当前位置:首页 >> 数学 >>

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第24讲


第四讲

三角不等式

含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不 等式.三角不等式首先是不等式,因此,处理不等式的常用方法如 配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法.其次,三角不 等式又有自己的特点——含有三角式,因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的 方法等都是处理三角不等式的常用工具.

A 类例题
例 1 已知 ? 、 ? 为锐角,且 x (? ? ? ? ) ? 0 ,求证对一切 x ? 0 ,有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x
2

?

分析 要证的不等式两边均为指数式,且指数相同,可考虑利用函数 f ( x ) ? x ? 的单调性,因此首先应比较 cos ? 与 sin ? 的大小,而函数 f ( x ) ? x ? 的单调性与 α 的符号有关,可分情况讨论. 证明 (1)若 x>0,则 ? ? ? ?
0 ? cos ? ? sin ? ? 1 ,又

?
2

,则

?
2

?? ?

?
2

? ? ? 0 ,由正弦函数的单调性,得 0 ? sin(

?
2

? ? ) ? sin ? ? 1

,即

x>0,故有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x .
?
2

( 2 ) 若 x<0 , 则 ? ? ? ?
0 ? s i n? ? c o? ? s

,则 0 ? ? ?

?
2

?? ?

?
2

, 由 正 弦 函 数 的 单 调 性 , 得 0 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 1 , 即
2

?

1 ,又 x<0,故有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x .

说明

比较不同角的正弦与余弦的大小,可先化同名,再利用正余弦函数的单调 性比较,而一组

?
2

??

的诱导

公式是实现正、余弦转化的有力工具. 例 2 已知 0 ? ? ? ? ,试比较 2 sin 2? 和 cot 分析 商来比较. 解法一
2 sin 2? cot

?
2

的大小.

[来源:学*科*网]

两个式子分别含有 2? 与

?
2

的三角函数,故可考虑都化为 ? 的三角函数,注意到两式均为正,可考虑作

?
2

? 4 sin ? cos ? tan

?
2

? 4 sin ? cos ?

1 ? cos ? sin ?

= 4 cos ? ? 4 cos 2 ? ? ? 4(cos ? ? ) 2 ? 1 ,∵ 0 ? ? ? ? ,所以当 cos ? ?
2

1

1 2

,即 ? ?

?
3

时,上式有最大值 1,当 0 ? ? ? ?
?
3

且? ?

?
3

时,上式总小于 1.因此,当 ? ?
?
2 ?t

?
3

时, 2 sin 2? = cot
?
2 ?

?
2

;当 0 ? ? ? ? 且 ? ? , cot 则
?
2 ? 1 t

时, 2 sin 2? ? cot

?
2


2

解法二 设 tan 于是有
cot

, 0 ? ? ? ? 得0 ? 由

?
2

, tan 故

?
2

?t? 0

,2 sin 2? ? 4 sin ? cos ? ?

4(1 ? t ) ? 2 t (1 ? t )
2 2



?
2

- 2 sin 2? = ?
t

1

4(1 ? t ) ? 2 t
2

(1 ? t )
2

2

?

9t ? 6t ? 1
4 2

t (1 ? t )
2

2

?

(3t ? 1)
2

2 2

t (1 ? t )
2

?0

因此,当 ? ?

?
3

时, 2 sin 2? = cot

?
2

;当 0 ? ? ? ? 且 ? ?

?
3

时, 2 sin 2? ? cot

?
2



链接 本题用到以下两组三角公式:

(1)半角公式 (2)万能公式:
2 tan sin ? ? 1 ? tan

tan

?
2

?

1 ? cos ? sin ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?
2
2

1 ? tan

2

? ?
2 2

2 tan

?
2
2

?
2

; cos ? ?
1 ? tan
2

; tan ? ?
1 ? tan

?
2

例 3 已知 x ? [0, ? ] ,求证:cos(sinx)>sin(cosx) 分析一 从比较两数大小的角度来看,可考虑找一个中间量,比 cos(sinx)小,同时 比 sin(cosx)大,即可证明原 不等式. 证法一 (1)当 x ? 0, , ? 时,显然 cos(sinx)>sin(cosx)成立.
2

?

(2)当

?
2

? x??

时, 0 ? sin x ? 1 ?

?
2

,?

?
2

? cos x ? 0

,则 cos(sinx)>0>sin(cosx).
?

(3) 0 ? x ? 当

?
2

时, 0<sinx<x< 有

?
2

, 而函数 y=cosx 在 (0, ) 上为减函数, 从而有 cos(sinx)>cosx; 0 ?cs 而 o
2

x?

?
2



则 sin(cosx)<cosx,因此 cos(sinx) >cosx >sin(cosx),从而 cos(sinx)>sin(cosx). 分析二 cos(sinx)可看作一个角 sinx 的余弦,而 sin(cosx)可看作一个角 cosx 的正弦,因此可考虑先用诱导公 式化为同名三角函数,再利用三角函数的单调性来证明. 证法二 当 0 ? x ?
?
?
2

时, 0<sinx<1, 有 0<cosx<1, sinx+cosx= 2 sin( x ? ) ? 2 ? 且
4

?

?
2

, 0<sinx< 即

?
2

-cosx<

?
2



而函数 y=cosx 在 (0, ) 上为减函数,所以 cos(sinx)>cos(
2

?
2

-cosx)=sin(cosx),即 cos(sinx)>sin(cosx).x 在其他区

域时,证明同证法 1. 说明 (1)本题的证明运用到结论: x ? (0, ) 时, sin x ? x ? tan x ,这是实现角与三角函数值不等关系转化的重
2

?

要工具,该结论可利用三角函数线知识来证明. (2)证法一通过中间量 cosx 来比较,证法二利用有界性得 sinx+cosx ?
?
2

,再利用单调性证明,这是比较大小常用的两种方法; (3)本题结论可推广至 x ? R .

情景再现
1.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C . 2.已知 x , y ? (0, ) , tan x ? 3 tan y ,求证: x ? y ?
2

?

?
6

.

3.当 x ? [0, ] 时,求证: cos cos x ? sin sin x .
2

?

B 类例题
例4 在 ? ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ?
3 2 3

分析一 本题中有三个变量 A、B、C,且满足 A+B+C=180°,先固定其中一个如角 C,由于 A+B =180°- C, 故对不等式的左边进行和差化积,将其转化为与 A-B 有关的三角函数进行研究.

证法一 我们先假定 C 是常量,于是 A+B= ? ? C 也是常量.
sin A ? sin B ? sin C ? 2 sin A? B 2 cos A?B 2 ? sin C ? 2 cos c 2 cos A?B 2 ? sin C



显然,对于同一个 C 值,当 A=B 时,上式达到最大值. 同样,对同一个 A 或 B,有类似结论;因此,只要 A、B、C 中任意两个不等,表达式 sin A ? sin B ? sin C 就没有达 到最大值,因而,当 A=B=C=
?
3

时, sin A ? sin B ? sin C 有最大值

3 2

3

,∴原不等式得证.

说明 不等式中含有多个变量时,我们往往固定其中部分变量,求其他变量变化时,相应表达式的最值,这种 方法称为逐步调整法. 分析二 即证
sin A ? sin B ? sin C 3
x1 ? x 2 ? x3 3 sin x1 ? sin x 2 ? sin x3 3

?

3 2

,观察左 边的形式,从而考虑用琴生不等式进行证明.

证法二 函数 y ? sin x 是区间(0,π)上的上凸函数,从而对任意的三个自变量 x1 , x 2 , x3 ? (0, ? ) ,总有
sin( )?

,等号当 x1 ? x 2 ? x3 时成立.因此有 sin(

A? B?C 3

)?

sin A ? sin B ? sin C 3

,从而有

sin A ? sin B ? sin C 3

? sin

180 ? 3

?

3 2

,因此原不等式成立.

说明 本方法是利用凸函数性质解题,三角函数在一定区间内均为凸函数,因此很多三角不等如均可利用凸函 数的性质证明. 链接 关于凸函数与琴生不等式的有关知识 凸函数定义:函数 f(x)如果对其定义域中任意的 x1、x2,都有如下不等式成立:f(
1 2
x1 ? x 2 2

)≤

[f(x1)+f(x2)],则称 f(x)是下凸函数,等号当 x1=x2 时成立.如果总有 f(

x1 ? x 2 2

)≥ [f(x1)+f(x2)],
2

1

则称 f(x)是上凸函数,等号当 x1=x2 时成立. 其几何意义是,不等式①表示定义域中任意两点 x1、x2,中点 M 所对应的曲线上点 Q 位于弦上对应 点 P 的下面,不等式②则有相反的意义. Q P Q P

x
1

M

x
2

x
1

M

x
2

定理:若 f(x)是在区间 I 内的下凸函数,则对区间 I 内的任意 n 个点 x1,x2,…,xn,恒有 f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n

)≤

1 n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)],等号当 x1=x2=…=xn 时成立.若 f(x)为上凸函数,不等

号反向. 上述不等式称为琴生不等式,琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen)于 1905~1906 年建立的.三 角函数如 y=sinx,y=cosx 在(0,
?
2

)是上凸函数;y=tanx,y=cotx 在(0,
?
2

?
2

)是下凸函数.

例 5 已知 x , y , z ? R , 0 ? x ? y ? z ? 求证:
?
2

. (90 年国家集训队测试题)

? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

分析 将二倍角均化为单角的正余弦,联想单位圆中的三角函数线,两两正余弦的乘积联想到图形的面积. 证明 即证
?
4 ? sin x cos y ? sin y cos z ? sin x cos x ? sin y cos y ? sin z cos z


?
4 ?s x


i x?


n y ? ( y ?c

注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和,而 成立,综上所述,原不等式成立. 例 6 已知不等式 2 (2 a ? 3) cos(? ? ) ?
4

?
4

为此单位圆在第一象限的面积,所以上式

?

6 sin ? ? cos ?

? 2 sin 2?

[来源:学科网]

? 3a ? 6 对于 ? ? [0,

?
2

] 恒成立.求 a

的取值范围. (2004 年首届东南地区数学奥赛试题)

分析 所给不等式中有两个变量,给出其中一个的范围,求另一个的范围,常采用分离变量的方法.注意到与 角 θ 有关的几个三角函数式,cos(? ? ) ?
4

?

2 2

(sin ? ? cos ? ) ,sin 2? ? 2 sin ? cos ?

,因此考虑令 sin ? ? cos ? ? x 进行变量

代换,以化简所给不等式,再寻求解题思路. 解 设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? ) ?
4
(2 a ? 3) x ? 2 x( x ? 2 x 6 x ? a ) ? 3( x ? 2 ? 2( x ? 1) ? 3 a ? 6
2

?

2 2

x , sin 2? ? x ? 1
2

,当 ? ? [0, ] 时, x ? ?1, 2 ? .从而原不等式可化为: ? ? 2

?

,即 2 x 2 ? 2 ax ? 3 x ?

6 x

? 3a ? 4 ? 0


2? ?

2 ? ? ? a ) ? 0 , (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x x ? ?

? x ? ??1,

?

(1)

[来源:学科网]

∴原不等式等价于不等式(1) , (1)不等式恒成立等价于 x ?
2 2 x

? x ? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?

?a?0

? x ? ?1, ?

2? ?

? 恒成立.
2

从而只要 a ? ( x ? ) max ( x ? ?1, 2 ? ) .又 f ( x ) ? x ? 在 ?1, 2 ? 上递减,? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) ,所以 a ? 3 . ? ? ? ? ? ? x x x 例 7 三个数 a,b,c ? (0, ) ,且满足 cos a ? a , sin cos b ? b , cos sin c ? c ,按从小到大的顺序排列这三个数. (第
2

2

?

16 届全苏竞赛题) 分析 比较 a,b,c 三数的大小, a ? cos a , b ? sin cos b ? cos b , c ? cos sin c ? cos c ,等式的两边变量均不相同,直 接比较不易进行,故考虑分类讨论,先比较 a 与 b,由 方向,再验证另一侧的不等号方向是否一致. 解 (1)若 a ? b ,则 cos a ? sin cos a ,但由 cos a ? (0, ) ,故有 cos a ? sin cos a 矛盾,即 a≠b.
2
a ? cos a b ? sin cos b

,对等号两边分别比较,即先假定一边的不等号

?

(2)若 a ? b ,则由单调性可知 cos a ? cos b ,又由 a ? b 及题意可得 cos a ? sin cos b ,而 sin cos b ? cos b ,因此又 可得 cos a ? cos b ,从而产生矛盾.综上, a ? b . sin 类似地,若 c ? a ,则由题意可得 cos a ? cos sin a ,从而可得 a ? sin a 与 a ? sin a 矛盾;若 c ? a ,则 sin c ? a ?a , 即 sin c ? a ,? cos sin c ? cos a ,即 c ? a 矛盾. 综上可得: b ? a ? c . 说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种, 从而得第三种, 体现了 “正难则反” 的解题策略.

情景再现
4.在三角形 ABC 中, 求证: (1) sin
A 2 ? sin B 2 ? sin C 2 ? 3 2

; (2) sin A sin B sin C ?

3 8

3



5.设 x ? y ? z ?

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最值. (1997 年全国高中数学联赛)

6.求证: | sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x |? 2 2 ? 1 (2004 年福建省数学竞赛题)

C 类例题
例 8 已知当 x ? [0,1] 时,不等式 x 2 cos ? ? x (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 sin ? ? 0 恒成立,试求 ? 的取值范围. (1999 年全国高中 数学联赛题) 分析一 不等式左边按一、三两项配方,求出左边式子的最小值,根据最小值应当为正求出 ? 的取值范围. 解法一 设 f ( x ) ? x 2 cos ? ? x (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 sin ? , 则由 x ? [0,1] 时 f ( x ) ? 0 恒成立,有 f (0) ? sin ? ? 0 ,
f (1) ? cos ? ? 0


2 2

? f ( x ) ? ( x cos ? ) ? [(1 ? x ) sin ? ] ? 2 x (1 ? x ) sin ? cos ? ? 2 x (1 ? x ) sin ? cos ? ? x (1 ? x )
? [ x cos ? ? (1 ? x ) sin ? ] ? 2 x (1 ? x )(
2

1 2

?

sin ? cos ? ) ? 0 ,当 x ?

sin ? sin ? ? cos ?

时, x cos ? ? (1 ? x ) sin ? ? 0 ,令
1 2 sin 2? ? 1 2

x0 ?

sin ? sin ? ? cos ?

,则 0 ? x0 ? 1 , f ( x 0 ) ? 2 x 0 (1 ? x 0 )( sin ? cos ? ? ) ? 0 ,故
2

1

,即 sin 2? ?
5 12

1 2

,且

sin ? ? 0, cos ? ? 0

,所求范围是: 2 k ? ?

?
12

? ? ? 2k? ?

5 12

? , k ? Z ,反之,当 2 k ? ?

?
12

? ? ? 2 k? ?

? , k ? Z 时,有

sin 2? ?

1 2

,且 sin ? ? 0, cos ? ? 0 ,于是只要 x ? [0,1] 必有 f ( x ) ? 0 恒成立.

分析二 不等式左边视为关于 x 的二次函数,求出此二次函数的最小值,令其大于 0,从而求出 ? 的取值范围. 解法二 由条件知, cos ? ? 0, sin ? ? 0 ,若对一切 x ? [0,1] 时,恒有 f ( x ) ? x 2 cos ? ? x (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 sin ? ? 0 ,即
f ( x ) ? (cos ? ? 1 ? sin ? ) x ? (1 ? 2 sin ? ) x ? sin ? ? 0 对 x ? [0,1] 时恒成立,则必有 cos ? ? f (1) ? 0, sin ? ? f (0) ? 0
2

,另一方面
1 2

对称轴为 x ?

1 ? 2 sin ? 2(cos ? ? sin ? ? 1)

? [0,1] , 故必有

4(cos ? ? sin ? ? 1) sin ? ? (1 ? 2 sin ? ) 4(cos ? ? sin ? ? 1)

2

?0

, 4c s sn 即 o i?

1? ? ? 0

,sin 2? ?



又由于 cos ? ? 0, sin ? ? 0 故 2 k ? ?

?
12

? ? ? 2k? ?

5? 12

,k ? Z



分析三 原不等式看作关于 x 与 1-x 的二次齐次式,两边同除 x(1-x). 解法三 原不等式化为:x2cos ? +(1-x)2sin ? >x(1-x),①x=0 得 sin ? >0,x=1 得 cos ? >0;②当 x≠0 且 x≠1 时, 上式可化为:
x 1? x x 1? x

cos ? +

1? x x

sin ? >1 对 x∈(0,1)恒成立,由基本不等式得
x 1? x

x 1? x

cos ? +

1? x x

sin ? ≥ 2 sin ? cos ? ,∴ 时取到,因此

cos ? +

1? x x

sin ? 的最小值为 2 sin ? cos ? ,等号当
1 2

cos ? =
?
12

1? x x

sin ? 即 x ?
5? 12

sin ? sin ? ? cos ?

2 sin ? cos ?

>1.∴ sin 2? ?

,又由于 cos ? ? 0, sin ? ? 0 故 2 k ? ?

? ? ? 2k? ?

,k ? Z



例 9 已知 a , b , A, B 都是实数,若对于一切实数 x ,都有 f ( x ) ? 1 ? a cos x ? b sin x ? A cos 2 x ? B sin 2 x ? 0 ,求证:
a ?b ? 2 , A ? B ?1. (1977
2 2

第十九届 IMO) 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知,应首先将不等式化成
2 2

f ( x) ? 1 ?

a ? b sin( x ? ? ) ?
2 2

A ? B sin(2 x ? ? ) ? 0
2 2

,其中 x 为任意实数,注意到所要证的结论中不含未知数 x,故考

虑用特殊值方法. 证明 若 a 2 ? b 2 ? 0 , A 2 ? B 2 ? 0 ,则结论显然成立; 故下设 a 2 ? b 2 ? 0 , A 2 ? B 2 ? 0 :

令 sin ? ?
f ( x) ? 1 ? f ( x) ? 1 ?
f (x ?

a a ?b
2
2

, cos ? ?
2

b a ?b
2
2

, sin ? ?
2

A A ?B
2 2

, cos ? ?

B A ?B
2 2

得, ,都有

a ? b sin( x ? ? ) ?
2

A ? B sin(2 x ? ? ) ,即对于一切实数 x
2

a ? b sin( x ? ? ) ?
2 2

A ? B sin(2 x ? ? ) ? 0
2 2

(1) (2)
2 a ?b
2 2

?
2

) ? 1?

a ? b cos( x ? ? ) ?
2 2

A ? B sin(2 x ? ? ) ? 0
2 2

(1)+(2)得: 2 ? a 2 ? b 2 [sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )] ? 0 ,即 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ?
2 a ?b
2 2

对于一切实数 x 恒成立,

?

2

,因此 a 2 ? b 2 ? 2 .
a ? b sin( x ? ? ) ?
2 2

f (x ? ? ) ? 1?

A ? B sin(2 x ? ? ) ? 0
2 2

(3)
1 A ?B
2 2

(1)+(3)得: 2 ? 2 A 2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ? ) ?

恒成立,

1 A ?B
2 2

? 1 ,∴ A 2 ? B 2 ? 1 .

例 10 设 ? ? ? ? ? ? ? ,求证:对任意满足 x ? y ? z ? 0 的实数 x , y , z 有 yz sin 2 ? ? zx sin 2 ? ? xy sin 2 ? ? 0 分析 由 x ? y ? z ? 0 消去一个未知数 z,再整理成关于 y 的二次不等式,对 x 恒成立,即可得证. 证明 由题意,则将 z ? ? ( x ? y ) 代入不等式左边得, 不等式左边= ?[ y 2 sin 2 ? ? x 2 sin 2 ? ? xy (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )] (1)当 sin ? ? 0 ,易证不等式左边 ? 0 成立. ; (2)当 sin ? ? 0 ,整理成 y 的二次方程,证△≤0. 左边 ? ?[ y sin ? ?
2 2 2

x (sin ? ? sin ? ? sin ? )
2 2 2

2 sin ?
2 2 2 2

]

2

?

x [(sin ? ? sin ? ? sin ? ) ? 4 sin ? sin ? ] 4 sin ?
2



由 (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? 4 sin 2 ? sin 2 ?
? (sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2 sin ? sin ? )(sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2 sin ? sin ? )
2 2 2 2 2 2

? 2 sin ? sin ? [1 ? cos(? ? ? )] ? 2 sin ? sin ? [ ?1 ? cos(? ? ? )]
? ? 4 sin ? sin ? [1 ? cos (? ? ? )] ? 0 ,
2 2 2



x [(sin ? ? sin ? ? sin ? ) ? 4 sin ? sin ? ]
2 2 2 2 2 2 2

4 sin ?
2

?0

,∴不等式左边 ? 0 成立.

情景再现
7.证明:对于任意△ABC,不等式 acosA+bcosB+ccosC≤p 成立,其中 a、b、c 为三角形的三边,A、B、C 分别为它们的对角,p 为半周长. (第十六届全俄数学竞赛题) 8.设 ? , ? , ? 是一个锐角三角形的三个内角,求证: sin ? ? sin ? ? sin ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 2?

习题
1.求证:对所有实数 x , y ,均有 cos x 2 ? cos y 2 ? cos xy ? 3 . 2.在锐角三角形 ABC 中,求证: tan A tan B tan C ? 1 3.在锐角三角形 ABC 中.求证: sin A ? sin B ? sin C ? 2

4.求证: 2 sin 2 ( ?
4

?

2 2

) ? cos(sin x ) ? sin(cos x ) ? 2 sin (
2

?
4

?

2 2

)

5.已知 ? , ? ? (0, ) ,能否以 sin ? , sin ? , sin(? ? ? ) 的值为边长,构成一个三角形?
2

?

6.已知 ? , ? 为锐角,求证:

1 cos ?
2

?

1 sin ? sin ? cos ?
2 2 2
2

?9

7.已知 A+B+C= ? ,求证: tan 2

A 2

? tan

B 2

? tan

2

C 2

?1

8.在三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a、b、c,求证:

aA ? bB ? cC a?b?c

?

?
3


n ?1

9.设 A、B、C 为锐角三角形之内角,n 为自然数,求证: tan n A ? tan n B ? tan n C ? 3 2 . (93 年第三届澳门数学 奥林匹克赛题) 10.已知 0 ? ? ?
?
2
2 2 3

, a , b ? 0 ,求证:

a sin ?

?

b cos ?

? (a 3 ? b 3 ) 2

11.设 P 是三角形 ABC 内任一点,求证:∠PAB,∠PBC,∠PCA 中至少有一个小于或等于 30°. 12.解方程 cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x (1995 年全俄竞赛题) 本节“情景再现”解答: 1.证明:锐角三角形可知 A+B ? 加得证. 2.证明:由已知得 tan x ? 3 tan y ? tan y 及 x , y ? (0, ) 知, x ? y ,从而 x ? y ? (0, ) ,要证 x ? y ?
2 2

?
2

,从而 A ?

?
2

-B,从而 sin A ? cos B ,同理 sin B ? cos C , sin C

? cos A ,三式相

?

?

?
6

,只须证明

tan( x ? y ) ? tan

?
6

?

3 3

,由于 tan( x ? y ) ?

tan x ? tan y 1 ? tan x tan y

?

2 tan y 1 ? 3 tan y
2

,于是问题归结为证

2 tan y 1 ? 3 tan y
2

?

3 3

,即

( 3 tan y ? 1) ? 0 ,而上式显然成立,因此原不等式成立.
2

3. 证法一: x∈(0, 当 即比较(
?
2

?
2

)时, ∵0<sinx<x<
?
2

?
2

,∴sinsinx<sinx,再比较 sinx 与 coscosx 的大小, sinx=cos( 由
?
2

?
2

-x),

-x)与 cosx,而 cosx=sin(

-x),因此(

-x)>cosx,从而 cos(

?
2

-x)< c oscosx,即 sinx<coscosx,从

而得证. 证法二: sinx+cosx ? 2 ? 所以 cos(cosx)>cos(
?
2

?
2

,即 0<cosx<

?
2

-sinx<

?
2



-sinx)=sin(sinx).

4.证明: (1)由琴生不等式即得. (2) 3 sin A sin B sin C ?
sin A ? sin B ? sin C 3 ? sin A? B?C 3 ? 3 2

,从而得证.
? 2? 1 2

5.解:由条件知,
cos x sin y cos z =
1 8

?
3

? x? y? z?

?
12

,x ?
1 2

?
2

? ( y ? z) ?

?
2

?
12

?

?
3 1 2

, sin( y ? z ) ? 0 ,于是
cos
2

1 2

cos x[sin( y ? z ) ? sin( y ? z )] ?

cos x sin( y ? z ) ?

cos x ?
2

?
3

?

1 8

,当 x ?

?
3

,y ? z ?

?
12

时取等号,

故最小值为 (y 与 z 相等,且 x 达到最大时,乘积有最小值) .

又 cos x sin y cos z = cos z[sin( x ? y ) ? sin( x ? y )] ?
2

1

1 2

cos z sin( x ? y ) ?

1 2

cos z

2

?

1 2

cos

2

?
12

?

2? 8

3

,且当 z ?

?
12

,x ? y ?

5? 24

时等号成立,故 cos x sin y cos z 的取大值为
x?a n t
?1|

2? 8

3


cx ? o s t ?1
2

? 6 . 证 明 : 设 f ( x )? | s i xn
f ( x ) ?| t ? 2 t ?1
2

c x? s o
2 t ?1

x x?c o t x? s e,x t ? sin x ? cos x , 则 有 s i n c csc |



2

?

2t t ?1
2

| ?| t ? 2 t ?1

2 t ?1

|? | t ? 1 ?

当 t ? 1 时, f ( x ) ? t ? 1 ?

? 1 ? 2 2 ? 1; ) ?1? 2 2 ?1

当 t ? 1 时, f ( x ) ? ? ( t ? 1 ?

2 t ?1

因此 | sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x |? 2 2 ? 1 . 7.证明:因为 cosx(x∈(0,π ) )递减,所以 a-b 与 cosA-cosB 异号,从而(a-b) (cosA-cosB)≤0.即 acosA+bcosB≤acosB+bcosA=C (l)当且仅当 a=b 时等号成立. 同理 acosA+ccosC≤b (2) bcosB+ccosC≤a (3) ,
1 2 ? [(1) ? (2) ? (3)] 即得所要证的不等式.

2 tan

?
2
2

2 tan ? 1 ? tan

?
2
2

4 tan ? 1 ? tan

?
2
4

8.证明: sin ? ? tan ? ?
1 ? tan

?
2

?
2

?
2

? 4 tan

?
2



?0 ?? ?

?
2

,? tan

?
2

?

?
2

,? sin ? ? tan ? ? 4 tan

?
2

? 2?

,同理得另两个,命题得证.

“习题”解答: 1.证明: cos x 2 ? cos y 2 ? cos xy ? 3 显然成立,下面证明等号不能成立.用反证法.若等号成立,则
cos x ? 1, cos y ? 1, cos xy ? ? 1 ,则 x ? 2 k ? , y ? 2 n? , k , n ? N * ,则 x y ? 4 nk ? , k , n ? N * ,则 xy ? 2 nk ? , k , n ? N * ,
2 2 2 2 2 2 2

2 nk

不可能为奇数,因此 cos xy ? ? 1 ,因此等号不成立.
?
2

2.证明:锐角三角形可知 A+B ?

,从而 A ?

?
2

-B,从而 sin A ? cos B ,同理 sin B ? cos C , sin C

? cos A ,三式相

乘得 sin A sin B sin C ? cos A cos B cos C .从而可得 tan A tan B tan C ? 1 . 3.解: sin A ? sin 2 A, sin B ? sin 2 B , sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B
? cos B cos B ? cos A cos A ? cos B ? cos A ,三式相加得证.
2 2

4.证明: cos(sin x ) ? sin(cos x ) ? cos(sin x ) ? cos( ? cos x )
2 ? 2 sin(

?

?
4

?

cos x ? sin x 2

) sin(
2 2

?
4

?

cos x ? sin x 2

)
cos x ? sin x 2

又?

2 2

?

cos x ? sin x 2

?



?
4

?

2 2

?

?
4

?

?

?
4

?

2 2

,又

?
4

?

2 2

?0,

?
4

?

2 2

?

?
2

,由正弦函数在 [0, ] 上
2

?

的单调性可知,原不等式成立. 5.证法一: sin ? ? sin ? ? 2 sin
? ??
2 cos

? ??
2

? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

? sin(? ? ? )

| sin ? ? sin ? |? 2 cos

? ??
2

| sin

? ??
2

|? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

? sin(? ? ? )

,因此可以构成三角形.

证法二:在直径为 1 的圆内作内接三角形 ABC,使 ? A ? ? , ? B ? ? ,? ? C ? ? ? (? ? ? ) 则 BC ? sin ? , AC ? sin ? , AB ? sin(? ? ? ) ,因此可构成三角形.
[来源:学科网]

6.解: 左?
1 cos ?
2

?

4 sin ? sin 2 ?
2 2

?

1 cos ?
2

?

4 sin ?
2

? 5 ? tan ? ? 4 cot ? ? 9
2 2



7.证:左 ? tan
? tan ? tan A 2 A 2 tan tan B 2 B 2 ? cot ? tan C 2

A 2

tan B 2 tan

B 2

? tan A 2

B 2

tan

C 2

? tan

C 2

tan

A 2

(tan

? tan

) A 2 B 2 ) ?1

A? B 2

A?B 2

(1 ? tan

tan

8. 分析: 注意到 ? 可写成 A+B+C, 故即证: 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c) ? ,即证 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c) A+B+C) ( , 即证(a-b)(A-B)+(b-c)(B-C)+(c-a)(C-A)≥0,由大边对大角得上式成立.
3

9.证明:设 x ? tan A, y ? tan B , z ? tan C ,则 x , y , z ? 0 , x ? y ? z ? xyz ,而 x ? y ? z ? 3 3 xyz ,代入得 xyz ? 3 2 ,故
n

x ? y ? z ? 3 3 3x y z
n n n n n

n

? 32

?1



[来源:Zxxk.Com]

10. 证明: 要证原不等式, 即证 (

a sin ?

?

b cos ?

2 2

2 3

) ? (a 3 ? b 3 )

, 即

a

2 2

sin ?

?

b

2 2

cos ?

?

2 ab sin ? cos ?

? a ?b ?3 a b ?3 a b
2 2 3 4 2 3 2

4

上式中将 ? 看作变量, a , b 看作常数,考虑从左边向右边转化 即证 a 2 cot 2 ? ? b 2 tan 2 ? ? 2 ab
sin ? ? cos ?
2 2

sin ? cos ?

?3 a b ?3 a b
3 4 2 3 2

4

即 a 2 cot 2 ? ? b 2 tan 2 ? ? 2 ab tan ? ? 2 ab cot ? ? 3 3 a 4 b 2 ? 3 3 a 2 b 4 因为 a 2 cot 2 ? ? 2 ab tan ? ? a 2 cot 2 ? ? ab tan ? ? ab tan ? ? 3 3 a 4 b 2 , 同理可得 b 2 tan 2 ? ? 2 ab cot ? ? 3 3 a 2 b 4 , 从而原不等式成 立. 11.证明:如图,PAsin ? 1 =PB sin ? 5,PBsin ? 2=PC sin ? 6,PCsin ? 3=PA sin ? 4, 三式相乘得 sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3= sin ? 4 sin ? 5 sin ? 6,因此有(sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3)2= sin ? 1 sin ? sin ?
6
A
6
?1 ?4

2

sin ?

3

sin ?

4

sin ?

5

? sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? 3 ? sin ? 4 ? sin ? 5 ? sin ? 6 ? ?? ? 6 ? ?

?5

P
?6

? ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ? ?6 ? 1 6 ? ? ? sin 1 ? ?( ) 6 2 ? ?

6

?3

, 从 而
1

B

?2

C

sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3 ? ( 1 ) 3 ,因此 sin ? 1 、
2

sin ?

2

、sin ?

3

中至少有一个小于或等于 ,不 妨设 sin ? 1 ?
2

1 2

,则 ? 1 ? 30°或 ? 1 ? 150°,此时三个角中至少有一

个角小于 30°. 12.解:考虑周期性,只要先解决 x ? [0, 2? ) 的解的情况,而当 x ? [? , 2? ) 时,左边为正,右边非正,因此方程 无解. 由于 x ? [0, ] 时有 cos cos x ? sin sin x ,将 x 换成 cos cos x 得(换成 sinsinx 也可以) cos cos cos cos x ? sin sin cos cos x , :
2

?

s n 又 由 于 y ? s i n x i在 x ? [0, ] 时 为 增 函 数 , 因 此 有 sin sin cos cos x ? sin sin sin sin x , 综 上 可 得 :

?

2

cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,因此原方程无解.

当 x ? ( , ? ) 时,令 y ? x ?
2

?

?
2

,则 y ? (0, ) ,
2

?

x cos 在 cos cos x ? sin sin x , ? [0, ] 中, x 换成 cos sin y 得, cos(cos sin y ) ? sin sin(cos sin y ) ? sin sin(sin cos y ) , y ? x ? 将 将 2

?

?
2

代入得, cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,原方程也无解. 综上所述,对 x ? R ,恒有 cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,原方程无解.

学科网

w。w-w*k&s%5¥u 学科网 w。w-w*k&s%5¥u


相关文章:
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲--同-余
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲--同-余_学科竞赛_高中教育_教育...+20044≡200× (14+24+34+?+104) +14+24+34+44≡14≡4 (mod 10)即...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 5 讲 子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设 ...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第6讲__函数问题...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第6讲__函数问题选讲 隐藏>> 第6讲 函数问题选讲 本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第60讲 概率2
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第60讲 概率2_学科竞赛_高中教育_教育专区.... ? . ? . 8 27 8 9 24 1 所以,甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第54讲 参数方程...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第54讲 参数方程与曲线系 隐藏>> 第54 讲 参数方程与 曲线系 1.参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁,在解题过程中引入...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第10讲_覆盖_免费...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第10讲_覆盖 隐藏>> 第10 讲 覆盖本节主要内容是图形覆盖与嵌入. 一、图形覆盖的定义: 平面闭图形指的是由平面上一条简...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第74讲__解析几何...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第74讲__解析几何问题选讲_学科竞赛_高中...(3y-4)2=0, 即 16x2+16y2+24y-16=0, 即 2x2+2y2+3y-2=0; 或...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第24讲_三角不等式
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第24讲_三角不等式_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第24...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲__同_余
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲__同_余_学科竞赛_高中教育_教育...+20044≡200× (14+24+34+?+104) +14+24+34+44≡14≡4 (mod 10)即...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第70讲__函数问题...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第70讲__函数问题选讲(最终)_数学_高中教育_教育专区。第 70 讲 函数问题选讲 本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数...
更多相关标签: