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解三角形历年部分高考题——教师版


4. ( 2011 年 高 考 浙 江 卷 文 科 5) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若

a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ?
(A)-

1 2

(B)

1 2

(C) -1

(D) 1

【答案】 D 【解析】 :由余弦定理得: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, ? 2 R sin A cos A ? 2 R sin B sin B

即sin A cos A ? sin 2 B 则 sin A cos A ? cos2 B ? sin 2 B ? cos2 B ? 1 ,故选 D
6. (2011 年高考重庆卷文科 8)若△ ABC 的内角, A, B, C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C , 则 cos B ? ( )

A.

15 4

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

11 16

6、 (湖南文)17. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (Ⅰ)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

23.(2011 年高考安徽卷文科 16) (本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长, a= 3 ,b= 2 , 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高. 【命题意图】 :本题考察两角和的正弦公式,同角三角函数的基 本关系,利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边 与角之间的大小对应关系解三角形的能力,考察综合运算求解 能力。 【解析】 :∵A+B+C=180° ,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 ,
?

即 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

1 ,又 0°<A<180°,所以 A=60°. 2

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? 在△ABC 中,由正弦定理 得 , a 2 3 sin A sin B

又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75? ? 2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos30? ? cos 45? sin30? )
? 2( 2 3 2 1 3 ?1 . ? ? ? )? 2 2 2 2 2

【解题指导】 :解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定 理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。本题属于中档题。 24. (2011 年高考江西卷文科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C . (1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 1, cos B ? cosC ?

2 3 ,求边 c 的值. 3

29. (2011 年高考湖南卷文科 17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

0. (2011 年高考湖北卷文科 16)(本小题满分 10 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a ? 1, b ? 2, cos C ? (Ⅰ) 求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A—C.) 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力. 解析: (1)∵ c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? a+b+c=1+2+2=5.
1 15 1 . (2)∵ cos C ? , ∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? 4 4 4
1 4

1 ? 4, ∴ c ? 2 .∴△ABC 的周长为 4

15 a sin C 15 ∵ sin A ? ? 4 ,? . c 2 8

∵ a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角. ∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? ( ∴ cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?
15 2 7 ) ? . 8 8

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 4 16

5.(2011 年高考全国卷文科 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知
0 (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a与c a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ)求 B;

【解析】 :(Ⅰ)由正弦定理得 sin A ?

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
即 a2 ? c2 ? 2ac ? b2 , 由余弦定理得:

?a ?

a c c b ?c? ? 2a ? b? 2R 2R 2R 2R

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 2cos B ? 2 , 即cos B ?
0

2 , 又 ? B ? (0,1800 ) ,故 B=450 2
0 0

(Ⅱ)法一 A=75 ,?C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 75 ? 45 ? 60
0 0 0

由正弦定理得:
2 2 2

b c 2 c ? 即 ? ,则 c ? 6 0 sin B sin C sin 45 sin 600
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B得4=a ? 2 3a ? 6 ,即 a ? 2 3a ? 2 ? 0

?a ? 3 ? 1或a ? 3 ?1(舍去)
法二(Ⅱ)首先 sin A ? sin(45 ? 30 ) ?
? ?

2? 6 3 . sin C ? sin 60? ? . 4 2

b sin A ? 由正弦定理 a ? sin B

2?

2? 6 3 2? b sin C 4 2 ? 6. ? 3 ? 1. 同理 c ? ? sin B 2 2 2 2

?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中,
o 且 ?A ? 75 ,则 b ?

( C.4— 2 3 D. 6 ? 2

)

A.2 答案 A 解析

B.4+ 2 3

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos300 ?
0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ? 由正弦定理得 b ?

1 2

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
12 ,则 cos A ? 5 5 12 C. ? D. ? 13 13
( )

2.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

答案 D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? . 除 A 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 12 3.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13
解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? 答案 解析 D 已知 ?ABC 中, cot A ? ?

? 12 ,? A ? ( , ? ) . 2 5
?? 12 13
故选 D.

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

4.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 解析 2 ( 2 , 3)

.

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 ? cos ? ? , 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
b、 5. (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 已知 a ? c ? 2b , c,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数 值的制约,并利用正弦定理得到 sinB= cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

解:由

3 3 及 B=π ? (A+C)得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2 2 3 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= , 2 3 sinAsinC= . 4
2

又由 b =ac 及正弦定理得

sin 2 B ? sin A sin C,
故 sin B ?
2

3 , 4


sin B ?
于是 B= 又由

3 2

sin B ? ?

3 (舍去) , 2

2 π π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c

所以

B=

π 。 3

16.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

17.(2009 全国卷Ⅱ理)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

3 2 , b ? ac ,求 B 2 3 分析:由 cos( A ? C ) ? cos B ? ,易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 2 cos( A ? C ) ? cos B ?
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 3 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦 2 2。

公式展开得 sin A sin C ?

3 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 4

sin 2 B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
了检验,事实上,当 B ?

? 2? 3 .故 B ? 或 。大部分考生做到这里忽略 3 3 2

2? 1 时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 3 2 3 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3
评析:本小题考生得分易,但得满分难。 24.(2009 湖南卷理). 在 ?ABC ,已知

??? ? ???? ??? ? ???? 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC 2 ,求角 A,B,C 的大小.
解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以

??? ? ????

??? ? ????

cos A ?

3 2

又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 ? C) ? sin C ) ? , sin C ? ( cos C ? ,因此 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3


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