ? x0 ) 2

即当 l<L-H 时,注入水银柱的最大长度 x<xmax。 由上讨论表明,当 l≥L-H 时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为 xmax,即(5)式。 评分标准: (本题 20 分) 正确论证当 l≥L-H 时,可注入的水银量最大,占 13 分。求出最大水 银量占 7 分,若论证的办法与参考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答:

零,故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 x=x0+△x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为 E′1= k

q1 q2 <E10 方向沿 x 轴正方向 E′2= k >E20 方向沿 x 轴负方向 2 ( x0 ? ?x) (l ? x0 ? ?x) 2 q1 >E10 ( x0 ? ?x) 2
方向沿 x 轴正方向 E″

由于 E′2>E′1,x=x0+△x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 x=x0-△x 处 , q1 、 q2 的 场 强 的 大 小 分 别 为 E ″ 1= k
2=

k

q2 <E20 方向沿 x 轴负方向 (l ? x0 ? ?x) 2

由于 E″2<E″1,x=x0-△x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子间的库 2 e2 v2 仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即 k 2 ? m (1) (r / 2) r 1 正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有 Ek+=Ek-= mv2 (2) 2 2 e 正、负电子间相互作用的势能 Ep=- k (3) 电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep (4) r 1 e2 h 由 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 各式得 E=- k (5) 根据量子化条件 mrv=n n n=1,2,3,…… (6) 2 r 2?
正、负电子绕它们连线的中点作半径为

(6)式表明,r 与量子数 n 有关。由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为 rn=

n h 2? 2 ke 2 m

2

2

n=1,2,3,…… (7) n=1,2,3,…… (8)

n2k 2e4m 代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 En= n2h2

1、如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒子 P 带正电,其速率为 v。P 从小孔 射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞,是不可能从小孔射出 圆筒的。但与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出。在此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、 等半径的圆弧 HM、MN 和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN,如图 2 所示,由于 P 沿筒的半径 方向入射,OM 和 ON 均与轨道相切,两者的夹角 ? ?

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为 E1=- n=2 是第一激发态,与基态的能量差△E=

n2k 2e4m h2

2 ? (1) 3

(9)

3 n 2k 2e4m 4 h2

(10)

评分标准: (本题 20 分) (2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过两个轮子 之间无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切割磁场线,所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭 合电路。A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力。不难看出,安培 力产生的电磁力矩是阻力矩,使 A1、A2 加速转动的势头减缓。A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速 转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度 ?1 ? A1 带动 A2 转动,A2 的角速度ω 2 与 A1 的角速度ω 1 之间的关系为ω 1a1=ω 2a2 (2) A1 中每根辐条产生的感应电动势均为 ? 1 ?

v2 (2) r ? 圆弧对轨道圆心 O′所张的圆心角 ? ? (3) 3 ? 由几何关系得 r=Rcot (4) 2
设圆弧的圆半径为 r,则有 qvB=m 解(2) 、 (3) 、 (4)式得 v= 3qBR (5) m 2、P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 s=β r(6) ,经历时间为 t1= P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 t=3t1 (8)

v a0

(1)

s (7) v ?m 由以上有关各式得 t= (9) qB

1 2 Ba1 ?1 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理, A2 中, 轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联, 其数值为 ? 2 ?

1 2 Ba 2 ? 2(4) 2

评分标准: (本题 25 分)1、17 分, (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)式各 3 分, (5)式 5 分。2、8 分, (6) 、 (7) 、 (8) 、 (9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松 弛状态,故从 C 点开始,小球沿竖直方向作初速度为 v0、加 速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点 时,绳刚被拉直,匀加速直线运动终止。此时绳与竖直方向 的夹角为α =30?。 在这过程中,小球下落的距离 s=l+2lcosα =l(1+ 3 ) (1) 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:v12=v22+2gs (2) 在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的,故小球沿细绳方向的分速度 v1cos α 变为零,而与绳垂直的分速度保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度 v1′=v1sinα =

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值为 RA1=

R1 (5) 4

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势

的并联,其数值为 RA2=

R2 (6) 4

1 v1 (3) 2

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示,由(1) 、 (2) 、 (3)式

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为 I=

?1 ? ? 2
R ? R A1 ? R A2

(7)

得 v12=

1 2 1 v0 ? gl (1 ? 3 ) 4 2

(4)

1 ( ) Ba1 (a1 ? a 2 )v 2a 0 以(1)至(6)式代入(7)式,得 I= (8) R R R?( 1)?( 2) 4 4
当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即 mgv=I2(R+

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为θ ,由能量关系有

R1 R 2 + ) 4 4

(9)

以(8)式代入(9)式得 v=

m g(4 R ? R1 ? R2 )a0 B 2 a1 (a1 ? a 2 ) 2
2

2

1 1 ? 2 ? mv 2 ? mg ( 3l ? 2l s i n mv1 ? ) (5) 2 2 v2 用 FT 表示绳对小球的拉力,有 FT+mgsinθ = m (6) 2l 2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl
(10) 设在θ =θ 1 时(见图 2) ,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v=u1。以 此代入(5) 、 (6)两式得

评分标准: (本题 25 分) (1) 、 (2)式各 2 分, (3) 、 (4)式各 3 分, (5) 、 (6) 、 (7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10)式 3 分。 七、参考解答:

? ? u ? 2g ( 3l ? 2l s i n v1 ?1 )
2 2 1

(7)

u12 mgsinθ 1= (8) 2l

2 gl (10) 由(4) 、 (7) 、 (8)式和题设 v0 的数值可求得θ 1=45° (9) u1= 即在θ 1=45°时,绳开始松弛,以 N1 表示此时小球在圆周上的位置,此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45°角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平向右,y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处
抛出的时刻作为计时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为 x=u1cos45°t=

设发射时导弹的速度为 v,则有 E= 解(1) 、 (2) 、 (3)式得 v=

1 2 GMm mv - 2 R
(4)

(3) 因

2 u1t (11) 2

2GM ( 2 ? 1) R

GMm =mg (5) R2
(7)

比较(4) 、 (5)两式得 v= 2 Rg ( 2 ? 1)

(6)

代入有关数据得 v=7.2km/s

1 1 2 y= u1sin45°t- gt2= u1t- gt2 (12) 2 2 2
由(11) 、 (12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:y=x-g

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线,平分两焦 点到该点连线的夹角∠OCP,从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角θ =90?-

x2 x2 =x - (13) u12 2l

2、由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 vC=

2?R T

1 ×45?=67.5? (8) 2
(9)

AD 面的横坐标为 x=2lcos45°= 2 l (14) 由(13) 、 (14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 (15) 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为 y=-(2lsin45°-l)=-( 2 -1)l(16) 把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l (17) 撞击点与 D 点的距离为△l=x-2lcos45°=0.35l (18) 2、v02=2(3 3 +11)gl 设在θ =θ 2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v=u2。以此代替(5) 、 (6)式中的
2 ? 2 ? u2 θ 1、u1,得 v1 ? 2g ( 3l ? 2l sin ? 2 )
2

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故 vC=0.46km/s (10) C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7) 、 (8)两式的要求,导弹相对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 vC、方向与 vC 相反的分速度,以使导弹在此方向相对于地心的速度 为零,导弹的速度的大小为 v′= v ? vC
2 2

(11) 代入有关数据得 v′=7.4km/s (12)

(19)

msinθ 2=

2 u2 (20) 2l

它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7) 、 (8)两式。 3、质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近地点和 远地点有下列关系式

以 v0 =2(3 3 +11)gl3 代入 (4) 式, 与 (19) 、 (20) 式联立, 可解得θ 2=90° (21) u2= 2gl (22) (22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中的 拉力不断增加,拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力,小球将绕以 D 点 为圆心,l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, (5) 、 (6)式各 1 分, ( 9) 、 (10)式各 3 分,得出小球不可能 打在 AD 边上,给 3 分,得出小球能打在 DC 边上,给 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分。求出(21) 、 (22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再给 2 分。 如果学生直接从抛物线方程和 y=-(2lsin45°-l)=-( 2 -1)l 求 出 x=1.75l,同样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考答案: 1、这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下将沿椭圆轨 道运动。如果导弹能打到 N 点,则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因 此导弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一 个焦点。根据对称性,注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长辆是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质 量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球构成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能 的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-

1 2 GMm 1 2 GMm = m v2 ? m v1 ? 2 r1 2 r2

(13)

1 1 r1 v1 = r2 v 2 2 2

(14)

式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将(14)

1 2 r22 GMm (15) mv2 ( 2 ? 1) ? (r2 ? r1 ) 2 r1r2 r1 1 2 GMm r1 1 2 GMm 注意到 r1+r2=2a (16) 得 m v2 ? (17) 因 E= m v2 ? 2 r2 2 2a r2 GMm 由(16) 、 (17) 、 (18)式得 E=- (19) 2a
式中的 v1 代入(13)式,经整理得 评分标准: (本题 25 分) 1、14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, (6) 、 (7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2、6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3、5 分。 (13) 、 (14)式各 1 分, (19)式 3 分。

(18)

GMm (1) 2a

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦点到椭 圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径 R,只要位于长 轴上的另一焦点到 C 点的距离最小。该椭圆的半长轴就最小。显然,当另一焦点位于 C 到 AB 的垂 线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2a=R+

2 R (2) 2


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