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2016高考


第5讲

指数与指数函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.若 x=log43,则(2x-2 x)2=


(

)

9 A.4 10 C. 3

5 B.4 4 D.3

3 解析 由 x=log43,得 4x=3,即 2x= 3,2-x= 3 , ?2 3?2 4 ? = . 所以(2x-2-x)2=? ? 3 ? 3 答案 D 2.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是 ( )

解析 当 x=1 时,y=0,故函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象必过点(1,0), 显然只有 C 符合. 答案 C 3 3 3. (2014· 武汉模拟)设 a=( 2)1.4, b=32, c=ln 2, 则 a, b, c 的大小关系是 ( A.a>b>c B.b>c>a
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)

C.c>a>b

D.b>a>c

3 3 3 解析 c=ln 2<1=( 2)0<a=( 2)1.4<( 2)2<b=32,故选 D.

答案 D 4.(2014· 东北三校联考)函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点 A,下列函数 中图象不经过点 A 的是 A.y= 1-x C.y=2x-1 解析


( B.y=|x-2| D.y=log2(2x)

)

f(x)=ax 1(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,1),又由 0= 1-1知(1,1)

不在函数 y= 1-x的图象上. 答案 A 1 5. 若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0, a≠1), 满足 f(1)=9, 则 f(x)的单调递减区间是 ( A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 1 1 解析 由 f(1)=9得 a2=9, 1 1 ?1?|2x-4| ∴a=3或 a=-3(舍去),即 f(x)=?3? . ? ? 由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 答案 B 二、填空题 6. a3 a· a 5
4

)

B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

(a>0)的值是________.

解析
17

a3 a· a 5
4



答案 a10

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?1?x ?1?x 7.函数 y=?4? -?2? +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. ? ? ? ? ?1?x ?1 ? 解析 因为 x∈[-3,2],若令 t=?2? ,则 t∈?4,8?. ? ? ? ? ? 1?2 3 则 y=t2-t+1=?t-2? +4. ? ? 1 3 当 t=2时,ymin=4;当 t=8 时,ymax=57. ?3 ? 所以所求函数值域为?4,57?. ? ? ?3 ? 答案 ?4,57? ? ? 8.已知函数 f(x)=a-x(a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a 的取值范围是 ________. ?1?x 解析 因为 f(x)=a-x=?a? ,且 f(-2)>f(-3),所以函数 f(x)在定义域上单调 ? ? 1 递增,所以a>1,解得 0<a<1. 答案 (0,1) 三、解答题 9.求下列函数的定义域、值域及单调性. ?1 (1)y=?2 ? ?6+x-2x ?2?-|x| ? ;(2)y=?3? . ? ? ?
2

解 (1)函数的定义域为 R, ?1?u 令 u=6+x-2x2,则 y=?2? . ? ? ? 1?2 49 ∵二次函数 u=6+x-2x2=-2?x-4? + 8 , ? ? 49? ? ? ? ? ? 1 ? 8 ?. ∴函数的值域为?y?y≥? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 1 ?1 ? 又∵二次函数 u=6+x-2x2 的对称轴为 x=4,在?4,+∞?上 u=6+x-2x2 ? ?

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1? ? ?1?u 是减函数,在?-∞,4?上是增函数,又函数 y=?2? 是减函数, ? ? ? ? ?1?6+x-2x ?1 ? ∴y=?2? 在?4,+∞?上是增函数, ? ? ? ? 1? ? 在?-∞,4?上是减函数. ? ? (2)定义域为 R. ?2?-|x| ?3?|x| ?3?0 ∵|x|≥0,∴y=?3? =?2? ≥?2? =1. ? ? ? ? ? ? ?2?-|x| 故 y=?3? 的值域为{y|y≥1}. ? ? ?2?-|x| 又∵y=?3? 是偶函数, ? ? ?3?x ? ? ? ?2?-|x| ??2? 且 y=?3? =? ? ? ?2?x ? ? ?? ?3? (x≥0), (x<0).
2

?2?-|x| 所以函数 y=?3? 在(-∞,0]上是减函数, ? ? 在[0,+∞)上是增函数.(此题可借助图象思考) -2x+b 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0. 解 (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 -2x+1 解得 b=1,所以 f(x)= x+1 . 2 +a 1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- . 4+a 1+a 解得 a=2.
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-1+b =0, 2+a

-2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =-2+ x . 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞, +∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x) 在 R 上是减函数). 又因为 f(x)是奇函数, 所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1). 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+1,
?? 1? 即 3t2-2t-1>0,解不等式可得?t?t>1或t<-3?. ?? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab 的取值范 围为 A.(1,+∞) C.(0,1) B.(0,+∞) D.无法确定 ( )

解析 函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点 ?0<a<1, 在负半轴上.而当 x = 0 时, y = a0 - b = 1 - b ,由题意得 ? 解得 ?1-b<0, ?0<a<1, ? 所以 ab∈(0,1). ?b>1, 答案 C 12.若关于 x 的方程|ax-1|=2a(a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围 是 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) B.(0,1) 1? ? D.?0,2? ? ? ( )

解析 方程|ax-1|=2a(a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|ax-1|与 y =2a 有两个交点. ①当 0<a<1 时,如图(1),
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1 ∴0<2a<1,即 0<a<2. ②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求.

1 综上,0<a<2. 答案 D 13.(2014· 丽水模拟)当 x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)· 4x-2x<0 恒成立,则 实数 m 的取值范围是________. ?1?x 解析 原不等式变形为 m2-m<?2? , ? ? ?1?x 因为函数 y=?2? 在(-∞,-1]上是减函数, ? ? ?1?x ?1?-1 所以?2? ≥?2? =2, ? ? ? ? ?1?x 当 x∈(-∞,-1]时,m2-m<?2? 恒成立等价于 m2-m<2, ? ? 解得-1<m<2. 答案 (-1,2) 14.(2015· 广元模拟)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= 2x . 4 +1
x

(1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解? 解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),
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2x f(-x)= -x = =-f(x), 4 +1 4x+1 2

-x

2x ∴f(x)=- x ,∴f(x)= 0,x=0, 4 +1 2x ,x∈(0,1). 4x+1 (2)设 0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)=

? ? ? ? ?

2x - x ,x∈(-1,0), 4 +1

(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1) (4x1+1)(4x2+1)



(2x1-2x2)(1-2x1+x2) , (4x1+1)(4x2+1)

∵0<x1<x2<1,∴2x1<2x2,2x1+x2>20=1, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数. (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, 21 20 ?2 1? ∴ 1 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈?5,2?. ? ? 4 +1 4 +1 2? ? 1 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈?-2,-5?. ? ? 2? ?2 1? ? 1 又 f(0)=0,当 λ∈?-2,-5?∪?5,2?, ? ? ? ? 或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.

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