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2007年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试题( 定稿)


2007 年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 每小题各有四个选择支,仅有一个选 择支正确.请把正确选择支号填在答题表内. ) 1.要得到函数 y ? cos3x 的图象,只需将函数 y ? sin 3x 的图象 A.右移

? 个单位 12

B.左移

? 个单位 12
x y

C.右移

? 个单位 6

D.左移

? 个单位 6

2.点 ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,当 2 ? 4 取最小值时,点 ( x, y ) 与原点的距离是

A.

3 5 4

B.

45 16

C.

3 2 4

D.

9 8

3. 已知等差数列 { an } 的前 n 项和为 S n , 若 OB ? a1 OA ? a200 OC , 且 A、B、C 三点共线 (该 直线不过原点 O ) ,则 S 200 等于 A.100 B. 101 C.200 D.201

4.用一个平面去截一个正方体,所得截面不可能 是(1) 钝角三角形;(2) 直角三角形;(3) 菱 ... 形;(4) 正五边形;(5) 正六边形.下述选项正确的是 A.(1)(2)(5) 5.设函数 f ? x ? ? x 的取值范围是 A . (0 , ? ?) B. (1 , ? ?) C. (?? , 1) D. [0 , 1]
3

B.(1)(2)(4)

C.(2)(3)(4)

D.(3)(4)(5)

? x ? R? ,若 0 ? ? ? 2 时, f ? m ? sin? ? ? f ?1? m? ? 0 恒成立,则实数 m

?

6.集合 S ? ?0,1,2,3,4,5? , A 是 S 的子集.当 x ? A 时,有 ( x ? 1) ? A 且 ( x ? 1) ? A ,则称 x 为

A 的一个“连续元素” .那么 S 的所有子集中,只含有 两个“连续元素”的子集的个数为 ...
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,满分 54 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) 7.已知 loga x ? 24 , logb x ? 40 , logabc x ? 12 .那么 logc x = .

8.站在河边看对岸的目标 A 与 B ,但不能到达.在岸边选取相距 1 千米的 C、D 两个观测 点,同时测得 ?ACB ? ?ADC ? ?ADB ? 45 , ?BCD ? 60 ( A 、 B 、 C 、 D 在同一
? ?

平面上) ,则目标 A 与 B 之间的距离为

千米.

9 .定义运算 a * b 为: a * b = ? ______________.

?a (a ? b) ?x ,如 1*2=1 ,则函数 f ( x) ? 2 x * 2 的最大值为 b ( a ? b ) ?

10. 若正数 a、b 满足 a ? 3 ? b(a ? 1) ,则 ab 的取值范围是



11.甲、乙两人约定傍晚 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人 20 分钟,过时 即可离去,则两人在傍晚 6 时到 7 时之间会面的概率是 . .

12.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an?1 ? an a n?1 ?an ? 0 ,则该数列的通项 an 等于

答题卡
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 2 3 4 5 6

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 13. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 SAD 为正三角形, 且垂直于底面 ABCD . (1)求四棱锥 S ? ABCD 的体积; (2)在边 CD 上是否存在一点 E ,使得 SB ? AE ?请说明理由.

S

D

C

A

B

14. (本小题满分 15 分)关于 x、 y 的方程 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)若方程 C 表示圆,求实数 m 的取值范围; ( 2 ) 在 方 程 C 表 示 圆 时 , 若 该 圆 与 直 线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相 交 于 M、 N 两 点 , 且

| MN |?

4 5 ,求实数 m 的值; 5

(3)在(2)的条件下,若定点 A 的坐标为(1,0) ,点 P 是线段 MN 上的动点,求直线 AP 的斜率的取值范围.

15. (本小题满分 15 分)在 xoy 平面上有一系列点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ), ?, Pn ( x n , y n ), ?.对 每个正整数 n ,点 Pn 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图象上.以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切, 且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn ( n ? N ) .
*

(1)求证:数列 {

1 } 是等差数列; xn

( 2 )设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n , 求证:对任意 n ? N * ,均有

Tn ?

3 ? . 2
Pn
Pn+1

16 . ( 本 小 题 满 分 18 分 ) 二 次 函 数 f ( x) ? px2 ? qx ? r 中 , 实 数 p、q、r 满 足

m p q r ) ? 0 ;(2)方程 f ( x) ? 0 在(0,1) ? ? =0,其中 m ? 0 .求证: (1) pf ( m ? 2 m ?1 m m ?1
内恒有解.

2007 年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. ) DAA BCC

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,满分 54 分. ) 7.60 10. [9 , ? ?) 8. 2 11.
5 9

9.1 12.
1 2 ?1
n

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 60 分. ) 13.解: (1)过点 S 作 SF ? AD , F 为垂足. 因为侧面 SAD 垂直于底面 ABCD , 所以 SF ? 底面 ABCD . 即 SF 为四棱锥 S ? ABCD 的高.??????1 分 又侧面 SAD 为正三角形,且边长为 a , 所以 SF ?

3 a .??????2 分 2
1 ? AB ? CD ? SF 3

S

由此, VS ? ABCD ?

E

1 3 ? ?a?a? a 3 2 ? 3 3 a .??????4 分 6
A

F

D

C

B

所以四棱锥 S ? ABCD 的体积为

3 3 a .??????5 分 6

(2)在边 CD 上存在一点 E ,使得 SB ? AE .??????6 分 取边 CD 的中点 E ,连接 AE 、 BF 交于 O .??????7 分 因为 E 、 F 分别为正方形 ABCD 的边 CD 、 AD 的中点,所以 ?ADE 和 ?BAF 为 全等的直角三角形,且 ?AFB ? ?DEA .??????8 分 而 ?DEA ? ?EAD ? 90 ,所以 ?AFB ? ?EAD ? 90 ,即 ?AOF ? 90 .所以
? ? ?

AE ? BF .??????10 分

又因为 SF ? 底面 ABCD ,所以 SF ? AE ,即 AE ? 平面 SBF ,?????11 分 所以 SB ? AE .??????12 分 14.解(1)方程 C 可化为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m .??????1 分 要使该方程表示圆,只需 5 ? m ? 0 ,即 m ? 5 .??????3 分 所以,方程 C 表示圆时,实数 m 的取值范围是 (??,5) .??????4 分 (2)由(1)知,当方程 C 表示圆时,圆心为 C (1,2) ,半径为 5 ? m .?????5 分 过圆心 C 作直线 l 的垂线 CD , D 为垂足.则

y

| CD |?

|1? 2? 2 ? 4 | 1 ?2
2 2

?

5 .??????6 分 5
M D O

C

又由 | MN |?

4 5 2 5 知 | MD |? .??????7 分 5 5

N

x

因为 | CM | 2 ?| CD | 2 ? | MD | 2 , 所以 ( 5 ? m ) ? (
2

5 2 2 5 2 ) ?( ) ,????8 分 5 5
M

y

解得 m ? 4 .??????10 分 (3)由(2)得圆 C 的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 .
2 2

C N
A

再由 ?

?( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ? x ? 2y ? 4 ? 0

O

x

8 ? ? xM ? 0 ? xN ? 5 得? 和? .??????12 分 ? yM ? 2 ? y ? 6 N 5 ?
所以 k AM ? ?2 , k AN ? 2 ,??????13 分 由图象可知, k AP ? k AM 或 k AP ? k AN .??????14 分 所以直线 AP 的斜率的取值范围是 (??,?2] ? [2,??) .??????15 分 15.解: (1)依题意,⊙ Pn 的半径 rn ? yn ? xn , ??????1 分
2

? ⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切,

? Pn Pn ?1 ? rn ? rn ?1 ,??????2 分
? ( xn ? xn?1 ) 2 ? ( yn ? yn?1 ) 2 ? yn ? yn?1 .??????3 分
两边平方,化简得 ( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 y n y n?1 ,
2 2 即 ( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 x n x n?1 , ??????4 分

? xn ? xn ? 1 ? 0 ,
? xn ? xn ?1 ? 2 xn xn ?1
Pn+1

Pn



1 1 ? ? 2(n ? N ) ,??????6 分 xn?1 xn

∴ 数列 {

1 } 是等差数列.??????7 分 xn

(2) 由题设, x1 ? 1,∴

1 1 1 ,??????8 分 ? ? (n ? 1) ? 2 ,即 xn ? 2n ? 1 xn x1

S n ? ?rn

2

? ?y n

2

? ?xn

4

?

?
(2n ? 1) 4

,??????9 分

Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n
? ? [1 ? 1 1 1 ? 2 ??? ] ??????10 分 2 3 5 (2n ? 1) 2

? ? [1 ?

1 1 1 ? ??? ] ??????12 分 1? 3 3 ? 5 (2n ? 3) ? (2n ? 1)

= ? {1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( = ? [1 ?

1 2

1 3

1 3

1 5

1 1 ? )]} ??????13 分 2n ? 3 2n ? 1

3 ? ? 1 1 ??????14 分 ? (1 ? )] ? 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1)

?
16.证明 (1) pf (
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3 ? .?????15 分 2

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m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

pm q r ? ? ] 2 m ?1 m (m ? 1) pm p ? pm[ ? ] 2 m?2 (m ? 1) ? pm[ ? p 2 m[
? p2m

m(m ? 2) ? (m ? 1) 2 ] (m ? 1) 2 (m ? 2)

?1 ,??????3 分 (m ? 1) 2 (m ? 2)
m ) <0 ????4 分 m ?1
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由于 f ( x) 是二次函数,故 p ? 0 ,又 m ? 0 ,所以, pf (

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(2)由题意,得 f (0) ? r , f (1) ? p ? q ? r .??????5 分

m ) <0.??????7 分 m ?1 m m ) <0,所以 f ( x) ? 0 在(0, 若 r ? 0 ,则 f (0) ? 0 ,又 f ( )内有解;?9 分 m ?1 m ?1 p p r r ? )+ r = ? >0, 若 r ? 0 ,则 f (1) ? p ? q ? r ? p ? (m ? 1) ? (- m?2 m m?2 m m m ) <0,所以 f ( x) ? 0 在( 又 f( ,1)内有解 ??????11 分 m ?1 m ?1 m ) >0.??????13 分 ②当 p ? 0 时,由(1)知 f ( m ?1 p p r r ? )+ r = ? <0, 若 r ? 0 ,则 f (1) ? p ? q ? r ? p ? (m ? 1) ? (- m?2 m m?2 m
①当 p ? 0 时,由(1)知 f (
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所以 f ( x) ? 0 在(

m ,1)内有解;??????15 分 m ?1

若 r ? 0 ,则 f (0) ? 0 ,又 f (

m m ) >0,所以 f ( x) ? 0 在(0, )内有解 ?17 分 m ?1 m ?1
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所以,方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内恒有解.??????18 分


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