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浙江省诸暨市牌头中学高中数学竞赛训练题


高中数学竞赛训练题(中等数学 201503) 1、下列四个函数:① y ? sin x ;② y ? cos x ;③ y ? tan x ;④ y ? ? ln sin x 中,以π 为 周期,在 ? 0, ? ?? ? 上单调递减且为偶函 数的是________。 ? 2? 2、若函数 f ( x) ? ln aex ? x ? 3 的 值域为 R,则实数 a 的取值范围

是________。 3、 已知方程 x ? 4 x ? 5x ? a ? 0 有三个实数根 x1, x2 , x3 , 则m a x 3 2 ? ? ?x1, x2 , x3?的最大值为__。 4、设 f ?x ? ? ? ? x ? ?x?, x ? 0 ,其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数,若 f ( x) ? kx ? k 有 ? f ?x ? 1?, x ? 0 4? 则实数 a 的取值范围__。 ? ? ?x, y ? x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a , 5? 三个不同的实数根,则正实数 k 的取值范围 是___ _____。 5、 若 ??x, y ??x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 2 ? ? ? ? 6、若对任意的实数 x 都有 loga 2 ? e x ?1 ? ?1,则实数 a 的取值范围是________。 7、设数列 ?an ? 共有 11 项, a1 ? 0 , a11 ? 4 ,且 ak ?1 ? ak ? 1, k ? 1,2,?,10 ,则满足条件 的不同数列的个数为________。 8、若半径为 1 的球内部装有半径为 r 的四个相同小球,则小球半径 r 可能的 最大值为 _______。 9、 若边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折起成 60°的二面角, 则边 BC 的中点与点 A 的距离 为_______。 2 2 2 10、已知实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为_______。 ? ? 11 、在△ABC 中, a b 1 ? ? 4 cos C , cos ? A ? B ? ? ,则 cos C ? _______。 b a 6 12、已知 F1、F2 分别是中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线 C 的左、右焦点,过 F 2 的直线 l 与双曲线的右支交于 A、B 两点,I1、I2 分别为△AF1F2、△BF1F2 的内心,若双曲 线 C 的离心率为 2,I1 I 2 ? 9 8 , 直线 l 的倾斜角的正弦值为 , 则双曲线 C 的方程为_______。 9 2 13、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 9 ,且对任意的正整数 n 有 nan ? 2 ? 6?n ? 1?an ?1 ? 9?n ? 2?an ? 0 ,试求数列 ?an ? 的通项公式。 14、已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an ? 1 ? n , a2 ? 6 。 an ?1 ? an ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? n 项和。 an b , c 为非零常数,若数列 ?bn ?是等差数列,记 cn ? n ,求数列 ?cn ?的前 n?c 2n [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 15、已知函数 f ?x? ? e x ? x 。 (1) 若函数 g ?x? ? f ?x? ? ax2 ? 1 的导函数 g ?? x ? 在 ?0,??? 上是增函

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