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2015年1月上海市杨浦区高三数学(理科)一模试卷及参考答案


2015 年 1 月上海市杨浦区高三数学(理科)一模试卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定 区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 16 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(54 分)本大题共有 9 题

,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.若复数

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? 1 ? 2i

. . . 个. .

2.若 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) ? 3.设定点 A(0,1) ,若动点 P 在函数 y ?

x?2 ( x ? 0) 图像上,则 PA 的最小值为 x

4.用数字“ 1 , 2 ”组成一个四位数,则数字“ 1 , 2 ”都出现的四位偶数有

1 2 4n ?1 ? 1 2 5.设 n ? N ,圆 Cn : ( x ? ) ? ( y ? 1) ? n 的面积为 Sn ,则 lim S n ? n ? ?? n 4 ?1
?

6 . 在 Rt ?ABC 中 , AB ? AC ? 3 , M , N 是 斜 边 BC 上 的 两 个 三 等 分 点 , 则 AM ? AN 的 值 为 .

7 .设函数 f ( x) ?

15 sin(?x) ,若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件:①对任意的 x ? R ,都有 2 . f ( x) ? f ( x0 ) 成立;②x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是
2

8.若不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 ? ?3, 3? 的子集,则实数 a 的取值范围为 9.关于曲线 C : x ? y ? 1,给出下列四个结论:
4 3



① 曲线 C 是双曲线; ③ 关于坐标原点中心对称; 则其中正确结论的序号是

② 关于 y 轴对称; ④ 与 x 轴所围成封闭图形面积小于 2. . (注:把你认为正确结论的序号都填上)

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10. “ a ? 2 ”是“关于 x, y 的二元一次方程组 ? A.必要不充分条件;

?ax ? 2 y ? 3 有唯一解”的 【 ?x ? (a ? 1) y ? 1



B.充分不必要条件;
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C.充要条件;

D.既不充分也不必要条件.

11.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 .





12.对于集合 A ,定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中的元素间满足条件:如果存在元素 e ? A , 使得对任意 a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ,则称元素 e 是集合 A 对运算“ ? ”的单位元素.例 如: A ? R ,运算“ ? ”为普通乘法;存在 1 ? R ,使得对任意 a ? R ,都有 1? a ? a ?1 ? a , 所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的单位元素. 下面给出三个集合及相应的运算“ ? ” : ① A ? R ,运算“ ? ”为普通减法; ② A ? { Am?n Am?n 表示 m ? n 阶矩阵, m ? N , n ? N },运算“ ? ”为矩阵加法; ③ A ? X X ? M (其中 M 是任意非空集合) ,运算“ ? ”为求两个集合的交集. 其中对运算“ ? ”有单位元素的集合序号为 A.① ② ; B.① ③ ; C.① ② ③ ; D.② ③ . 【 】
? ?

?

?

三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 4 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13. (本题满分 18 分,第(1)小题 9 分,第(2)小题 9 分) 请仔细阅读以下材料: 已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数. 求证:命题“设 a, b ? R ? ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题.
? 证明 因为 a, b ? R ,由 ab ? 1 得 a ?

1 a

1 b

又因为 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,

1 ? 0. b

1 b 1 同理有 f (b) ? f ( ) . a
于是有 f (a ) ? f ( ) .

① ②

由①+ ② 得 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) .
? 故,命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题.

1 a

1 b

1 a

1 b

请针对以上阅读材料中的 f ( x) ,解答以下问题:
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(1)试用命题的等价性证明: “设 a, b ? R ? ,若 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ,则: ab ? 1 ”是 真命题; (2)解关于 x 的不等式 f (a x?1 ) ? f (2x ) ? f (a1? x ) ? f (2? x ) (其中 a ? 0 ) .

1 a

1 b

14. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC , 该曲线段是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? (0, ? )) , x ? [?4, 0] 的图像,图像的 最高点为 B(?1, 2) .边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD ,且 CD∥EF .游乐场的后一部分边 界是以 O 为圆心的一段圆弧 .

(1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2) 曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最 近距离为 1 千米,现准备从入口 G 修一条笔直的景 观路到 O ,求景观路 GO 长; (3) 如图, 在扇形 ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区 OMPQ, 平行四边形的一边在海岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧

y B G F(- 4,0) C 2 Q M D P E x

-1 O

上,且 ?POE ? ? ,求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 ? 的值.

15. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 7 分) 已知 F 1 ,F 2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,椭圆 C 过点 a 2 b2

(? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8x 有一个公共的焦点.
(1)求椭圆 C 方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2 ,且与椭圆交于 A, B 两点,求弦 AB 的长; (3) P 为直线 x ? 3 上的一点,在第(2)题的条件下,若△ ABP 为等边三角形,求直 线 l 的方程.

16. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ? 满足:①a1 ? 1;② 所有项 an ? N? ;③1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? ? ? . 设集合 Am ? n | an ? m, m ? N

?

?

?,将集合 A

m

中的元素的最大值记为 bm .换句话说, bm 是

数列 ?an ? 中满足不等式 a n ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数列 ?an ? 的
第 3 页 共 7 页

伴随数列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (1)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (2)设 an ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 100 之和; (3)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 数列 ?bn ? 前 m 项和 Tm .

3 2 1 n ? n ? c (其中 c 常数) ,试求数列 ?an ? 的伴随 2 2

理科答案
一.填空题:

1 .4 ;

2. ? 2 ;

3. 2 ;
8 . ?? ( ,5 ] ;

4 .7 ;

5.4? ;

6 .4 ;

7.(??,?2) ? (2,??) ;

9. ② ④

二.选择题:

10. A 11.C 12.D
三.解答题: 13. 解: (1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
? 原命题的逆否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则: f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ……4 分

1 a

1 b

下面证明原命题的逆否命题为真命题:
? 因为 a, b ? R ,由 ab ? 1 得: 0 ? a ?

又 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数 所以 f (a ) ? f ( ) …………(1)

1 , b

…………………………1 分

1 b

…………………………1 分 …………………………1 分 …………………………1 分 …………………………1 分
x

1 ) …………(2) a 1 1 由(1)+(2)得: f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) a b
同理有: f (b) ? f ( 所以原命题的逆否命题为真命题 所以原命题为真命题. (2)由(1)的结论有: a ① 当 2a ? 1 时,即 a ?
x ?1

? 2 ? 1 ,即: (2a) ? a
x

………………………3 分

1 时,不等式的解集为: (log 2a a, ? ?) ……………2 分 2 1 ② 当 0 ? 2a ? 1 时,即 0 ? a ? 时,不等式的解集为: ( ? ? , log 2a a) ………2 分 2 1 ③ 当 2a ? 1 时,即 a ? 时,不等式的解集为: R ……………2 分 2 14. 解: (1)由已知条件,得 A ? 2 , ……………………………1 分
第 4 页 共 7 页

T 2? ? ? 3 ,T ? ? 12 , ?? ? ……………………………2 分 4 ? 6 ? 2? 又∵ 当 x ? ?1 时,有 y ? 2sin(? ? ? ) ? 2 ? ? ? ……2 分 6 3 ? 2? ) , x ? [?4, 0] . ∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin( x ? ………1 分 6 3 ? 2? y ) ?1 得 (2)由 y ? 2sin( x ? 6 3 B 2 D …………2 分 x ? 6k ? (?1)k ? 4 (k ? Z ) C P G Q 又 x ?[?4,0] ? k ? 0 , x ? ?3 ?G(?3,1) …2 分
又∵

OG ? 10

……………………1 分 ……………1 分
F(- 4,0) -1 O M P1 E

∴ 景观路 GO 长为 10 千米

x

(3)如图, OC ? 3 , CD ? 1 , ? OD ? 2 , ?COD ? 作 PP 1 ? x 轴于 P 1 中, 1 点,在 Rt?OPP 在 ?OMP 中,

?

6 PP 1 ? OP sin ? ? 2 sin ? ……………1 分
…………………1 分

……………………………………1 分

OP OM ? 0 sin 120 sin(600 ? ? )

OP ? sin(600 ? ? ) 4 2 3 ∴OM ? ? ? sin(600 ? ? ) ? 2 cos? ? sin ? ……………1 分 0 sin 120 3 3 2 3 …………………1 分 S 平行四边形 OMPQ ? OM ? PP sin ? ) ? 2 sin ? 1 ? (2 cos? ? 3 2 3 2 3 4 3 cos2? ? ? 4 sin ? cos? ? sin 2 ? ? 2 sin 2? ? 3 3 3 ? 4 3 ? 2 3 ? ? (0, ) …………………2 分 ? sin(2? ? ) ? 3 3 6 3 ? ? ? 2 3 当 2? ? ? 时,即 ? ? 时:平行四边形面积最大值为 …………………1 分 6 2 6 3
15.解(1)由题意得 F1 (?2, 0) 又

c?2

…………………2 分

3 1 ? 2 ? 1, 2 a a ?4 4 2 2 2 得, a ? 8a ? 12 ? 0 ,解得 a ? 6 或 a ? 2 (舍去) , 2 则b ? 2 , x2 y 2 故椭圆方程为 ? ? 1. 6 2 (2)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) . ? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
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…………………2 分 …………1 分 …………………1 分 …………………1 分

消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ?

…………………3 分

12k 2 12k 2 ? 6 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

…………………1 分

则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ?

2 6(k 2 ? 1) . 3k 2 ? 1

…2 分

(3)设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) . 可得 x0 ?

6k 2 , 3k 2 ? 1 2k . y0 ? ? 2 3k ? 1
1 ,又 xP ? 3 , k

…………………1 分 …………………1 分

直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

1 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) . ? x ? x ? ? 0 P k2 k 2 (3k 2 ? 1)

…………………2 分

3 AB , 2 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) 3 2 6(k 2 ? 1) 可得 , ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1
当△ ABP 为正三角形时, MP ? 解得 k ? ?1 . 即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 . 16. 解: (1)1,4,7. (2)由 an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * ) ∴ 当 1 ? m ? 2, m ? N * 时, b1 ? b2 ? 1 当 3 ? m ? 8, m ? N 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2
*

…………………1 分 …………………1 分 …………………1 分 ………………6 分 …………………………1 分 …………………1 分 …………………1 分 ……………1 分 ……………1 分 …………1 分 …………………1 分 …………………2 分

当 9 ? m ? 26, m ? N * 时, b9 ? b10 ? ??? ? b26 ? 3 当 27 ? m ? 80, m ? N 时, b27 ? b28 ? ? ? ? ? b80 ? 4 当 81 ? m ? 100 , m ? N 时, b81 ? b82 ? ? ? ? ? b100 ? 5
? ?

∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b100 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ?18 ? 4 ? 54 ? 5 ? 20 ? 384 (3)∵a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴ c?0 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2
* ∴ an ? 3 n ? 2 (n ? N )

m?2 (m ? N * ) 3 因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm ,
由 an ? 3n ? 2 ? m 得: n ? 所以

b1 ? b2 ? b3? 1, b? 4
*

b ? 5

? b6 2??? , ,t ?b3?

2 t ?

b ? 3

1t

?b

3

? t( * t

N ) ……1 分

当 m ? 3t ? 2 (t ? N ) 时:
第 6 页 共 7 页

1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 ? (t ? 1) ? t ? ? (m ? 1)(m ? 2) 2 2 6 * 当 m ? 3t ?1 (t ? N ) 时: Tm ? 3 ? 1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 ? (t ? 1) ? 2t ? ? (m ? 1)(m ? 2) 2 2 6 * 当 m ? 3t (t ? N ) 时: Tm ? 3 ? Tm ? 3 ?

…………………1 分

…………………1 分

所以

1? t 3(t 2 ? t ) 1 ?t ? ? m(m ? 3) …………………1 分 2 2 6 ? (m ? 1)(m ? 2) (m ? 3t ? 2 或m ? 3t ? 1 , t ? N * ) ? ? 6 Tm ? ? ……………1 分 ? m(m ? 3) (m ? 3t , t ? N * ) ? 6 ?

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