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1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质课件(人教B版必修4)


重点:正切函数的图象及其主要性质. 难点:利用正切线画出函数
? π π? y=tanx,x∈?-2,2?的图 ? ?

π 象,并认识到直线 x=± 是此图象的两条渐近线. 2

1.正切曲线 (1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线 画出正切曲线. 正切曲线是由沿 y 轴的上、 下两个方向无限 π 伸展, 并被无穷多条与 x 轴垂直的直线 x=kπ+ (k∈Z)隔开 2 π 的无穷多支曲线所组成的. 这些直线 x=kπ+2(k∈Z)为正切 曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连 续变化的,并且从左向右看是上升的.

(2)用单位圆上的正切线画正切曲线比较麻烦,在精确 度要求不高的情况下,要利用“三点两线法”来作简图,
?π ? ? π ? “三点”指(0,0),?4,1?,?-4,-1?,两线是指 ? ? ? ?

π x=2和 x

π =-2两条渐近线. 2.正切函数的性质 通过观察正切线、 正切曲线得到正切函数的各种性质, 包括它的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点:

? ? ? π ①正切函数 y=tanx 的定义域是?x?x≠kπ+2,k∈Z ? ? ?

? ? ?, ? ?

这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往 1 往注意不到.比如,求函数 y= 的定义域,不仅要 tanx-1 考虑到 tanx≠1,还要考虑到 tanx 自身的限制,所以定义域 为
? ? ? π π ?x?x≠kπ+ 且x≠kπ+ ,k∈Z 4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

注意一定不能忽略后者. ②正切函数 y=tanx 的最小正周期为 π,这一点也是 sin(x+π) 与正弦函数、 余弦函数不同的. 因为 tan(x+π)= cos(x+π) -sinx = =tanx, -cosx 所以 数.
? ? π y=tanx?x≠kπ+2,k∈Z?是周期为 ? ?

π 的周期函

③关于正切函数的单调性有下列命题: 命题一:正切函数 y=tanx 是增函数; 命题二: 正切函数 y=tanx 是在其定义域上是增函数; 命 题 三 : 正 切 函 数 y = tanx 在 每 一 个 开 区 间
? π ? π ?- +kπ, +kπ?内是增函数. 2 ? 2 ?

应指出,只有命题三是真命题.
? π π? 正切函数在每一个区间 ?kπ-2,kπ+2? (k∈Z)上都是 ? ?

增函数,但在整个定义域内不是单调函数.

在利用正切函数的单调性判断大小时, 一定要把角 变化到一个单调区间内. 函数 y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)的定义域由不等式 π ωx+φ≠kπ+2(k∈Z)得到.

3.正切函数与正、余弦函数的比较 正切函数的定义域不是 R,正、余弦函数是有界函数, 而正切函数不是,其值域为 R,正、余弦函数是连续函数, 反应在图象上是连续无间断点, 而正切函数在 R 上不连续, π 它有无数条垂直于 x 轴的渐近线 x=kπ+2(k∈Z), 图象被这 些渐近线分隔开来;正、余弦函数既有单调增区间,又有
? π π? 单调减区间.而正切函数在每一个开区间 ?kπ-2,kπ+2? ? ?

(k∈Z)上都是增函数.它们也有共性,如都是周期函数,都 具有奇偶性、对称性.

正切函数的单调区间是开区间,与正、余弦函数不同, 2π y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的周期是 T= |ω| ,y= π Atan(ωx+φ)的周期 T=|ω|,正、余弦函数图象不仅是轴对 称图形,而且是中心对称图形.正切函数只是中心对称图
?kπ ? 形, 且对称中心是? 2 ,0?(k∈Z). 另外, y=|sinx|与 ? ?

y=|cosx|

的周期是不加绝对值符号的周期的一半, y=tanx 与 y= 而 |tanx|的周期都是 π.

? [例1] 作出函数y=|tanx|的图象,并根据
图象求其最小正周期和单调区间. ? [分析] 要作出函数y=|tanx|的图象,可先 作出y=tanx的图象,然后将其在x轴上方 的图象保留,而将其在x轴下方的图象翻 到上方(即作出其关于x轴对称的图象),就 可得到y=|tanx|的图象.

[解析]

y=|tanx|=

? π? ? ?tanx,x∈?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? ? ? ? ?-tanx,x∈?kπ-π,kπ?(k∈Z) 2 ? ? ?

? 其图象如图所示.

由图象可知,函数 y=|tanx|的最小正周期 T=π,
? π? 单调增区间的?kπ,kπ+2?(k∈Z); ? ? ? ? π 单调减区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ?

函数

?1 π? y=tan?2x-3?在一个周期内的图象是( ? ?

)

? [答案] A
C,故选 A.

[解析]

∵函数

?1 π? y=tan?2x-3?的最小正周期为 ? ?

2π, 因

π 此可排除 B、D,选项 C 中,当 x=3时,y≠0,因此排除

[例 2]
[解析]

求函数

? π? y=3tan?2x+3?的对称中心的坐标. ? ?

我们知道 y=tanx 是奇函数, 它的对称中心有 y=Atan(ωx+φ)的图象可由 y

?kπ ? 无穷多个,即? 2 ,0?,函数 ? ?

=tanx 经过图象变换而得到,它也有无穷多个对称中心, 这些对称中心恰好为图象与 x 轴的交点.

π kπ kπ π 于是由 2x+ = (k∈Z)得 x= - (k∈Z). 3 2 4 6
?kπ π ? ∴对称中心坐标为? 4 -6,0?(k∈Z). ? ?

tanx 函数 y= 的奇偶性是 1+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数

(

)

? [答案] A
tanx [解析] 要使函数 y= 有意义, 1+cosx π ? ?x≠kπ+ 2 必须使? , ?1+cosx≠0 ? π 即 x≠kπ+2,且 x≠(2k+1)π,k∈Z. tanx ∴函数 y= 的定义域关于原点对称. 1+cosx tan(-x) -tanx 又∵f(-x)= = =-f(x), 1+cos(-x) 1+cosx tanx ∴函数 y= 为奇函数. 1+cosx

[例 3]

比较下列各组数的大小.

π π (1)tan5和 cot10; (2)tan1,tan2,tan3,tan4.

? [分析] 比较三角函数值的大小,主要利
用函数单调性及单位圆,有时可以利用引 ?π π? π 2π [解析] (1)∵cot10=tan 进中间量等方法. ?2-10?=tan 5 , ? ?
? π? π 2π π ∵0<5< 5 <2,且 y=tanx 在?0,2?上递增, ? ?

π 2π π π ∴tan <tan ,即 tan <cot ; 5 5 5 10

(2)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),tan4=tan(4-π).
? π π? π π 又∵-2<2-π<3-π<4-π<1<2且 y=tanx 在?-2,2?上 ? ?

是增函数, ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan(4-π)<tan1. 即 tan2<tan3<tan4<tan1.

? [点评] 有关正、余切函数值大小的比较,
一般将角化到同一单调区间内,再利用函 数的单调性处理,若遇到不同函数之间的 比较,则最好化为同名函数再作比较.



? π? α∈?0,6?,试比较 ? ?

tan(sinα)、tan(tanα)、tan(cosα)

的大小.
[解析] π π ∵0<α<6,∴0<sinα<tanα<cosα<1<2,
? π? 在?0,2?上是增函数, ? ?

又∵y=tanx

∴tan(sinα)<tan(tanα)<tan(cosα).

[ 例 4]

若 A = {x|tanx>0} , B = {x|

tanx +

3tan2x+2 3tanx-3≥0},求 A∩B.

[误解]

由 tanx+ 3tan2x+2 3tanx-3≥0, 3 ,∴tanx≥ 3 , 3tanx-3≥0
? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?,∴A∩B=?x tanx≥ ?, ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ?

?tanx≥0 ? 得? ?3tan2x+2 ?



? ? ? ? B=?x?tanx≥ ? ? ?

3 π 由 tanx≥ 3 ,解得 x≥kπ+6,k∈Z, 所以
? ? ? π ?x?x≥kπ+ ,k∈Z A∩B= 6 ? ? ? ? ? ?. ? ?

[辨析]

3 求解 tanx≥ 3 时, 误认为正切函数总为增函

数而致使出错.

[正解]

由 tanx + 3tan2x+2 3tanx-3 ≥0 , 可 得

? ? ? ? ? 3 3 ? ?x tanx≥ ?. tanx≥ ,所以 A∩B= ? 3 3 ? ? ? ? ? ? π π? 而正切函数在每一个区间?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上是增函数, ? ?

3 π π 所以 tanx≥ 3 的解集为 kπ+ 6 ≤x<kπ+ 2 ,k∈Z,故 A∩B=
? ? ? π π ?x?kπ+ ≤x<kπ+ ,k∈Z 6 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

一、选择题 1.函数 y=5tan(2x+1)的最小正周期为 π A. 4 C.π π B. 2 D.2π ( )

? [答案] B
π [解析] T= ,故选 B. 2

2.函数

? π? f(x)=tan?x-4?的单调递增区间为 ? ?

(

)

? π π? A.?kπ-2,kπ+2?,k∈Z ? ?

B.(kπ,(k+1)π)k∈Z
? 3π π? C.?kπ- 4 ,kπ+4?,k∈Z ? ? ? π 3π? D.?kπ-4,kπ+ 4 ?,k∈Z ? ?

?? [答案] D π π?

[解析]

因为正切函数在每一个区间 π π kπ- <x- 2 4

?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)上都是增函数,所以 2 2? ?

π π 3π <kπ+2,所以 kπ-4<x<kπ+ 4 ,k∈Z,故选 D.

π 3.要得到 y=tan2x 的图象,只需把 y=tan(2x+8)的图 象 π A.向左平移 个单位 8 π B.向右平移 个单位 8 π C.向左平移16个单位 π D.向右平移16个单位 ( )

? [答案] D
位长度.

[解析]

因为

? ? π? π? y=tan?2x+8?=tan2?x+16?,要得到 ? ? ? ?

y

π π =tan2x,只需把 x 换成 x- ,即需要向右平移 个单 16 16

? 二、填空题 ? 4.不等式tanx≥-1的解集为________.
[答案]
? ? π π ? ? ?x|kπ- ≤x<kπ+ ,k∈Z? 4 2 ? ? ? ?

? [解析] 画出函数y=tanx的图象,如图所
示.

? π? ∵tanx≥-1,tan?-4?=-1, ? ? ? π π? ∴在?-2,2?内满足条件的 ? ?

π π x 取值范围为-4≤x<2.由

正切函数的图象可知,满足此不等式的 x 的取值集合为
? ? ? π π ?x?kπ- ≤x<kπ+ ,k∈Z 4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

? 5.函数y=tan(cosx)的值域是________. [解析] ∵x∈R,cosx∈[-1,1],函数 y=tanx 在 ?? [答案] [-tan1,tan1] π π π? π
?- , ?上是增函数,- <-1<1< , 2 2 ? 2 2?

∴tan(cosx)∈[-tan1,tan1].

三、解答题 6.根据三角函数图象,写出满足下列条件的 x 的取值范 围. 3 (1)- 2 <cosx<0; (2)3tanx- 3≥0.

? [解析] (1)如图所示:

π 由图象可知,满足不等式的 x 的取值范围为(2kπ+ , 2 5π 7π 3π 2kπ+ )∪(2kπ+ ,2kπ+ ),k∈Z. 6 6 2

? (2)如图所示:

3 由 3tanx- 3≥0,得 tanx≥ 3 . π π 由图象可知, 满足不等式的 x 的取值范围为[6+kπ, + 2 kπ),k∈Z.



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