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2015-2016学年吉林省延边二中高一下学期期中考试数学试题


延边第二中学 2015-2016 学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷
一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 1.cos420°+sin330°等于( ) A.1 B.﹣1 C. D.0 ,弧长为 2? ,则这个扇形中心角为( )

2.一个扇形的面积为 A

? 3

B

? 4



? C 6

D

2? 3


3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 680 人、 高三 720 人中, 抽取 50 人进行问卷调查, 则高一、 高二、 高三抽取的人数是 ( A.15,16,19
?

B.15,17,18 )
?

C.14,17,19

D.14,16,20

4.与 ?463 终边相同的角可表示为( A. k ? 360 ? 436 ? k ? Z ?
? ?

B. k ? 360 ? 103 ? k ? Z ?
?

C. k ? 360 ? 257 ? k ? Z ?
? ?

D. k ? 360 ? 257 ? k ? Z ?
? ?

5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.3

)

6.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作 两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(



A、

7.已知角 ? 的终边经过点 P(﹣4,3) ,函数 f(x)=sin(ω x+ ? ) (ω >0)的图象的相 邻两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B. ,则 f( )的值为( C.﹣ ) D. ( ) B. D.

1 1 ? 2 ?

B、

1

?

C、 1 ?

2

?

D、

2

?

8.已知函数错误!未找到引用源。 ,下面结论错误 的是 ..

A. 函数错误! 未找到引用源。 的最小正周期为 2 错误! 未找到引用源。 函数错误!未找到引用源。在区间[0,错误!未找到引用源。 ]上是增函数 C.函数错误! 未找到引用源。 的图象关于直线错误! 未找到引用源。 =0 对称 函数错误!未找到引用源。是奇函数

第1页 共9页

9.已知 α ∈(0,π ) ,sinα +cosα =﹣ ,则 tanα 等于( A. B.﹣ C. D.﹣



10. 如果函数 y ? 2sin ? 2x ? ? ? 的图象关于点 ( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3


4? , 0) 中心对称, 那么 | ? | 的最小值为 ( 3 ? D. 2



11.函数 y ?

cosx 的图象大致是( ln | x |

12.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是 π ,且当 x∈ (0, )时,f(x)=sinx,则 =( )

A.

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知角 ? 的终边经过点 P(? 3, y) ( y ? 0) ,且 sin ? ? 3π ? ? 14.函数 f(x) =sin?-2x+ ?的单调增区间为 4 ? ? 15. 函数 y ? 1 ? x2 ? lg(2cos x ?1) 的定义域为
2

2 y ,则 cos? ? 4
对称轴为 .

x??, 16. 已知函数 y ? sin x ? sin x ? 1( x ? R) , 若当 y 取最大值时, 当 y 取最小值时, x ?? ;

且 ? , ? ?[? , ] ,则 sin(? ? ? ) ? 2 2 三、解答题(共 6 题,52+20 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知

?

?



sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? 2 ? 3 ,计算(1) ; (2) (sin? ? cos? ) sin ? ? 2 cos ? 5 cos ? ? sin ?

18. (本题满分 10 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 的关系进行分析研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 每 100 颗种子中的发芽数,得到如下资料:

第2页 共9页

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方 程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (注:此问不要求列出基本事件,但要求说出基本事件有多少个,符合题意的事件有多 少个,再计算结果) (2) 若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx ? a 已 知 回 归 直 线 方 程 是 : y ? b x? a, 其 中
^

b?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y? b x ;

?

?

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 19. (本小题满分 10 分)从某学校 的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高 全部介 于 155cm 和 195cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组: 第一组 [155, 160) , 第二组 [160, 165)…… 第八组[190,195] .如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份,已知第一组 与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人.

(Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (Ⅲ) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生, 记他们的身高分别为 xcm , ycm ,
第3页 共9页

事件 E ? x ? y ? 5 ,事件 F ? x ? y>15 ,求概率 ? ? ? ? F? . (注:此问概率问题要求列出基本事件) 20、 (本题满分 10 分)

?

?

?

?

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 ⑴已知角 ? 终边经过点 P(-4,3) ,求 的值? 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2
(2)已知函数 y ? a ? b cos( x ? 2a+b 的值?

?

?
3

) ,(b>0)在 0 ? x ? ? 的最大值为

3 1 ,最小值为- ,求 2 2

21. (满分 12 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? 2a ? b, 当 x ? ?0, ? 时, 6 ? 2?

? 5 ? f ?x ? ? 1 。
(1)设 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) ,且 lg g ( x) ? 0, 求 g ( x) 的单调递增区间;

(2)若不等式 f ( x) ? m ? 3 对于任意 x ? ? 0,

? ?? 恒成立,求实数 m 的取值范围。 ? 6? ?

附加题: (20 分) 22. (5 分)函数 y= 之和等于 (直接写结果) 的图象与函数 y=2sinπ x(﹣3≤x≤5)的图象所有交点的横坐标

23. (15 分)已知定义在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上的奇函数 f ( x) 满足 f (2) ? 0 ,且在 ? ??,0 ? 上是增 函数;又定义 行列式

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 ; 函数 g (? ) ?

sin ? m

3 ? cos ? ? (其中 0 ? ? ? ). sin ? 2

(1) 证明: 函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上也是增函数; (2) 若函数 g (? ) 的最大值为 4,求 m 的值; (3) 若记集合 M ? ?m | 恒有g(? )? 0? , N ? ?m | 恒有f ?g(? )? ? 0? , 求 M ? N 计算下列各 式的值:

第4页 共9页

数学
一、选择题 DDBCB CADBC 二、填空题 9π CA

13

.

14 +kπ(k∈Z);+kπ(k∈Z)



15.

16.

三、解答题 17.(10 分)

------2 分

------5 分

------10 分 18(本题共 10 分) 解: (1)设抽到不相邻两组数据为事件 ,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10

种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种,

所以

.-----------3 分

(2)由数据,求得

. 由公式,求得





所以 y 关于 x 的线性回归方程为

.---------7 分

(3)当 x=10 时,

,|22-23|<2;

同样,当 x=8 时,

,|17-16|<2.

所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的.------ 10 分 19. (本题共 10 分)

试题解析: (Ⅰ)第六组的频率为
第5页 共9页

∴ 第七组的频率为 1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06----2 分 (Ⅱ) 身高在第一、 第二、 第三组的频率之和为 0. 008×5+0. 016×5+0. 04×5=0. 32<0. 5, 身高在前四组的频率为 0.32+0.04×5=0.52>0.5,估计这所学校 800 名男生的身高的 中位数为 m, 则 170<m<175, 由 0. 04+0. 08+0. 2+ (m-170) ×0. 04=0. 5, 解得 m=174. 5, 由直方图得后三组频率为 0.06+0.08+0.008×5=0.18,所以身高在 180cm 以 上(含 180cm)的人数为 0.18×800=144 人----6 分 (Ⅲ)第六组 a、b、c、d,第八组 的人数为 2 人,

设为 A、B 则有 ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB 共 15 种情况 因事件 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基

本事件为 ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB 共 7 种情况,故 P(E)= 由 ,所以事件 ,∴ P(F)=0

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件

所以 20、 (本题共 10 分) 解⑴∵角 终边经过点 P(-4,3) ,∴

----10 分

………………1 分



------5 分

(2)∵ ∴



………………6 分 ………………8 分

∵b>0 并且在

的最大值为

,最小值为-

∴ 解得: ∴2a+b=3
第6页 共9页

………………9 分

………………10 分

21. (本题共 12 分)

(1)

……1 分

……2 分 又 ……4 分

……5 分

……6 分

因为

单调递增,

……7 分

的单调递增区间为

……8 分

(2)

……9 分

因为

对于任意

恒成立,

等价于

恒成立 ……10 分

即 分)

……11 分

……12 分

(没取

扣 1

附加题(本题共 20 分)
第7页 共9页

22. (本题共 5 分) 8 23. (本题共 15 分) 解(1) 证明:任取 且 故 即 (2) ,函数 在 上也是增函数; 在 则 上是增函数, ,又 为奇函数

的最大值只可能在 处取.

,

,





,则有

,此时

,符合;





,则有

,此时

,不符合;





,则有



此时 (3) 又 由 又 是定义在 在



, 不符合 . 上的奇函数且满足 上均是增函数,





或 ,

所以
第8页 共9页

即不等式



恒成立



此时



此时

综上所得



第9页 共9页


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