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2014《步步高》高考数学第一轮复习03 定积分


§ 3.4
2014 高考会这样考

定积分

1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理;2.利用定

积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等. 复习备考要这样做 1.理解定积分的概念和几何意义;2.会用微积分基本定理求定积分,解

决一些几何、物理问题.
<

br />1. 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近 似代替、求和、取极限. 2. 定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区
n

间上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式∑f(ξi)Δx.当 n→∞时,上述和式无限接近于某个 =
i 1

常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ?bf(x)dx. a 3. 定积分的运算性质 (1)?bkf(x)dx=k?bf(x)dx (k 为常数). a a (2)?b[f(x)±g(x)]dx=?bf(x)dx±ag(x)dx. ?b a a (3)?bf(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx (a<c<b). a a c 4. 微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么 ?bf(x)dx=F(b)- a F(a).这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿——莱布尼茨公式.可以把 F(b)-F(a)
b 记为 F(x)|b,即 ?bf(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a). a a

[难点正本 疑点清源] 1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题,其 方法是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等. 2.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互 为逆运算. 3.利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分.

1. (2012· 江西)计算定积分 ?1 1(x2+sin x)dx=________. -

答案

2 3

1 3 解析 ∵?3x -cos x?′=x2+sin x, ? ? 1 3 2 ∴ ?1 1?x2+sin x?dx=?3x -cos x??1 1= . - ? ??- 3 2. 直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积为________. 答案 8 3

1 8 2 解析 S=?0x2dx= x3|2= . 0 3 3 3.?3(x2+1)dx=________. 0 答案 12 1 3 1 解析 ?3(x2+1)dx=?3x +x?|3= ×33+3=12. 0 ? ?0 3 4.由 y=cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形的面积, 利用定积分应表达为_____.

答案

解析

5. 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则 ?2f(-x)dx 的值等于 1 5 A. 6 1 2 1 B. C. D. 2 3 6

(

)

答案 A 解析 由于 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1, 所以 f(x)=x2+x, 1 3 1 2 2 5 2 于是 ?1f(-x)dx=?2(x2-x)dx=?3x -2x ?|1= . 1 ? ? 6

题型一 定积分的计算 例1 求下列定积分:

1 2x (1)?2x(x+1)dx; (2)?2?e +x ?dx; 0 1 ? ? π x (3)? 0sin2 dx. 2 2 思维启迪:化简被积函数,由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分,再利用 微积分基本定理求解. 解 (1)?2x(x+1)dx=?2(x2+x)dx 0 0

1 2 1 =?2x2dx+?2xdx= x3|0+ x2|2 0 0 3 2 0 1 1 2 14 3 =?3×2 -0?+?2×2 -0?= . ? ? ? ? 3 1 1 2x 2 (2)?2?e +x?dx=?1e2xdx+?2 dx 1 1 ? ? x 1 1 1 = e2x|2+ln x|2= e4- e2+ln 2-ln 1 1 2 1 2 2 1 1 = e4- e2+ln 2. 2 2 π x π 1 1 (3)? 0sin2 dx=? 0?2-2cos x?dx ? 2 2 2? π1 1π =? 0 dx- ? 0cos xdx 22 22 1 π 1 π π 1 π-2 = x| 0- sin x| 0= - = . 2 2 2 2 4 2 4 探究提高 计算一些简单的定积分,解题的步骤:①把被积函数变形为幂函数、正弦函 数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;②把定积分用定积分性质变形为求被积 函数为上述函数的定积分;③分别用求导公式找到一个相应的原函数;④利用牛顿—莱 布尼茨公式求出各个定积分的值;⑤计算原始定积分的值. 求下列定积分: (1)?2(4x3+3x2-x)dx; 0 1 2 (2)?2?x-x +x?dx; 1 ? ? (3)?0 π(cos x+ex)dx; - (4)?2|1-x|dx. 0 解 (1)?2(4x3+3x2-x)dx 0

=?2(4x3)dx+?2(3x2)dx-?2xdx 0 0 0 1 =x4|2+x3|2- x2|2 0 0 2 0 1 =(24-0)+(23-0)- (22-0) 2

=16+8-2=22. 1 2 (2)?2?x-x +x?dx 1 ? ? 1 =?2xdx-?2x2dx+?2 dx 1 1 1 x x2 x3 = |2- |2+ln x|2 1 1 2 31 3 7 5 = - +ln 2=ln 2- . 2 3 6 (3)?0 π(cos x+ex)dx -
0 =?0 πcos xdx+?-πexdx -

1 =sin x|0 π+ex|0 π=1- π. - - e (4)?2|1-x|dx=?1(1-x)dx+?2(x-1)dx 0 0 1 1 2 1 2 =?x-2x ?|1+?2x -x?|2 ? ?0 ? ?1 1 1 2 1 2 =?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1? ? ? ? ? ? ? =1. 题型二 求曲边梯形的面积 例2 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0) 处的切线所围成的图形的面积. 3 3 思维启迪: 求出两切线交点 M 的坐标?2,3?, 将积分区间分为两段?0,2?、 ? ? ? ?

?3,3?. ?2 ?
解 由题意,知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率是 k1=y′|x=0=4,在点 B 处的切线斜率是 k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点 A 的切线方程为 y=4x-3,过点 B 的切线方程为 y=-2x+6.
?y=4x-3, ? 设两切线相交于点 M,由? ? ?y=-2x+6

3 3 消去 y,得 x= ,即点 M 的横坐标为 . 2 2 3 3 在区间?0,2?上,曲线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方;在区间?2,3?上,曲线 ? ? ? ? y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方. 因此,所求的图形的面积是

9 9 9 = + = . 8 8 4 探究提高 对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图 形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间. 1 求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 解

?y= x 由? 得交点 A(1,1); ?y=2-x

?y=2-x ? 由? 1 得交点 B(3,-1). ? ?y=-3x
1 1 故所求面积 S=?1? x+3x?dx+?3?2-x+3x?dx 0 1 ? ? ? ? 2 3 1 2 1 1 2 =?3x2+6x ?|0+?2x-3x ?|3 ? ? ? ?1 2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6 题型三 定积分在物理方面的应用 例3 在 一物体做变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物体 1 s~6 s 间的运动路程为__________. 2

思维启迪:从题图上可以看出物体在 0≤t≤1 时做加速运动, 1≤t≤3 时做匀速运动, 3≤t≤6 时也做加速运动, 但加速度不 同,也就是说 0≤t≤6 时,v(t)为一个分段函数,故应分三段求积分才能求出曲边梯形的 面积. 答案 49 m 4

解析

?2t ?1≤t≤3? ?0≤t≤1? ?2 由题图可知,v(t)=? ?1 ?3t+1 ?3≤t≤6?



1 因此该物体在 s~6 s 间运动的路程为 2

探究提高 定积分在物理方面的应用主要包括:①求变速直线运动的路程;②求变力所 做的功. 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时, 得到了下面的 资料:这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速 ?0≤t≤10?, ?t ? 度 v(单位:m/s)与时间 t(单位:s)满足函数关系式 v(t)=?4t+60 ?10<t≤20?, ?140 ?20<t≤60?. ?
2

某公司

拟购买一台颗粒输送仪,要求 1 min 行驶的路程超过 7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂 生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一? 解 由变速直线运动的路程公式,

可得 s=?10t2dt+?20(4t+60)dt+?60140dt 0 10 20 1 10 20 60 = t3|0 +(2t2+60t)|10+140t|20 3 1 =7 133 (m)<7 673 (m). 3 所以这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一.

函数思想、数形结合思想在定积分中的应用

典例:(12 分)在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定点 t 的值,使 图 中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值. 审题视角 (1)题目要求是求 S1 与 S2 之和最小,所以要先构造 S=S1+

S2 的函数,利用函数思想求解.(2)S1、S2 的面积只能通过定积分求解,所以要选准积分 变量. 规范解答 解 积, 2 即 S1=t· -?t0x2dx= t3.[2 分] t2 3 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为 t2,1-t, S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面

2 1 即 S2=?t1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ .[4 分] 3 3 所以阴影部分的面积 4 1 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1).[6 分] 3 3 1 1 令 S′(t)=4t2-2t=4t?t-2?=0,得 t=0 或 t= .[8 分] ? ? 2 1 1 1 2 t=0 时,S= ;t= 时,S= ;t=1 时,S= .[10 分] 3 2 4 3 1 1 所以当 t= 时,S 最小,且最小值为 .[12 分] 2 4 温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,

而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把 用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查知识的迁移能力和导数 的应用意识. (2)本题易错点:一是缺乏函数的意识;二是不能正确选择被积区间.

方法与技巧 1. 求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下:①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);②计` 算 F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分. 1 π 如:定积分 ?1 1-x2dx 的几何意义是求单位圆面积的 ,所以 ?1 1-x2dx= . 0 0 4 4 2. 求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分. 失误与防范 1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.

4.定积分的几何意义是曲 形的面积,但要注意 边梯 :面积非负 ,而定积分的结果可 以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) π π 1. (2011· 湖南)由直线 x=- , x= , y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3 )

答案 D π π π π π π 解析 ? - cos xdx=sin x| - =sin -sin?-3?= 3. ? ? 3 3 3 3 3 2. (2012· 湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( )

2π A. 5 3 C. 2 答案 B

4 B. 3 π D. 2

解析 用待定系数法求出二次函数解析式. 根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 1 3 1 4 所以 S=?1 1(1-x2)dx=2?1(1-x2)dx= 2?x-3x ??1=2?1-3?= . - 0 0 ? ?? ? ? 3 π π 3.已知函数 f(x)=sin5x+1, 根据函数的性质、 积分的性质和积分的几何意义, 探求 ? - f(x)dx 2 2 的值,结果是 1 π A. + 6 2 C.1 B.π D.0 ( )

答案 B π π π π π π π π 解析 ? - f(x)dx=? - sin5xdx+? - dx, 由于函数 y=sin5x 是奇函数, 所以 ? - sin5xdx 2 2 2 2 2 2 2 2 =0, π π π π 而 ? - dx=x| - =π,故选 B. 2 2 2 2
? 2 x∈[0,1], ?x , 4. 设 f(x)=? 则 ?2f(x)dx 等于 0 ? ?2-x, x∈?1,2],

(

) 3 A. 4 5 C. 6 答案 C 解析 如图,?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx 0 0 1 1 2 1 = x3|1+?2x-2x ?|2 ?1 3 0 ? 1 5 1 = +?4-2-2+2?= . ? ? 6 3 4 B. 5 D.不存在

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. ?3 3(9-x2)dx=________. - 答案 解析 9 π 2 由定积分的几何意义知所求定积分为半圆 x2 +y2 =9 (y≥0)的面积 S,∴S= 1 2

9 ×π×9= π. 2 1 6. 曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________. x 答案 3 -ln 2 2

1 2 解析 S=?1xdx-?2 dx 1 x 1 = x2|2-ln x|2 1 2 1 3 3 = -(ln 2-ln 1)= -ln 2. 2 2 7. 汽车以 v=3t+2 (单位:m/s)作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程 是________ m. 答案 6.5

解析

32 s=?2(3t+2)dt=?2t +2t?|2 1 ? ?1

3 3 7 13 = ×4+4-?2+2?=10- = (m). ? ? 2 2 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)求在[0,2π]上,由 x 轴及正弦曲线 y=sin x 围成的图形的面积. 解 作出 y=sin x 在[0,2π]上的图象,如图所示.

y=sin x 与 x 轴交点的横坐标分别为 x=0,x=π,x=2π,
π 所以所求面积为 S=?0sin xdx+|?2πsin xdx| π π =(-cos x)|0-(-cos x)|2π=4. π

9. (12 分)汽车以 54 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远? 解 由题意,得 v0=54 km/h=15 m/s.

所以 v(t)=v0-at=15-3t. 令 v(t)=0,得 15-3t=0.解得 t=5. 所以开始刹车 5 s 后,汽车停车. 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 32 s=?5v(t)dt=?5(15-3t)dt=?15t-2t ?|5=37.5(m). 0 0 ? ?0 故汽车走了 37.5 m. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 课标全国)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 答案 C B.4 16 C. 3 D.6 )

?y= x, 解析 由? 得其交点坐标为(4,2). ?y=x-2
因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ?4[ x-(x-2)]dx=?4( x-x+2)dx 0 0 2 3 1 2 2 1 16 4 =?3x2-2x +2x?|0= ×8- ×16+2×4= . ? ? 3 2 3 2. 一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30° 方向作直 线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时 F(x)做的功为 ( )

A. 3 J 4 3 C. J 3 答案 C 解析 ?2F(x)×cos 30° dx=?2(5-x2)× 1 1 1 3 3 4 =?5x-3x ?× |2= 3, ? ? 2 1 3 4 ∴F(x)做的功为 3 3 J. 3 dx 2

2 3 B. J 3 D.2 3 J

3. 图中阴影部分的面积是 A.16 C.20 答案 B B.18 D.22

(

)

y2 y2 y3 4 解析 S=?-2?y+4- 2 ?dy=? 2 +4y- 6 ?|4 2=18. ? ? ? ?- 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的 阴影部分),则该闭合图形的面积是________. 答案 4 3
?y=-x2+2x+1 ? 由? , ?y=1 ?

解析

得 x1=0,x2=2.
2 ∴S=?0(-x2+2x+1-1)dx=?2(-x2+2x)dx 0

x3 2 8 4 =?- 3 +x ?|2=- +4= . ? ?0 3 3 5. 设函数 f(x)=ax2+c (a≠0),?1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为________. 0 答案 3 3

1 解析 ?1f(x)dx=?0(ax2+c)dx 0

ax3 a =? 3 +cx?|1= +c, ? ?0 3 a a 故 +c=ax2+c,即 ax2= ,又 a≠0, 0 0 3 3 1 3 所以 x2= ,又 0≤x0≤1,所以 x0= . 0 3 3

1 6. (2012· 上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B?2,5?、C(1,0).函数 ? ? y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________. 答案 5 4

解析 ∵y=f(x)

?10x,0≤x≤2, =? 1 ?-10x+10,2<x≤1.
1 ∴xf(x)=

?10x ,0≤x≤2, ? 1 ?-10x +10x,2<x≤1,
2

1

2

∴所求面积为 1 1 S=? 010x2dx+?1 (-10x2+10x)dx 2 2 10 3 1 10 3 1 2 = 3 x ? 0+ ?- 3 x +5x ??1 ?2 ? ?? 2 = 1 5 10 1 ? 10 ? ? 10 1 × +?- 3 +5?-?- 3 ×8+5×4?= . ? 4 3 8

三、解答题 7. (13 分)已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2, 0 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),则 f′(x)=2ax+b.

由 f(-1)=2,f′(0)=0,
?a-b+c=2 ?c=2-a ? ? 得? ,即? ,所以 f(x)=ax2+2-a. ? ? ?b=0 ?b=0

又 ?1f(x)dx=?1(ax2+2-a)dx 0 0 1 3 2 =?3ax +?2-a?x?|1=2- a=-2, ? ?0 3 得 a=6,从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=± 时,f(x)max=2. 1


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