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2015年高考数学(文科)不等式汇编


2015 年高考数学(文科)分类——不等式
ì x- 2? 0 ? ? 1. 【2015 高考天津, 文 2】 设变量 x, y 满足约束条件 í x - 2 y ? 0 ,则目标函数 z = 3 x + y 的 ? ? ? x +2y - 8 ? 0
最大值为( (A) 7 【答案】C 【解析】 ) (B) 8 (C) 9 (D)14

z = 3x + y =

5 1 x - 2) + ( x + 2 y - 8) + 9 ? 9 ,当 x ? 2, y ? 3 时取得最大值 9,故选 C.此题 ( 2 2

也可画出可行域,借助图像求解, 【考点定位】本题主要考查线性规划知识. 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约 束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距 离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 2.【2015 高考浙江,文 6】有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色, 且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位: m 2 )分别为 x , y , z ,且

x ? y ? z ,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/ m 2 )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在
不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( A . ax ? by ? cz D. ay ? bx ? cz 【答案】B 【解析】 由 x ? y ? z , a ? b ? c ,所以 ax ? by ? cz ? (az ? by ? cx ) ? a ( x ? z ) ? c ( z ? x ) ) C . ay ? bz ? cx

B . az ? by ? cx

? ( x ? z )(a ? c) ? 0 ,故 ax ? by ? cz ? az ? by ? cx ;同理, ay ? bz ? cx ? (ay ? bx ? cz ) ? b( z ? x) ? c( x ? z ) ? ( x ? z )(c ? b) ? 0 az ? by ? cx ? (ay ? bz ? cx)
, 故

ay ? bz ? cx ? ay ? bx ? cz . 因 为
, 故

? a ( z ? y) ? b( y ? z) ? ( a ? b)( z ? y) ? 0

.故最低费用为 az ? by ? cx .故选 B. az ? by ? cx ? ay? bz? cx

考点:1.不等式性质;2.不等式比较大小. 【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选 项利用作差的方式进行比较,确认最小值.本题属于容易题,重点考查学生作差比较的能力.

? x? y?2?0 ? 3.【2015 高考重庆,文 10】若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为三角形,且其面 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
积等于

4 ,则 m 的值为( 3

) (B) 1 (C)

(A)-3 【答案】B

4 3

(D)3

【解析】如图,



? x? y?2?0 4 ? 由于不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为 ?ABC ,且其面积等于 , 3 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
再注意到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 与直线 BC : x ? y ? 2m ? 0 互相垂直,所以 ?ABC 是直角 三角形, 易知, A(2, 0), B (1 ? m,1 ? m) , C (

2 ? 4m 2m ? 2 , ) ;从而 3 3

S ?ABC ?

1 1 2m ? 2 4 = , 2 ? 2m ? m ? 1 ? 2 ? 2m ? 3 2 2 3
2

化简得: (m ? 1) ? 4 ,解得 m ? ?3 ,或 m ? 1 ,检验知当 m ? ?3 时,已知不等式组不能表 示一个三角形区域,故舍去,所以 m ? 1 ;故选 B. 【考点定位】线性规划与三角形的面积. 【名师点睛】 本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域, 利用已知条件将

三角形的面积用含 m 的代数式表示出来,从而得到关于 m 的方程来求解.本题属于中档题, 注意运算的准确性及对结果的检验. 4.【2015 高考湖南,文 7】若实数 a, b 满足 A、 2 【答案】C 【解析】? B、2

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为( a b
C、2 2

) D、4

1 2 1 2 1 2 2 ? ? ab, ? a>0,b>0, ? ab ? ? ? 2 ? ? 2 ,? ab ? 2 2 , a b a b a b ab

(当且仅当 b ? 2a 时取等号) ,所以 ab 的最小值为 2 2 ,故选 C. 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放 缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果 条件等式中, 同时含有两个变量的和与积的形式, 就可以直接利用基本不等式对两个正数的 和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.

?2 x ? y ? 10 ? 5.【2015 高考四川,文 9】设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
(A)

)

25 2

(B)

49 2

(C)12

(D)14

【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识,考查知识的整合与运用,考 查学生综合运用知识解决问题的能力.

【名师点睛】本题中,对可行域的处理并不是大问题,关键是“求 xy 最大值”中,xy 已经 不是“线性”问题了,如果直接设 xy=k, ,则转化为反比例函数 y=

k 的曲线与可行域有公 x

共点问题,难度较大,且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中,用基本不等式的思想,通 过系数的配凑,即可得到结论,当然,对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较 难题.

?x ? 2 y ? 2 ? 6.【2015 高考广东,文 4】若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大 ?x ? 4 ?
值为( A. 10 【答案】C 【解析】作出可行域如图所示: ) B. 8 C. 5 D. 2

作直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 ,再作一组平行于 l0 的直线 l : 2 x ? 3 y ? z ,当直线 l 经过点 ? 时,

?x ? 2 y ? 2 ?x ? 4 得: ? ,所以点 ? 的坐标为 ? 4, ?1? ,所以 z ? 2 x ? 3 y 取得最大值,由 ? ?x ? 4 ? y ? ?1

zmax ? 2 ? 4 ? 3 ? ? ?1? ? 5 ,故选 C.
【考点定位】线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正 确画出不等式组所表示的平面区域, 然后确定目标函数的几何意义, 通过数形结合确定目标 函数何时取得最值.解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错

误;画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误. 7.【2015 高考重庆,文 14】设 a, b > 0, a + b = 5 ,则 a +1+ b +3 的最大值为________. 【答案】 3 2 【解析】由 2ab ? a 2 ? b 2 两边同时加上 a 2 ? b 2 得 (a ? b) ? 2(a ? b ) 两边同时开方即得:a ? b ?
2 2 2

2(a 2 ? b 2 ) ( a ? 0, b ? 0 且当且仅当

, a ? b 时取“=”) 从而有 a +1+ b +3 ?

2(a ? 1 ? b ? 3) ? 2 ? 9 ? 3 2 (当且仅当 a ? 1 ? b ? 3 ,即

7 3 ,故填: 3 2 . a ? , b ? 时,“=”成立) 2 2
【考点定位】基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值,先将基本不等式 2ab ? a 2 ? b 2 转化为 )再利用此不等式来求解.本题属 a ? b ? 2(a 2 ? b 2 ) (a>0,b>0 且当且仅当 a=b 时取“=” 于中档题,注意等号成立的条件.

? x? y?2?0 ? 8.【2015 高考新课标 1,文 15】若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
为 【答案】4 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 3 x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,当直线 .

? x ? y ? 2=0 l :z=3x+y 过点 A 时,z 取最大值,由 ? 解得 A(1,1) ,∴z=3x+y 的最大值为 4. ? x ? 2 y ? 1=0

考点:简单线性规划解法 【名师点睛】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义,结合 可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,

要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直 线型和斜率型. 9.【2015 高考陕西,文 11】某企业生产甲乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示, 如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元.4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )

A.12 万元 【答案】 D

B.16 万元

C.17 万元

D.18 万元

【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别 x , y 吨,则利润 z ? 3 x ? 4 y

? x ? 0, y ? 0 ? 由题意可列 ?3 x ? 2 y ? 12 ,其表示如图阴影部分区域: ? x ? 2y ? 8 ?

当直线 3 x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值 z ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 , 故答案选 D 。 【考点定位】线性规划. 【名师点睛】1.本题考查线性规划在实际问题中的应用,在解决线性规划的应用题时,可依 据以下几个步骤: ①分析题目中相关量的关系, 列出不等式组, 即约束条件和目标函数; ②由约束条件画出可行域;③分析目标函数 z 与直线截距之间的关系; ④使用平移直线 法求出最优解;⑤还原到现实问题中.2.本题属于中档题,注意运算的准确性.

?x ? y ? 1 ? 10.【2015 高考湖南,文 4】若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小 ? x ?1 ?
值为( A、 ?1 【答案】A 【解析】 ) B、0 C、1 D、2

?x ? y ? 1 ? 由 约 束 条 ?y ? x ?1 作 出 可 行 域 如 图 , 由 图 可 知 , 最 优 解 为 A , 联 立 ? x ?1 ?
? x ? y=1 ? x ? 0 ?? ? A ? 0,1? , ? ? y ? x=1 ? y ? 1
∴ z ? 2 x ? y 在点 A 处取得最小值为 ?1 .故选:A.

【考点定位】简单的线性规划 【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域, 理解目标函数的意义.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z ? ax ? by ,求这类目标函 数的最值常将函数 z ? ax ? by 转化为直线的斜截式: y ? ? 的截距

a 1 x ? z , (b ? 0) ,通过求直线 b b

z 2 2 的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z ? ( x ? a ) ? ( y ? b) . (3)斜率型: b
y ?b .注意:转化的等价性及几何意义. x?a

形如 z ?

?x ? y ? 0 ? 11.【2015 高考福建,文 10】变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最大 ?mx ? y ? 0 ?

值为 2,则实数 m 等于( A. ?2 【答案】C
3 2

) D. 2

B. ?1

C. 1

C
–4 –3 –2 –1

1

B
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

【解析】将目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 取最大值,则直线纵截距最小,故当 m ? 0 时,

2 2m , ) .显然 O(0, 0) 2m ? 1 2m ? 1 2 2m 4 2m 不是最优解,故只能 B ( , ) 是最优解,代入目标函数得 ? ? 2, 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1
不满足题意;当 m ? 0 时,画出可行域,如图所示, 其中 B ( 解得 m ? 1 ,故选 C. 【考点定位】线性规划. 【名师点睛】本题考查含参数的线性规划问题,首先要对目标函数进行分析,什么时候目标 函数取到最大值,其次要对 m 的符号讨论,以确定可行域,解该类题目时候,往往还要将 目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较,否则很容易出错. 12.【2015 高考福建,文 5】若直线 于( A.2 ) B.3 C.4 D.5

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等 a b

【答案】C 【解析】由已知得

1 1 1 1 b a ? ? 1 ,则 a ? b =(a ? b)( ? ) ? 2 ? + ,因为 a ? 0, b ? 0 , a b a b a b

所以

b a b a b a + ? 2 ? =2 ,故 a ? b ? 4 ,当 = ,即 a ? b ? 2 时取等号. a b a b a b

【考点定位】基本不等式. 【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式,利用直线过点寻求变量 a, b 关系,

进而利用基本不等式求最小值, 要注意使用基本不等式求最值的三个条件 “正, 等, 定” , 属于中档题.

? x? y ?0 ? 13.【2015 高考安徽,文 5】已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大 ? y ?1 ?
值是( (A)-1 【答案】A 【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图: ) (B)-2 (C)-5 (D)1

令 z ? ?2 x ? y ? y ? ?2 x ? z ,可知在图中 A(1,1) 处, z ? ?2 x ? y 取到最大值-1,故选 A. 【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划. 【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时,考生作图和确定可行区域一定要细心,本题考 查了考生的数形结合能力和基本运算能力. 14. 【 2015 高 考天津 ,文 12 】已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值 为 时

log 2 a ? log 2 ? 2b ? 取得最大值.
【答案】4 【 解 析 】 log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? ?

? log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? 1 1 2 2 ? ? ? log 2 2ab ? ? ? log 2 16 ? ? 4, 当 2 4 ? ? 4

a ? 2b 时取等号,结合 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 可得 a ? 4, b ? 2.
【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注 意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理 ,使之可用基本不 等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.

? y ? x ?1 ? 15.【2015 高考山东,文 12】 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z ? x ? 3 y 的最大值 ? y ?1 ?
为 .

【答案】 7 【解析】 画出可行域及直线 x ? 3 y ? 0 ,平移直线 x ? 3 y ? 0 ,当其经过点 A(1, 2) 时,直线的纵截距 最大,所以 z ? x ? 3 y 最大为 z ? 1 ? 3 ? 2 ? 7 .

【考点定位】简单线性规划. 【名师点睛】本题考查了简单线性规划的应用,解答本题的关键,是掌握方法,准确画图, 细心计算. 本题属于基础题, 是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题, 在考查相关基础知识 的同时,较好地考查了考生的作图能力及运算能力.
? x ? y ? 4, ? 16.【 2015 高考湖北,文 12】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 3x ? y 的最大值是 ?3x ? y ? 0, ?

_________. 【答案】 10 .

【考点定位】本题考查线性规划的最值问题,属基础题. 【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题,重点考查线性规划问题的基本解决方法,体现 了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性, 能较好的考查学生准确作图能力和灵活运 用基础知识解决实际问题的能力. 17.【2015 高考广东,文 11】不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 【答案】 ? ?4,1? 【解析】 由 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 得:?4 ? x ? 1 , 所以不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 ? ?4,1? , 所以答案应填: ? ?4,1? . 【考点定位】一元二次不等式. 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式,属于容易题.解题时要注意 x 2 的系数是 否为正数,如果 x 2 的系数是负数,一定要化为正数,否则很容易出现错误. 18. 【2015 高考北京, 文 13】 如图,???C 及其内部的点组成的集合记为 D ,? ? x, y ? 为 D 中任意一点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 . . (用区间表示)

【答案】 7

【解析】由题图可知,目标函数 y ? ? 最大值为 7 .

2 z x ? ,因此当 x ? 2, y ? 1 ,即在点 ? 处时 z 取得 3 3

【考点定位】线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正 确画出不等式组所表示的平面区域, 然后确定目标函数的几何意义, 通过数形结合确定目标 函数何时取得最值.解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错 误. 19.【2015 高考浙江,文 14】已知实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 2 x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y 的最大值是 【答案】15 【解析】 .

? 2 ? x ? 2 y, y ? 2 ? 2 x z ? 2x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3y ? ? ?10 ? 3 x ? 4 y, y ? 2 ? 2 x

由图可知当 y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 劣弧,则 z ? 2 ? x ? 2 y 在点 A(1, 0) 处取得 最大值 5 ;当 y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 优弧,则 z ? 10 ? 3 x ? 4 y 与该优弧相切时 取得最大值,故 d ?

z ? 10 ? 1 ,所以 z ? 15 ,故该目标函数的最大值为 15 . 5

【考点定位】1.简单的线性规划; 【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.根据条件,利用分类讨论,确定目标函数的情 况,画出可行域,根据线性规划的特点,确定取得最值的最优解,代入计算.本题属于中等 题,主要考查学生数形结合的能力以及分类讨论思想.

?x ? y ? 0 ? 20. 【 2015 高考上海,文 9 】若 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值 ?y ? 0 ?
为 .

【答案】3 【解析】不等式组表示的平面区域如图 ?OAB (包括边界) ,联立方程组 ?

?y ? x ,解得 ?x ? y ? 2

?x ? 1 ,即 A(1,1) , ? ?y ?1
平移直线 x ? 2 y ? 0 当经过点 A 时, 目标函数 z ? x ? 2 y 的取得最大值, 即 z max ? 1 ? 2 ? 3 .

【考点定位】不等式组表示的平面区域,简单的线性规划. 【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 21. 【2015 高考上海, 文 16】 下列不等式中, 与不等式 A. ( x ? 8)( x ? 2 x ? 3) ? 2
2

x ?8 ( ? 2 解集相同的是 x ? 2x ? 3
2

) .

B. x ? 8 ? 2( x ? 2 x ? 3)
2

1 2 C. 2 ? x ? 2x ? 3 x ? 8
【答案】B

x2 ? 2x ? 3 1 ? D. x ?8 2

【解析】因为 x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ? 0 , x ? 8 可能是正数、负数或零,所以由
2 2

x ? 8 ? 2( x 2 ? 2 x ? 3) 可 得

x ?8 x ?8 ? 2 , 所以 不等 式 2 ? 2 解集相 同的 是 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3
2

x ? 8 ? 2( x 2 ? 2 x ? 3) ,选 B.
【考点定位】同解不等式的判断. 【名师点睛】求解本题的关键是判断出 x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ? 0 . 本题也可以解出
2 2

各个不等式,再比较解集.此法计算量较大



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