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上海中学高三数学综合练习(1)


上海中学高三数学综合练习(一)
班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________ 一. 填空题 1. 定义在 R 上的奇函数 f(x)以 2 为周期,则 f(1) =___________. 2. 如果复数
1 ? bi 1? i
n

( b ? R )的

实部和虚部互为相反数,则 b 等于_____________.

3.(理) 若 (1 ? 2 x ) 展开式中含 x 3 项的系数等于含 x 项的系数的 8 倍,则 n=______.
?x ? 1 ? (文) 若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为_______________. ?x ? y ? 6 ?

4.已知 a ? 0 ,则关于 x 的不等式 | 5.点 P 是椭圆
x
2

3a x? a

| ? 1 的解集为__________________.

?

y

2

25

16

? 1 上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,且 ? PF1F2 的内切圆半径为

1,当 P 在第一象限内时,P 点的纵坐标为_____________.
? 1 ? 2 n , n为 奇 数 ? 6.数列{an}满足:an= ? ,它的前 n 项和记为 Sn,则 lim Sn=__________. n?? ? 1 , n为 偶 数 . n ?3 ?

7.某市为加强城市圈的建设,计划对周边如图所示的 A、B、 C、D、E、F、G、H 八个中小城市进行综合规划治理,第 一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市,但要求没 有任何两个城市相邻,则城市 A 被选中的概率为________. 8.若方程 4 ? x
2

? 2 ? kx 仅有一个实数根,则 k 的取值范围是

______________. 9. 在△ABC 中,已知|AB|=2,
| BC | | CA |
2 2

?

1 2

,则△ABC 面积的最大值为___________.

10.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形, SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它 们折叠,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以 拼成一个棱长为 12 的正方体.

11.若函数 y=ax(a>1)和它的反函数的图像与函数 y=

1 x

的图像分别交于点 A、B,

若|AB|= 2 2 ,则 a 约等于_____________(精确到 0.1).

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12 . 老 师 告 诉 学 生 小 明 说 , “ 若 O 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 任 意 一 点 , 且 有 等 式

??? ? ???? ??? ? ??? ? A B co s C A C co s B ??? ? ???? OP ? OA ? ? ( ? ) ,则 P 点的轨迹必过△ABC 的垂心”,小明进一步 | AB | | AC |

思 考 何 时 P 点 的 轨 迹 会 通 过 △ ABC 的 外 心 , 得 到 的 条 件 等 式 应 为
??? ? O P ? _______________________________.

(用 O,A,B,C 四个点所构成的向量和角 A,B,C 的三角函数以及 ? 表示)

二.选择题 π 13.若函数 y=cos2x 与 y=sin(x+φ)在[0, ]上的单调性相同,则 φ 的一个值为( 2 π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 14.在 ? ABC 中,A= A.4 3 sin(B+ C.6sin(B+
?
3 1

)

?
3

,BC=3,则 ? ABC 的周长为 B. 4 3 sin(B+ D. 6sin(B+
1 c

(

)

?
3

)+3

?
6

)+3

)+3 )和 N(b,

?
6

)+3
1 a

15.若点 M(a, ( )

)都在直线 l:x+y=1 上,则点 P(c,

),Q(

1 c

,b)和 l 的关系是

b

A. P 和 Q 都在 l 上 C. P 在 l 上,Q 不在 l 上 16.数列{an}满足:a1= 则
1 a1 ? 1 a2 ?? ?

B. P 和 Q 都不在 l 上 D. P 不在 l 上,Q 在 l 上
1 5

1 4 1

,a2=

,且 a1a2+a2a3+?+anan+1=na1an+1 对任何的正整数 n 都成立, ( C. 5048
3 2

的值为 D. 5050

)

a 97

A. 5032 三.解答题 1. 已知函数 f ( x ) ? 当 x=
?
6

B. 5044

3 sin ? x ? cos ? x ? cos

2

?x ?

(? ? R , x ? R ) 的最小正周期为π , 且

时,函数有最小值.

(1)求 f(x)的解析式; (2)作出 f(x)在[0,π ]范围内的大致图象.

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2.设虚数 z 满足|2z+15|= 3 | z +10|. (1)计算|z|的值;(2)是否存在实数 a,使 说明理由.
z a ? a z
? R?若存在,求出 a 的值;若不存在,

3.如图所示,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与 底面所成角为
?
3

,且侧面 ABB1A1 垂直于底面.

(1)判断 B1C 与 C1A 是否垂直,并证明你的结论; (2)求四棱锥 B-ACC1A1 的体积.

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4.在新的劳动合同法出台后,某公司实行了年薪制工资结构改革。该公司从 2008 年起,每 人的工资由三个项目构成,并按下表规定实施: 项目 基础工资 房屋补贴 医疗费 金额[元/(人?年)] 2007 年基础工资为 20000 元 800 3200 性质与计算方法 考虑到物价因素,决定从 2008 年 起每年递增 10%(与工龄无关) 按职工到公司年限计算,每年递增 800 元 固定不变

如果该公司今年有 5 位职工,计划从明年起每年新招 5 名职工。 (1)若今年(2008 年)算第一年,将第 n 年该公司付给职工工资总额 y(万元)表示成年限 n 的函 数; (2)若公司每年发给职工工资总额中,房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的 p%,求 p 的最小值.

5.已知函数 f(x)=(|x|-b)2+c,函数 g(x)=x+m, (1)当 b=2,m=-4 时,f(x) ? g(x)恒成立,求实数 c 的取值范围; (2)当 c=-3,m=-2 时,方程 f(x)=g(x)有四个不同的解,求实数 b 的取值范围.

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6.若给定椭圆 C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a ? b)和点 N(x0,y0),则称直线 l:ax0x+by0y=1 为椭圆 C 的“伴随直线”, (1)若 N(x0,y0)在椭圆 C 上,判断椭圆 C 与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的 交点个数为 0 个、1 个、2 个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由; (2)命题:“若点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部,则直线 l 与椭圆 C 必相交.”写出这个命题的 逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由; (3)若 N(x0,y0)在椭圆 C 的内部,过 N 点任意作一条直线,交椭圆 C 于 A、B,交 l 于 M 点(异于 A、B),设 M A ? ?1 A N , M B ? ? 2 B N ,问 ?1 ? ? 2 是否为定值?说明理由.
???? ???? ???? ????

一. 填空题 1.0 (0) 5.
8 3

2.0 6.
19 24

(0) (0.26)

3.(理)5 7.
1 2

(0.14) (文) 4

4.(2a,-a) ? (-a,-4a)

(0.34)

(0.46)

(0.43) 8. ( ?? , ? 1) ? (1, ?? ) ? ?0 ?

(0.37)

9. 2 2
1

(0.58) 10.24

(0.29)11.8.4 (0.55) (0.98)

? ? ? AB cos C A C ? cos B ? ? 12. OB ? OC ? ? ? ? 2 ? ? AB AC ? ?

?

?

二. 选择题 13. D (0.36) 14. D (0.11) 三. 解答题 1.(1)f(x)=1–sin ? 2 x ?
? ? ?? ? 6?

15. A

(0.11) 16. B (0.08)

(0.34) (2)略 (0.06)
1 3 3 4

2.(1)|z|=5 3

(2)a=±5 3

3.(1)几种常见处理方法:用空间直角坐标系解、传统方法解、基向量解. (2) V B ? ACC
1A 1

? 2 V B ? A 1 AC ? 2 V A 1 ? ABC ? 2 ?

?

?4?

3 ? 2 (0.42)

4.(1)y=10n(1+10%)n+0.2n2+1.8n , n ? N* (2)由 0.2n2+1.8n?10n?1.1n?p%,得 p%? 由?
? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1

0 .2 n ? 1 .8 10 ? 1 . 1
2 11
n

,令 an= ∴p?

0 .2 n ? 1 .8 10 ? 1 . 1
n



得 1?n?2,∴p%?a1=a2=
? ? x 2 ? 5 x ? 8, ? ? ? x 2 ? 3 x ? 8, ?

200 11

(0.69)
7 4

5.(1)c?x–4–(|x|–2)2= ?

x ? 0 x ? 0

,由图象得 c?–

. (0.14)

(2)(|x|–b)2–3=x–2,即(|x|–b)2=x+1 有四个不同的解, ∴ (x–b)2=x+1(x?0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x<0)也有两个不同解, 由根的分布得 b?1 且 1<b<
5 4

,∴1<b<

5 4

.

(0.63)

第 5 页 共 6 页

6.(1) ?

? ax

2

? by

2

?1

? ax 0 x ? by 0 y ? 1

? aby

?

2 0

? a x0
2

2

?x

2

? 2 ax 0 x ? 1 ? by

2 0

? 0

即 ax2–2ax0x+ax02=0 ∴△=4a2x02–4a2x02=0 ∴l 与椭圆 C 相切. (0.34) (2)逆命题:若直线 l:ax0x+by0y=1 与椭圆 C 相交,则点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. 是真命题。联立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0 则△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0 ∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0 ∴by02+ax02>1 ∴N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. (0.75) (3)同理可得此时 l 与椭圆相离,设 M(x1,y1),A(x,y)
x 1 ? ?1x 0 ? ?x ? 1 ? ?1 ? 则? 代入椭圆 C:ax2+by2=1,利用 M 在 l 上, ?y ? y1 ? ?1y 0 ? 1 ? ?1 ?

即 ax0x1+by0y1=1,整理得(ax02+by02–1) ? 12+ax12+by12–1=0 同理得关于 ? 2 的方程,类似. 即 ? 1、 ? 2 是(ax02+by02–1) ? 2+ax12+by12–1=0 的两根 ∴ ? 1+ ? 2=0. (100%)

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