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2013版高中全程复习方略课时提能演练:6.6直接证明与间接证明


课时提能演练(三十九)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·宝鸡模拟)用反证法证明“如果 a<b,那么 3 a ? 3 b ”,假设的内容应 是( ) (B) 3 a ? 3 b (D) 3 a = 3 b 或 3 a > 3 b ) 100 分)

(A) 3 a ? 3 b (C) 3 a = 3 b 且 3

a < 3 b

2.证明不等式 a+1- a< a-1- a-2(a≥2)所用的最适合的方法是( (A)综合法 (C)间接证法 (B)分析法 (D)合情推理法 )

3.在△ABC 中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC 一定是( (A)锐角三角形 (C)钝角三角形 (B)直角三角形 (D)不确定

4.若 a,b,c 是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 证明过程如下: ∵a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 又∵a,b,c 不全相等, ∴以上三式至少有一个“=”不成立, ∴将以上三式相加得 2(a2+b2+c2 )>2(ab+bc+ac), ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此证法是( (A)分析法 ) (B)综合法

(C)分析法与综合法并用

(D)反证法

1 1 5.(2012·大同模拟)用反证法证明命题:“设 a,b,c 大于 0,则 a+ 、b+ 、 b c 1 c+ 中至少有一个不小于 2”时,假设的内容是( a (A)都不小于 2 (C)都小于 2 )

(B)至少有一个不大于 2 (D)至少有一个小于 2

6.(预测题)设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2) = 3a-4 ,则 a 的取值范围是( a+1 ) 3 (B)a< 且 a≠-1 4 3 (D)-1<a< 4

3 (A)a< 4 3 (C)a> 或 a<-1 4 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

1 1 1 7.设 a>0,b>0,c>0,若 a+b+c=1,则 + + ≥ a b c

.

8.(2012·冀州模拟)设 P= 2,Q= 7- 3,R= 6- 2,则 P、Q、R 的大小 顺序是 .

9.(2012·亳州模拟)给出以下四个结论: ①若 a·b=b·c 且 b≠0,则 a=c; ②若 a 与 b 是平行向量,b 与 c 也是平行向量,则 a 与 c 不一定是平行向量; π 5π ③在区间[ , ]上函数 y=sinx+cosx 是增函数; 4 4 π ④直线 x= 是函数 y=sinx+cosx 图像的一条对称轴. 4

其中正确结论的序号为

(写出所有正确结论的序号).

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.求证:若 a>0,则 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

11.(易错题)用反证法证明:关于 x 的方程 x2+4ax-4a+3=0、x2+(a-1)x+ 3 a2=0、x2+2ax-2a=0,当 a≤- 或 a≥-1 时,至少有一个方程有实数根. 2 【探究创新】 (16 分)凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对 D 内的 f(x1)+f(x2)+?+f(xn) x1+x2+?+xn 任意 x1,x2,?,xn 都有 ≤f( ).已知函数 n n f(x)=sinx 在(0,π )上是凸函数,则 (1)求△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值. (2)判断 f(x)=2x 在 R 上是否为凸函数.

答案解析
1.【解析】选 D.根据反证法词语的否定形式, 3 a < 3 b ”的否定应为“ 3 a ≥ “
3

,故选 D. b”

2.【解析】选 B.欲比较 a+1- a, a-1- a-2的大小,只需比较 a+1+ a-2, a-1+ a,( a+1+ a-2)2=2a-1+2 a+1· a-2,( a-1+ a)2=2a-1+2 a-1· a,只需比较 a+1· a-2, a-1· a的大小,以 上证明不等式所用的最适合的方法是分析法,故选 B. 3.【解题指南】将不等式移项,对两角和的余弦公式进行逆用,得出角的范围 即可. 【解析】选 C.由 sinAsinC<cosAcosC 得 cosAcosC-sinAsinC>0,即 cos(A+C)>0, π ∴A+C 是锐角,从而 B> ,故△ABC 必是钝角三角形. 2 4.【解析】选 B.由已知条件入手证明结论成立,满足综 合法的定义. 5.【解析】选 C.根据反证法中词语的否定形式可得: “至少有一个不小于 2”的 否定为“都小于 2” ,故选 C. 6.【解析】选 D.∵f(x)的周期为 3,∴f(2)=f(-1), 又 f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(-1)=-f(1),则 f(2)=f(-1)=-f(1), 再由 f(1)>1,可得 f(2)<-1, 即
3a-4 3 <-1,解得-1<a< . a+1 4 1 a 1 b 1 c

7.【解题指南】把 + + 中的 1 用 a+b+c 代换,利用基本不等式求解. 【解析】∵a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c

b c a c a b =3+ + + + + + a a b b c c ≥3+2 b a · +2 a b c a · +2 a c c b · =3+2+2+2= 9. b c

1 等号成立的条件是 a=b=c= . 3 答案:9 4 4 4 8.【解析】∵P= ,Q= ,R= , 2 2 7+ 3 6+ 2 而 2 2< 2+ 6< 3+ 7, ∴ 故 1 1 > > , 2 2 2+ 6 3+ 7 4 4 > > ,即 P>R>Q. 2 2 2+ 6 3+ 7 4 1

答案:P>R>Q 9. 【解析】 a 与 c 不是共线向量, 当 且分别与 b 的夹角相等, |a|=|c|也符合 a· b =b·c,但 a≠c,故①错误,当 b=0 时,a 与 c 不一定是平行向量,故②正确. π 由于 y=sinx+cosx= 2sin(x+ ). 4 π 5 当 x∈[ , π]时,函数 y=sinx+cosx 是减函数,故③错误. 4 4 π π 直线 x= 是函数 y=sinx+cosx= 2sin(x+ )的一条对称轴,故④正确. 4 4 答案:②④ 10.【解题指南】利用分析法证明.由 a>0,将不等式两边平方,不等式仍成立, 最后利用基本不等式得证.

【证明】要证原不等式成立,只需证 大于零. 1 因此只需证 a2+ 2+4+4 a 只需证 2

1 1 a2+ 2+2≥a+ + 2.∵a>0,∴两边均 a a

1 1 1 a2+ 2≥a2+ 2+2+2+2 2(a+ ). a a a

1 1 a2+ 2≥ 2(a+ ), a a

1 1 1 只需证 2(a2+ 2)≥a2+ 2+2,即证 a2+ 2≥2, a a a 1 而 a2+ 2≥2 显然成立,∴原不等式成立. a 【变式备选】已知 a>6, 求证: a-3- a-4< a-5- a-6. 【证明】方法一: 要证 a-3- a-4< a-5- a-6 只需证 a-3+ a-6< a-5+ a-4
?( a-3+ a-6) <( a-5+ a-4) ?2a-9+2 (a-3)(a-6)<
2 2

2a-9+2 (a-5)(a-4),
? (a-3)(a-6)< (a-5)(a-4), ?(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4), ?18<20.

因为 18<20 显然成立, 所以原不等式成立. 方法二:要证 a-3- a-4< a-5- a-6

只需证

1 1 < a-3+ a-4 a-5+ a-6

只需证 a-3+ a-4> a-5+ a-6 ∵a>6,∴a-3>a-4>a-5>a-6>0, 则 a-3+ a-4> a-5+ a-6. 所以原不等式成立. 11.【证明】设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得:

?-3<a<1 ? 2 2 ?a>1或a<-1 ? 3 ?-2<a<0

3 ?- <a<-1 2

3 与 a≤- 或 a≥-1 矛盾,故原命题成立. 2 【探究创新】 【解析】(1)∵f(x)=sinx 在(0,π)上是凸函数,A、B、C∈(0,π)且 A+B+ C=π, ∴ f(A)+f(B)+f(C) A+B+C π ≤f( )=f( ), 3 3 3

π 3 3 即 sinA+sinB+sinC≤3sin = . 3 2 3 3 所以 sinA+sinB+sinC 的最大值为 . 2 1 (2)∵f(-1)= ,f(1)=2, 2

1 +2 f(-1)+f(1) 2 5 而 = = , 2 2 4 -1+1 而 f( )=f(0)=1, 2 ∴ f(-1)+f(1) -1+1 >f( ). 2 2

即不满足凸函数的性质定理,故 f(x)=2x 在 R 上不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧 (1)对于新型概念的解题问题, 要理解其定义的实质, 充分利用定义解题是关键. (2)要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件, 若想说明它不 满足定义,只需用特例说明即可.


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